Oppervlakte en omtrek samengestelde figuren

Leerdoelen

•Je kunt de definitie van een samengesteld figuur uitleggen.

•Je kunt een samengesteld figuur opsplitsen in eenvoudigere basisfiguren.

•Je kunt de oppervlakte van een samengesteld figuur berekenen door de oppervlaktes van de basisfiguren op te tellen of af te trekken.

•Je kunt de omtrek van een samengesteld figuur berekenen door de lengtes van de buitenste zijden op te tellen.

•Je kunt de formules voor de oppervlakte en omtrek van een rechthoek, driehoek en cirkel correct toepassen.

•Je kunt de stelling van Pythagoras toepassen om ontbrekende zijden te berekenen die nodig zijn voor de oppervlakte- of omtrekbepaling.

•Je kunt complexe rekenopdrachten met samengestelde figuren oplossen en daarbij de juiste stappen en eenheden gebruiken.

Wat zijn samengestelde figuren?

Stel je voor dat je een huis bouwt van LEGO. Je gebruikt verschillende blokjes: rechthoekige, ronde, en misschien zelfs driehoekige. Een samengesteld figuur is eigenlijk precies zoiets in de wiskunde: het is een figuur die bestaat uit twee of meer basisfiguren die aan elkaar vastzitten. Denk aan een rechthoek met een halve cirkel eraan, of een huisje met een rechthoekig grondvlak en een driehoekig dak.

Om de oppervlakte of de omtrek van zo'n figuur te berekenen, is het handig om het figuur op te splitsen of te verdelen in de bekende basisfiguren. Dit kunnen bijvoorbeeld een rechthoek, een vierkant, een driehoek of een cirkel (of een deel ervan) zijn. Als je eenmaal weet uit welke basisfiguren een samengesteld figuur bestaat, wordt het berekenen een stuk makkelijker.

Oppervlakte van samengestelde figuren berekenen

De oppervlakte van een figuur is hoeveel ruimte het inneemt. Bij samengestelde figuren ga je eerst de oppervlakte van elk los onderdeel berekenen. Daarna tel je die oppervlaktes bij elkaar op, of je trekt ze van elkaar af, afhankelijk van de vorm.

Hier zijn de formules die je moet kennen voor de basisfiguren:

•Oppervlakte rechthoek:\text{lengte }\times\text{ breedte}

•Oppervlakte driehoek:\frac{\text{basis }\times\text{ hoogte}}{2}(Of:0{,}5\times\text{ basis}\times\text{ hoogte} – het is precies hetzelfde!)

•Oppervlakte cirkel:\text{straal}^2\,\times\,\pi(waarbij\piongeveer3{,}14is en waarvoor een aparte knop op je rekenmachine is)

Voorbeeld 1

Laten we eens kijken naar het figuur dat we eerder zagen: een rechthoek met daaraan een halve cirkel en een driehoek.

Stel dat de afmetingen zijn:

•De rechthoek is8\text{ cm}lang en5\text{ cm}breed.

•De driehoek heeft een basis van5\text{ cm}en een hoogte van3\text{ cm}.

•De halve cirkel heeft een diameter van5\text{ cm}.

We berekenen de oppervlakte in drie stappen:

Deel 1: Oppervlakte driehoek

•\text{Basis }=5\text{ cm}

•\text{Hoogte }=3\text{ cm}

•\text{Oppervlakte driehoek }=\frac{5\times3}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5\text{ cm}^2

Deel 2: Oppervlakte rechthoek

•\text{Lengte }= 8\text{ cm}

•\text{Breedte }= 5\text{ cm}

•\text{Oppervlakte rechthoek }=8\text{ cm}\times5\text{ cm}=40\text{ cm}^2

Deel 3: Oppervlakte halve cirkel

•\text{Diameter }= 5\text{ cm}, dus de\text{straal }=\frac{\text{diameter}}{2}=\frac{5\text{ cm}}{2}=2{,}5\text{ cm}.

•\text{De formule is straal}^2\,\times\,\pi, maar we hebben een halve cirkel, dus we delen door2.

