Stelsels vergelijkingen

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat een stelsel vergelijkingen is.

•Je kunt een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van substitueren.

•Je kunt een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van elimineren.

Een stelsel vergelijkingen

Een stelsel vergelijkingen bestaat uit twee of meer vergelijkingen die tegelijkertijd moeten worden opgelost. Het doel is om de coördinaten van het snijpunt van de lijnen die door de vergelijkingen worden vertegenwoordigd, te vinden. Neem bijvoorbeeld het volgende stelsel:

\begin{cases}\frac{1}{2}x + 3y = 5\\x - 2y = 8 \end{cases}

De vergelijkingen vertegenwoordigen een lijn op een grafiek. De oplossing van dit stelsel zijn de x- en y-coördinaten van het snijpunt van deze twee lijnen.

Er zijn twee gebruikelijke methoden om deze soort vergelijkingen op te lossen: substitutie en eliminatie.

Stelsel vergelijkingen oplossen door substitutie

"Substitutie" is een ander woord voor "vervanging". Bij deze methode lossen we een vergelijking op door een variabele te vervangen in de andere vergelijking.

•In ons voorbeeld stelsel, lossen we de tweede vergelijking op voor x: x = 2y + 8

•Vervolgens substitueren we x in de eerste vergelijking: \frac12(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5(2y+8)+3y=5 (2y + 8) + 3y = 5

•Nu hebben we een vergelijking met slechts één variabele, y, die we kunnen oplossen:y=\frac14y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y= y = \large{\frac{1}{4}}

•Om de waarde van x te vinden, vullen we y=\frac14y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y= y = \large{\frac{1}{4}} in in een van de oorspronkelijke vergelijkingen. We kiezen de tweede vergelijking omdat deze eenvoudiger is:x=2\cdot\frac14+8x=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdot x = 2 \cdot \large{\frac{1}{4}}

•Hieruit volgt:x=8\frac12x=8\frac{1}{\placeholder{}}x=\frac{1}{\placeholder{}}x=\frac{}{\placeholder{}}x=\frac{8}{\placeholder{}}x=8x=8, x = 8,5

Dus de oplossing voor het stelsel is (8\frac12^{},\frac148\frac12^{},\frac{1}{\placeholder{}}8\frac12^{},18\frac12^{},8\frac12^{}8\frac12^{}^{}8\frac12^{}^{\prime}8\frac12^{}8\frac12^{\prime}8\frac12\frac12\frac{81}{2}\frac{81}{\placeholder{}}818).

Stelsel vergelijkingen oplossen door eliminatie

Bij de eliminatiemethode elimineren we één van de variabelen. Dit kan zowel x als y zijn. Laten we beginnen door de x te elimineren.

•Om dit te bereiken, moeten we de vergelijkingen vermenigvuldigen zodat de coëfficiënten van x in beide vergelijkingen gelijk zijn. In ons voorbeeld is het handig om de eerste vergelijking met 2 te vermenigvuldigen, en de tweede onveranderd te laten:2\cdot(\frac12x+3y)=2\cdot52\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot(2\cdot( 2 \cdot (\large{\frac{1}{2}} en x - 2y = 8

•Na vermenigvuldiging hebben we: x + 6y = 10 en x - 2y = 8

•Nu zijn de coëfficiënten van x in beide vergelijkingen gelijk. We kunnen de tweede vergelijking van de eerste aftrekken om x te elimineren: (x + 6y) - (x - 2y) = 10 - 8

•Dit resulteert in: 8y = 2

•De waarde van y kan nu eenvoudig worden gevonden door beide zijden van de vergelijking door 8 te delen:y=\frac28=\frac14y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y= y = \large{\frac{2}{8}}

•De waarde van x vinden we opnieuw door y=\frac14y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y=y= y = \large{\frac{1}{4}} in te vullen in de tweede vergelijking:x=2\cdot\frac14+8=0,5+8=8\frac12x=2\cdot\frac14+8=0,5+8=8\frac{1}{\placeholder{}}x=2\cdot\frac14+8=0,5+8=8\frac{}{\placeholder{}}x=2\cdot\frac14+8=0,5+8=\frac{}{\placeholder{}}x=2\cdot\frac14+8=0,5+8=\frac{8}{\placeholder{}}x=2\cdot\frac14+8=0,5+8=8x=2\cdot\frac14+8=0,5+8=8,x=2\cdot\frac14+8=0,5+8=8,5x=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdotx=2\cdot x = 2 \cdot \large{\frac{1}{4}}

Dus de oplossing van het stelsel met behulp van de eliminatie methode is (8\frac12^{},\frac14).