Hoe los ik een kwadratische vergelijking op met de abc-formule?

De abc-formule is een krachtige methode om kwadratische vergelijkingen van de vorm $ax^2 + bx + c = 0$ op te lossen. Deze formule is vooral handig als andere methoden, zoals de som-productmethode, niet direct werken of als de oplossingen geen hele getallen zijn.

De formule voor de oplossingen van $x$ is: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Hierin is $D$ de discriminant, die je berekent met: $D = b^2 - 4ac$

Het $\pm$ teken in de abc-formule betekent dat je twee mogelijke oplossingen voor $x$ krijgt, omdat een kwadratische vergelijking vaak twee oplossingen heeft:

1. Eén oplossing waarbij je het plusteken gebruikt: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$
2. En één oplossing waarbij je het minteken gebruikt: $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Als $D > 0$, zijn er twee verschillende oplossingen. Als $D = 0$, is er precies één oplossing. Als $D < 0$, zijn er geen reële oplossingen.

Stappenplan om de abc-formule te gebruiken:

1. Zorg dat de vergelijking in de standaardvorm staat: De kwadratische vergelijking moet de vorm $ax^2 + bx + c = 0$ hebben. Dit betekent dat alle termen aan één kant van het gelijkteken staan en de andere kant nul is. Werk eventuele haakjes weg en als er breuken in de vergelijking staan, kun je deze het beste eerst wegwerken door de hele vergelijking te vermenigvuldigen met een passend getal.
2. Identificeer a, b en c: Lees de waarden van $a$ (de coëfficiënt van $x^2$), $b$ (de coëfficiënt van $x$) en $c$ (de constante term) af uit de standaardvorm.
3. Bereken de discriminant (D): Vul de waarden van $a$, $b$ en $c$ in de formule $D = b^2 - 4ac$.
4. Bereken de waarden van x: Vul de waarden van $a$, $b$ en $D$ in de abc-formule $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ om de oplossingen voor $x$ te vinden.

Uitgewerkt voorbeeld: Los de volgende kwadratische vergelijking op met de abc-formule: $x(x - 2) = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Stap 1: Herschrijf de vergelijking naar de standaardvorm $ax^2 + bx + c = 0$. Eerst werken we de haakjes weg: $x^2 - 2x = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

Om de breuken weg te krijgen, vermenigvuldigen we alle termen met 3: $3(x^2 - 2x) = 3(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3})$ $3x^2 - 6x = x + 2$

Nu brengen we alle termen naar één kant van het is-teken, zodat de rechterkant 0 wordt: $3x^2 - 6x - x - 2 = 0$ $3x^2 - 7x - 2 = 0$

Stap 2: Identificeer a, b en c. Uit de vergelijking $3x^2 - 7x - 2 = 0$ halen we de waarden voor a, b en c:

• $a = 3$
• $b = -7$
• $c = -2$

Stap 3: Bereken de discriminant (D). De discriminant bereken je met de formule $D = b^2 - 4ac$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)$ $D = 49 - (-24)$ $D = 49 + 24$ $D = 73$

Omdat $D = 73 > 0$, weten we dat er twee verschillende oplossingen zijn voor $x$.

Stap 4: Bereken de waarden van x met de abc-formule. De abc-formule is $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 3}$ $x = \frac{7 \pm \sqrt{73}}{6}$

Dit geeft ons twee oplossingen: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{73}}{6}$ $x_2 = \frac{7 - \sqrt{73}}{6}$

Als je deze waarden zou moeten afronden (bijvoorbeeld op twee decimalen), krijg je ongeveer: $x_1 \approx \frac{7 + 8,54}{6} \approx \frac{15,54}{6} \approx 2,59$ $x_2 \approx \frac{7 - 8,54}{6} \approx \frac{-1,54}{6} \approx -0,26$

De exacte oplossingen voor deze vergelijking zijn $x = \frac{7 + \sqrt{73}}{6}$ of $x = \frac{7 - \sqrt{73}}{6}$.