•\text{Oppervlakte halve cirkel }=\frac{2{,}5^2\times\pi}{2}=\frac{6{,}25\times\pi}{2}=9{,}817\ldots\text{ cm}^2 (rond hier nog niet af!)

Alle delen bij elkaar

Nu tellen we alle berekende oppervlaktes bij elkaar op. Het is heel belangrijk om niet tussendoor af te ronden! Gebruik zoveel mogelijk decimalen tijdens je berekening en rond pas op het allerlaatste moment af.

•\text{Totale oppervlakte }=7{,}5+40+9{,}817\ldots=57{,}317\ldots\text{ cm}^2

Afgerond op één decimaal is de totale oppervlakte:57{,}3\text{ cm}^2. Vergeet de eenheid 'vierkante centimeter' niet, want het gaat over oppervlakte.

Omtrek van samengestelde figuren berekenen

De omtrek is de totale lengte van de buitenrand van een figuur. Denk eraan als een hek dat je om de figuur heen zet. Je volgt letterlijk alle buitenste lijnen van het figuur en telt hun lengtes bij elkaar op. Let op: lijnen die binnenin het figuur liggen, horen niet bij de omtrek.

Bij het berekenen van de omtrek van een samengestelde figuur loop je als het ware langs de rand. Je telt alleen de lengtes van de zijkanten op die je zou kunnen aanraken als je eromheen zou lopen.

Naast het optellen van rechte lijnen, heb je misschien deze formules nodig:

•Omtrek cirkel:\text{diameter }\times\,\pi(of:2\times\text{ straal}\times\,\pi)

•Stelling van Pythagoras:a^2+b^2=c^2(voor het berekenen van schuine zijden in een rechthoekige driehoek)

Voorbeeld 1

Laten we weer naar ons figuur kijken om de omtrek te berekenen. Gegeven is dat de hoogtelijn de basis van5\text{ cm}verdeelt in stukken van2\text{ cm}en3\text{ cm}.

Deel 1: Rechte zijden

•We hebben een rechte zijde van8\text{ cm}(bovenkant van de rechthoek).

•En nog een rechte zijde van8\text{ cm}(onderkant van de rechthoek).

•\text{Totale lengte rechte zijden }=8+8=16\text{ cm}. (De linkerzijde van5\text{ cm}en de onderzijde van de driehoek van5\text{ cm}zijn binnenlijnen en tellen niet mee voor de omtrek.)

Deel 2: Omtrek halve cirkel

•\text{Diameter }= 5\text{ cm}.

•\text{Omtrek hele cirkel }= 5 \times \pi.

•\text{Omtrek halve cirkel }=\frac{5 \times\pi}{2}=7{,}853\ldots\text{ cm} (nog niet afronden).

Deel 3: Omtrek driehoekszijden

•Om de lengte van de schuine zijden te berekenen, verdelen we de driehoek met een hulplijn (de hoogte) in twee rechthoekige driehoeken: de een met rechthoekszijden van3\text{ cm}en3\text{ cm}, de ander met rechthoekszijden van3\text{ cm}en2\text{ cm}. De schuine zijden van deze driehoeken zijn wat we zoeken.

•Volgens Pythagoras:a^2 + b^2 = c^2

•Voor de eerste driehoek:

•3^2 + 3^2 = c^2

•9 + 9 = c^2

•18 = c^2

•c=\sqrt{18}=4{,}242\ldots\text{ cm} (nog niet afronden).

•Voor de tweede driehoek:

•3^2 + 2^2 = c^2

•9 + 4 = c^2

•13 = c^2

•c=\sqrt{13}=3{,}605\ldots\text{ cm} (nog niet afronden).

Deze zijden bij elkaar zijn dus4{,}242… + 3{,}605… = 7{,}848…\text{ cm}.

Alle delen bij elkaar

Tel alle buitenste lengtes bij elkaar op:

•\text{Totale omtrek }=16+7{,}853\ldots+7{,}848\ldots=31{,}702\ldots\text{ cm}

Afgerond op één decimaal is de totale omtrek:31{,}7\text{ cm}. Let op: bij omtrek staat er geen '²' of '³' achter de eenheid, omdat het een lengte is.

