Machten

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat het verschil en de samenhang is tussen macht, grondtal en exponent.

•Je kunt rekenen met machten met een positief grondtal.

•Je kunt rekenen met machten met een negatief grondtal.

•Je kunt rekenen met machten met een positieve exponent.

•Je kunt rekenen met machten met een negatieve exponent.

•Je kunt de rekenvolgorde toepassen in opdrachten met machten.

Wat is een macht?

Een macht is een manier om een getal meerdere keren met zichzelf te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld,3^233^betekent dat jetwee keer met zichzelf vermenigvuldigt:3\cdot3=933=93\times3=933=933=933=933=933=933=933=93\cdot3=933=9. Dit kan ook worden uitgedrukt als “tot de macht” of “in het kwadraat”. Als de exponent groter is dan, zeg je altijd "tot de macht", zoals intot de macht, dus3\cdot3\cdot3\cdot3=8133\cdot3\cdot3=813x3\cdot3\cdot3=813x33\cdot3=813x3x3\cdot3=813x3x33=813x3x3\left(3=81\right)3x3x33=81.

Grondtal en exponent

In een macht, zoals3^433^, ishet grondtal ende exponent. Het grondtal is het getal dat je herhaaldelijk vermenigvuldigt, en de exponent geeft aan hoe vaak je dat doet. Het grondtal staat als het ware op de grond, terwijl de exponent het "vliegende getalletje" is.

Machten met een negatief grondtal

Bij machten met een negatief grondtal, zoals(-3)^2(-3)(-3)^, vermenigvuldig je het negatieve getal met zichzelf. Dus(-3)\cdot(-3)=9(-3)(-3)=9. Maar bij(-3)^3(-3)(-3)^krijg je(-3)\cdot(-3)\cdot(-3)=-27(-3)(-3)\cdot(-3)=-27(-3)x(-3)\cdot(-3)=-27(-3)x(-3)(-3)=-27. Hieruit kun je concluderen dat als de exponent even is, de uitkomst positief is, en als de exponent oneven is, de uitkomst negatief is. Let op de haakjes rond negatieve grondtallen, zo is-3^2-3-gelijk aan-9-9, omdat-3-niet tussen haakjes staat. Je doet dan-3^2=-\left(3^2\right)=-9-3^2=-\left(3^2\right)=--3^2=-\left(3^2\right)=-3^2=-\left(3^2\right)-3^2=-\left(3^2\right)-3^2=-\left(3\right)-3^2=-\left(\right)-3^2=--3^2=-3^2-3-.

Machten met een negatieve exponent

Een negatieve exponent betekent dat je het grondtal in de noemer van een breuk plaatst. Bijvoorbeeld,2^{-3}2^{-}22^2^{-}2^{-}^is gelijk aan\frac{1}{2^3}=\frac18\frac{1}{2^3}=\frac{1}{\placeholder{}}\frac{1}{2^3}=1\frac{1}{2^3}=1/\frac{1}{2^3}=1/8\frac12=1/8\frac{1}{\placeholder{}}=1/81=1/81/=1/81/(=1/81/(2=1/81/(2^=1/81/(2^{3}=1/8. Dit geldt voor elk getal a, met a ongelijk aan:a^{-n}{}=\frac{1}{a^{n}}a^{-}{}=\frac{1}{a^{n}}a{}=\frac{1}{a^{n}}a^{}{}=\frac{1}{a^{n}}a^{-}{}=\frac{1}{a^{n}}a^{-n}{}=\frac{1}{a^{n}}a^{-n}{}=\frac{1}{a}a^{-n}{}=\frac{1}{\placeholder{}}a^{-n}{}=1a^{-n}{}=1/a^{-n}{}=1/(a^{-n}{}=1/(aa^{-n}{}=1/(a^a^{-n}{}=1/(a^{n}a^{-n}{}=1/(a^{n})a^{-}{}=1/(a^{n})a{}=1/(a^{n})a^{}=1/(a^{n})a^{-}{}=1/(a^{n})a^{-}^{}=1/(a^{n}). Verder geldt voor elk getal a (met a ongelijk aan) data^0=1a=1a^=1a^{}=1.

Rekenvoorbeelden

In de rekenvolgorde komen machten na haakjes en worden ze samen met kwadraten en wortels berekend, vóór vermenigvuldigen en delen.

Voorbeeld 1:4+3\cdot2^54+3\cdot24+3\cdot2^4+3\cdot2^{5}4+32^{5}

Bereken eerst de macht:2^5=322^^5=322^=322^{}=32.

Vermenigvuldig:3\cdot32=96332=96.

Tel op:.

