Vergelijkingen met machten

De basis van machtsvergelijkingen

Stel we hebben de vergelijking 3x⁴ - 16 = 32. Het eerste dat we doen is deze vergelijking opnieuw opschrijven en proberen om de onbekende x vrij te maken. Dit doen we door aan beide zijden van de vergelijking plus 16 te doen. We krijgen dan: 3x⁴ = 48.

Nu willen we weten waar de vergelijkingen elkaar snijden, of gelijk zijn aan elkaar. In dit geval zijn dat de punten A en B. Door de vergelijking verder op te lossen, komen we achter de exacte waarden van A en B. Om verder te gaan, delen we links en rechts door 3. Hierna nemen we de 4e machtswortel (en de negatieve 4e machtswortel) van 16. Dit levert ons dan de oplossing x = 2 of x = -2. Wat hebben we nu gevonden? We hebben de x-coördinaten gevonden van de snijpunten A en B.

Negatieve machtsvergelijkingen

Wat gebeurt er wanneer we een negatieve machtsvergelijking hebben, zoals 3x⁴ = -10? Ook hier zien we dat deze functie geen snijpunten heeft met de lijn A is min 10. Dat betekent dat er geen oplossingen zijn.

Derde en vijfde macht vergelijkingen

Vergelijkbare stappen kunnen worden genomen voor vergelijkingen met de derde of vijfde macht. Neem bijvoorbeeld\frac{1}{3}x^5+19=100\frac{1}{3}x^5+19=10\frac{1}{3}x^5+19=1\frac{1}{3}x^5+19=\frac{1}{3}x^5+19\frac{1}{3}x^5+1\frac{1}{3}x^5+\frac{1}{3}x^5\frac{1}{3}x\frac{1}{3}\large{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}\large{\frac{1}{3}}. Als we deze vergelijking stapsgewijs oplossen door eerst aan beide zijden 19 weg te nemen en daarna te vermenigvuldigen met 3, komen we uit op x⁵ = 243. Neem vervolgens de 5e machtswortel van 243. Hieruit volgt x = 3.

Voorbeeld 1

Bij zesde macht vergelijkingen, zoals -2x⁶ + 14 = 36, komen we echter tot de ontdekking dat er geen oplossingen zijn wanneer we de vereenvoudigde vorm x⁶ is een negatief getal krijgen.

Voorbeeld 2

Met een achtste macht vergelijking kan het nodig zijn om je antwoord af te ronden op twee decimalen. Neem bijvoorbeeld de vergelijking\frac{1}{4}\left(x-6\right)^8=135\frac{1}{4}\left(x-6\right)^8=13\frac{1}{4}\left(x-6\right)^8=1\frac{1}{4}\left(x-6\right)^8=\frac{1}{4}\left(x-6\right)^8\frac{1}{4}\left(x-6\right)\frac{1}{4}\left(x-6\right)\frac{1}{4}\left(x-\right)\frac{1}{4}\left(x\right)\frac{1}{4}\left(\right)\frac{1}{4}\large{\frac{1}{4}}. Als we deze vergelijking stapsgewijs oplossen, krijgen we uiteindelijk x = 8,1955 of x = 3,8044, die afgerond resulteren in x = 9,20 en x = 3,80.

Voorbeeld 3

Bij sommige vijfde macht vergelijkingen, zoals 0,6x⁵ = 20x², moeten we alle termen waar x in zit naar dezelfde zijde van de vergelijking brengen. Dit resulteert in x²(0,6x³ - 20) = 0. Dit betekent dat x = 0 of x = 3,22 (afgerond op twee decimalen).