Een uitdagende opdracht

Laten we een complexere situatie bekijken, zoals een tuinaanleg. Stel, je hebt een tuin van5\text{ meter}bij8\text{ meter}. In deze tuin wil je gras zaaien, maar er staat al een ronde vijver in en er is een driehoekige zandbak. Op deze plekken zaai je natuurlijk geen gras. Jouw taak is om te berekenen hoeveel vierkante meter gras je moet zaaien.

De afmetingen:

•Tuin: rechthoek van5\text{ meter}breed en8\text{ meter}lang.

•Vijver: ronde vorm met een diameter van1{,}6\text{ meter}

•Zandbak: een gelijkbenige driehoek is met een basis van2\text{ meter}en opstaande zijden van 2 meter, wat het een gelijkzijdige driehoek maakt.

We gaan de oppervlakte voor het gras bepalen door de oppervlakte van de tuin te berekenen, en daarvan de oppervlakte van de vijver en de zandbak af te trekken.

Stap 1: Oppervlakte van de tuin

De tuin is een rechthoek:

•\text{Lengte }= 8\text{ meter}

•\text{Breedte }= 5\text{ meter}

•\text{Oppervlakte tuin }= 8 \times 5 = 40\text{ m}^2 (Dit is de totale oppervlakte, inclusief vijver en zandbak.)

Stap 2: Oppervlakte van de vijver

De vijver is een cirkel:

•\text{Diameter }= 1{,}6\text{ meter}, dus de\text{straal }= \frac{1{,}6}{ 2} = 0{,}8\text{ meter}.\text{Oppervlakte vijver }=\text{ straal}^2\times\,\pi=0{,}8^2\times\pi=0{,}64\times\pi=2{,}0106\text{ m}^2(nog niet afronden).

Stap 3: Oppervlakte van de zandbak

De zandbak is een driehoek met alle zijden gelijk aan2\text{ meter}. Dit betekent dat als je een hulplijn tekent vanuit de top loodrecht op de basis (om de hoogte te vinden), je twee rechthoekige driehoeken krijgt. De helft van de basis is dan1\text{ meter}, en de schuine zijde is2\text{ meter}.

We moeten eerst de hoogte van de driehoek berekenen met Pythagoras:

•\text{De schuine zijde }=2\text{ meter}.

•\text{Eén korte zijde (de helft van de basis) } = 1\text{ meter}.

•De andere korte zijde (de hoogte) = ?

•Volgens Pythagoras:a^2+b^2=c^2

•1^2+\text{ hoogte}^2=2^2

•1\,+\text{ hoogte}^2=4

•\text{hoogte}^2\,=4-1

•\text{hoogte}^2\,=3

•\text{hoogte }=\sqrt3=1{,}732\ldots\text{ meter} (nog niet afronden).

Nu we de hoogte hebben, kunnen we de oppervlakte van de driehoekige zandbak berekenen:

•\text{Basis }= 2\text{ meter}

•\text{Hoogte }=\sqrt3\text{ meter}

•\text{Oppervlakte zandbak }=\frac{\text{basis }\times\text{ hoogte}}{2}=\frac{2\times\sqrt3}{2}=\sqrt3=1{,}732\ldots\text{ m}^2 (nog niet afronden).

Stap 4: Het uiteindelijke antwoord

Nu trekken we de oppervlaktes van de vijver en de zandbak af van de totale oppervlakte van de tuin:

•\text{Oppervlakte voor gras }=\text{ Oppervlakte tuin}-\text{ Oppervlakte vijver}-\text{ Oppervlakte zandbak}

•\text{Oppervlakte voor gras }=40-2{,}0106\ldots-1{,}732\ldots

•\text{Oppervlakte voor gras }=36{,}257\ldots\text{ m}^2

Afgerond op hele vierkante meters (zoals vaak gevraagd bij dit soort sommen, of anders op één decimaal) is het aantal vierkante meters gras dat je moet zaaien:36\text{ m}^2.