Voorbeeld 2:2\cdot\left(\frac15\right)^32\cdot\left(\frac15\right)2\cdot(\frac152\cdot(\frac15)2\cdot(\frac15)^2\cdot(\frac15)^{3}2\cdot(\frac{1}{\placeholder{}})^{3}2\cdot(1)^{3}2\cdot(1/)^{3}2\cdot(1/5)^{3}2(1/5)^{3}

Bereken de macht:\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=\frac{1}{125}\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=\frac{1}{12}\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=\frac11\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=\frac{1}{\placeholder{}}\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=1\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=1/\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=1/1\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=1/12\left(\frac15\right)^3=\frac{1^3}{5^3}=1/125\left(\frac15\right)^3=\frac{1}{5^3}=1/125\left(\frac15\right)^3=\frac15=1/125\left(\frac15\right)^3=\frac{1}{\placeholder{}}=1/125\left(\frac15\right)^3=1=1/125\left(\frac15\right)^3==1/125\left(\frac15\right)^3=\left(=1/125\right)\left(\frac15\right)^3=\left(1=1/125\right)\left(\frac15\right)^3=\left(=1/125\right)\left(\frac15\right)^3==1/125\left(\frac15\right)^3=1/125\left(\frac15\right)=1/125(\frac15=1/125(\frac15{3}=1/125(\frac{1}{\placeholder{}}{3}=1/125(1{3}=1/125(15{3}=1/125(15){3}=1/125(15)^{3}=1/125(1)^{3}=1/125(1/)^{3}=1/125.

Vermenigvuldig:2\cdot\frac{1}{125}=\frac{2}{125}2\cdot\frac{1}{125}=\frac{2}{12}2\cdot\frac{1}{125}=\frac212\cdot\frac{1}{125}=\frac{2}{\placeholder{}}2\cdot\frac{1}{125}=22\cdot\frac{1}{125}=2/2\cdot\frac{1}{125}=2/12\cdot\frac{1}{125}=2/122\cdot\frac{1}{125}=2/1252\cdot\frac{1}{12}=2/1252\cdot\frac11=2/1252\cdot\frac{1}{\placeholder{}}=2/1252\cdot1=2/1252\cdot1/=2/1252\cdot1/1=2/1252\cdot1/12=2/1252\cdot1/125=2/12521/125=2/125.

Voorbeeld 3:\left(8-6\right)^{-3}\left(8-6^{-3}\right)8-6^{-3}8-6^{-}8-68-6^8-6^{-}8-6^{-}^

Bereken binnen de haakjes:.

Maak de exponent positief:\frac{1}{2^3}=\frac18\frac{1}{2^3}=\frac{1}{\placeholder{}}\frac{1}{2^3}=1\frac{1}{2^3}=1/\frac{1}{2^3}=1/8\frac12=1/8\frac{1}{\placeholder{}}=1/81=1/81/=1/81/(=1/81/(2=1/81/(2^=1/81/(2^{3}=1/8.

Voorbeeld 4:(\frac13)^{-4}(\frac13)^{-}(\frac13)(\frac13)^(\frac13)^{-}(\frac13)^{-}^(\frac13)^{-}^{4}(\frac{1}{\placeholder{}})^{-}^{4}(1)^{-}^{4}(1/)^{-}^{4}

Maak eerst de exponent positief:\frac{1}{\left(\frac13\right)^4}\frac{1}{\left(\frac13\right)}\frac{1}{\left(\frac13\right)}\frac{1}{\frac13}\frac{1}{\frac{1}{\placeholder{}}}\frac11\frac{1}{\placeholder{}}1.

Verdeel de macht over de breuk:\frac{1}{\frac{1^4}{3^4}}\frac{1}{\frac{1^4}{3}}\frac{1}{\frac13}\frac{1}{\left(\frac13\right.}\frac{1}{\left(\frac13\right)}\frac{1}{\left(\frac13\right)^{}}.

Reken de machten uit:\frac{1}{\frac{1}{81}}\frac{1}{\frac18}\frac{1}{\frac{1}{}}\frac{1}{\frac13}\frac{1}{\frac{1}{3^{}}}\frac{1}{\frac{1}{3^4}}\frac{1}{\frac{1^{}}{3^4}}. Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:1\cdot\frac{81}{1}=811\cdot\frac{81}{1}=81\cdot\frac{81}{1}=1\cdot\frac{81}{1}1\cdot\frac{81}{\placeholder{}}1\cdot811\cdot81\cdot1.

Een snellere manier is om de breuk om te draaien en de exponent positief te maken:\left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81\left(\frac13^{-4}=3^4=81\right.\left(\frac13)^{-4}=3^4=81\right.\left(\frac13)^{-4}=3^4=8\right.\left(\frac13)^{-4}=3^4=\right.\left(\frac13)^{-4}=3^4\right.\left(\frac13)^{-4}=3\right.\left(\frac13)^{-4}=\right.\left(\frac13)^{-4}=\left(\right.\right.\left(\frac13)^{-4}=\left(3\right.\right.\left(\frac13)^{-4}=\left(3\right)\right.\left(\frac13)^{-4}=\left(3\right.\right.\left(\frac13)^{-4}=\left(3\right)\right.\left(\frac13)^{-4}=\left(3\right)\right)\left(\frac13)^{-4}=\left(3\right)\right)(\frac13)^{-4}=\left(3\right)(\frac13)^{-4}=\left(\right)(\frac13)^{-4}=(\frac13)^{-4}=3(\frac13)^{-4}=(\frac13)^{-4}.