Inhoud piramide en kegel

Een piramide is een ruimtefiguur met een grondvlak, overige zijvlakken en een top. Het grondvlak kan een veelvoud van vormen hebben zoals een driehoek, vierkant, vijfhoek, en vele anderen.

De zijvlakken van een piramide zijn altijd driehoeken. Deze driehoeken gaan naar boven en komen samen in de tophoek.

Hoe bereken je de inhoud van een piramide?

De formule voor het berekenen van de inhoud van een piramide is:

\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{Hoogte}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{Hoogte}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{Hoogte}

Nu gaan we deze formule toepassen in twee verschillende voorbeelden.

Voorbeeld 1: Piramide met gelijkzijdige driehoek als grondvlak

Gegeven is een piramide met als grondvlak een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm en een hoogte van 8 cm. We gaan de inhoud van deze piramide berekenen.

Eerst berekenen we de oppervlakte van het grondvlak. Een gelijkzijdige driehoek heeft een oppervlakte van 0,5 \cdot basis \cdot hoogte. Omdat we geen hoogte hebben gegeven, moeten we deze berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. Dit leidt tot een hoogte van\sqrt{27}\ cm voor de driehoek.

De oppervlakte van het grondvlak is dan 0,5 \cdot 6 \cdot \sqrt{27} = 3\sqrt{27}\ cm^{2} .

Nu berekenen we de inhoud van de piramide met de formule:

\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\textbackslash frac\textbraceleft1\textbraceright\textbraceleft3\textbraceright\textbackslash cdot 3\textbackslash sqrt\textbraceleft27\textbraceright\textbackslash cdot8=41,569\ldots}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\textbackslash frac\textbraceleft1\textbraceright\textbraceleft3\textbraceright\textbackslash cdot 3\textbackslash sqrt\textbraceleft27\textbraceright\textbackslash cdot8=41,569\ldots}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\textbackslash frac\textbraceleft1\textbraceright\textbraceleft3\textbraceright\textbackslash cdot 3\textbackslash sqrt\textbraceleft27\textbraceright\textbackslash cdot8=41,569\ldots}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\textbackslash frac\textbraceleft1\textbraceright\textbraceleft3\textbraceright\textbackslash cdot 3\textbackslash sqrt\textbraceleft27\textbraceright\textbackslash cdot8=41,569\ldots}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = e}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\frac{\text{ Hoogte = e}}{}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\frac{\text{ Hoogte = e}}{\placeholder{}}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\frac{\text{ Hoogte = e}}{\placeholder{}}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\frac{\text{ Hoogte = e}}{\placeholder{}}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\frac{\text{ Hoogte = e}}{\placeholder{}}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\frac{\text{ Hoogte = e}}{9}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\frac{\text{ Hoogte = e}}{9}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\frac{\text{ Hoogte = e}}{\placeholder{}}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = e}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\textbraceright}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\textbraceright }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\textbraceright}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =e}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash c}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cd}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdo}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash t}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash te}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash tex}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash text}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash text\textbraceleft}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash text\textbraceleft\textbraceright}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash text\textbraceleft\textbraceright\$}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash text\textbraceleft\textbraceright\$\$}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\$\$ \textbackslash cdot\textbackslash text\textbraceleft\textbraceright\$\$}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =\textbackslash}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = \textbackslash}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = \textbackslash f}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = \textbackslash fr}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = \textbackslash fra}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = \textbackslash fr}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = \textbackslash f}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = \textbackslash}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte = }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte =}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte \lbrack}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte \lbrack }\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte \lbrack}\text{Inhoud piramide }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte }\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{27}\cdot8=41,569…

Uiteindelijk, volgens de vereiste afronding, krijgen we 42 kubieke centimeter als de inhoud van de piramide.

Voorbeeld 2: Piramide met rechthoek als grondvlak

Bij deze piramide is het grondvlak een rechthoek. Het doel van deze opdracht is om de inhoud van de piramide te berekenen. Hiervoor moeten we eerst de oppervlakte van het grondvlak bepalen. Dit is eenvoudig een rechthoek van 4 \cdot 3 , dus de oppervlakte van het grondvlak is 12 cm².

Om de hoogte van de piramide te berekenen, gebruiken we de stelling van Pythagoras. Hierbij nemen we de driehoek AET. Met behulp van de stelling van Pythagoras kunnen we berekenen dat de hoogte TE gelijk is aan \sqrt{42,75} . Als we dit in de formule invullen voor de inhoud van de piramide krijgen we het volgende:

\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\approx26\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\approx2\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\approx\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}75}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}7}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42{,}}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42.}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{42}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt4\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt2\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\cdot\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot3\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\cdot\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldots\frac{1}{3}\cdot\sqrt{27}\cdot8=41,569\ldotscm³.

Wat is een kegel?

De formule voor de inhoud van de kegel lijkt sterk op die van de piramide, maar het grondvlak van de kegel is een cirkel.

Hoe bereken je de inhoud van een kegel?

De formule voor de inhoud van de kegel is vergelijkbaar met die van de piramide:

\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel}=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kege}=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud keg}=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud ke}=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud k}=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud}=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoudk}=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}.

Echter, omdat het grondvlak van de kegel een cirkel is, gebruiken we de formule voor de oppervlakte van de cirkel (πr²) in de plaats van Oppervlakte\ Grondvlak in onze formule. Het resulteert in de formule voor de kegel:

\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot\text{ hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot\text{ oogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\text{ }\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot r\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\po\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\text{ Oppervlakte grondvlak}\cdot\text{ Hoogte}

Voorbeeld: Berekening van de inhoud van de kegel

Stel je voor dat we een kegel hebben waarvan de straal van het grondvlak 6 cm en de schuine zijden 12 cm zijn. Het doel van de opdracht is om de inhoud van de kegel te berekenen. Hiervoor moet eerst de hoogte van de kegel berekend worden. Deze hoogte kan berekend worden met behulp van de stelling van Pythagoras. Als de tweede bekende zijden invult, kom je op een hoogte van \sqrt{108}\ cm . Nu kunnen we alle gegevens invullen in de formule voor de inhoud van de kegel.

\text{Inhoud kegel }=\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot6^2\cdot\sqrt{108}=391,7806\ldotscm³.