Los op: 9+2\sqrt{x}=17
Wat zijn wortelvergelijkingen?
Wortelvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin de onbekende onder een wortelteken staat. Als voorbeeld nemen we de vraag: los op:\sqrt{x}=3.
Hierbij wordt er gekeken naar wanneer de grafieken van de formulesy=\sqrt{x}eny = 3gelijk zijn. De wiskundige term voor 'gelijk zijn' is snijden. We zijn dus op zoek naar het snijpunt van deze twee grafieken.
Grafieken tekenen
Het tekenen van de grafiek vany = 3is eenvoudig, want dit is een horizontale lijn op de hoogtey = 3. De grafiek vany=\sqrt{x}is wat ingewikkelder. Daarom maak je eerst een tabel om te zien wat er gebeurt als je verschillende waarden voor x invult. Een belangrijk punt om te onthouden is dat x niet negatief kan zijn, omdat de wortel van een negatief getal niet bestaat.
x | -1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
y | k.n. | 0 | 1 | 2 | 3 |
Door het tekenen van de grafieken, ontdekken we twee belangrijke punten: het beginpunt (0,0) en het snijpunt (9,3). Bij wortelvergelijkingen is er altijd een beginpunt omdat er voor x = 0 wel een waarde voor y is, maar voor alle waarden daarvoor niet.
Wat betekent de oplossing van een wortelvergelijking?
De praktische betekenis van het oplossen van een wortelvergelijking is het vinden van het snijpunt. Dit is waar de twee lijnen elkaar kruisen. In ons voorbeeld is het snijpunt (9,3). Maar let op, we zijn alleen geïnteresseerd in de x-coördinaat van het snijpunt. Dus in dit geval is de oplossing van de vergelijking x = 9.
Hoe los je wortelvergelijkingen op?
Laten we beginnen met het oplossen van de vergelijking\sqrt{x}=3zonder het gebruik van een grafiek. Het doel is om x te vinden, dus moeten we de wortel wegnemen. Dit doen we door de tegengestelde bewerking van de wortel te nemen, het kwadrateren. We kwadrateren beide kanten van de vergelijking. Hierdoor vinden we x = 9, wat overeenkomt met de x-coördinaat van het snijpunt.
Laten we nu een complexere wortelvergelijking oplossen:\sqrt{3x-2}=5.
1.Kwadrateer beide kanten: Net zoals we bij de eenvoudigere vergelijking deden, zullen we ook hier beide zijden van de vergelijking kwadrateren. Het kwadrateren van de linkerkant zal het wortelteken verwijderen en de vergelijking er als volgt uit laten zien:→.
2.Isoleren van de variabele: Nu moeten we de waarde van x vinden. Dat betekent dat we x aan één kant van de vergelijking willen hebben. Eerst voegen we 2 toe aan beide zijden van de vergelijking:→.
3.Oplossen voor x: Ten slotte delen we beide kanten van de vergelijking door 3 om x te isoleren:.
Merk op dat, in tegenstelling tot de vorige eenvoudigere vergelijking, we hier enkele extra stappen moesten nemen om x te isoleren en de vergelijking op te lossen.
De oplossing voor de vergelijking\sqrt{3x-2}=5is dusx = 9. Net als bij de vorige oplossing, komt dit overeen met de x-coördinaat van het snijpunt van de grafieken vany = \sqrt{3x-2}eny = 5.
