Leerdoelen
•Je kunt de lengte van een lichaamsdiagonaal berekenen in een ruimtefiguur met behulp van de verlengde stelling van Pythagoras.
•Je kunt de lengte van een willekeurig lijnstuk in een ruimtefiguur berekenen met behulp van de verlengde stelling van Pythagoras.
•Je kunt minimaal twee verschillende manieren laten zien voor het noteren van je berekening van de lengte van een lijnstuk.
•Je kunt de omtrek van een driehoek berekenen waarvan de zijden lijnstukken in een ruimtefiguur zijn.
De verlengde stelling van Pythagoras: een introductie
Wat is de verlengde stelling van Pythagoras?
De bekende stelling van Pythagoras wordt gebruikt om zijden van een rechthoekige driehoek in een plat vlak te berekenen. Maar wanneer in een driedimensionale ruimte wordt gewerkt, zoals bij een kubus of een balk, zijn er drie richtingen: breedte, lengte en hoogte. Hiervoor wordt de verlengde stelling van Pythagoras gebruikt. Dit houdt in dat niet twee, maar drie afstanden worden gekwadrateerd en bij elkaar worden opgeteld voordat de wortel wordt genomen.
De lichaamsdiagonaal berekenen
Een veelvoorkomende toepassing van de verlengde stelling van Pythagoras is het berekenen van een lichaamsdiagonaal. Dit is een lijnstuk dat twee tegenoverliggende hoekpunten van een ruimtefiguur met elkaar verbindt, dwars door het midden van de figuur.
Rekenvoorbeeld: Bereken de lengte van lichaamsdiagonaal AG
Stel, je hebt een balk met de volgende afmetingen:
•Lengte: 3 eenheden (naar rechts)
•Breedte: 5 eenheden (naar voren)
•Hoogte: 4 eenheden (omhoog)
Om van punt A naar punt G te komen, beweeg je:
1.3 eenheden naar rechts.
2.5 eenheden naar voren.
3.4 eenheden omhoog.
Volgens de verlengde stelling van Pythagoras doe je het volgende:
•3 kwadraat (3²) = 9
•5 kwadraat (5²) = 25
•4 kwadraat (4²) = 16
Tel deze kwadraten bij elkaar op: 9 + 25 + 16 = 50
De lengte van AG is de wortel van dit getal: AG = √50 ≈ 7,1 eenheden
Lijnstukken binnenin de ruimtefiguur
Een willekeurig lijnstuk berekenen
Niet elk lijnstuk begint of eindigt op een hoekpunt. Soms liggen de punten ergens anders in de figuur. De methode blijft hetzelfde: je bepaalt hoeveel je naar rechts/links, naar voren/achteren en omhoog/omlaag beweegt om van het ene punt naar het andere te komen.
Rekenvoorbeeld: Bereken de lengte van lijnstuk PQ
Stel, je hebt dezelfde balk als hierboven (lengte 3, breedte 5, hoogte 4). Punt P ligt 1 eenheid van punt A op de ribbe AD. Punt Q ligt 2 eenheden omhoog vanaf een punt op de achterste ribbe die op 3 eenheden van de zijkant ligt. Om van punt P naar punt Q te gaan, moet je de afstanden in elke richting bepalen:
1.Naar rechts: nog steeds 3 eenheden (zoals de lengte van de balk).
1.3 kwadraat (3²) = 9
2.Naar voren: de totale breedte is 5 eenheden. Omdat P al 1 eenheid naar voren ligt (vanaf A richting D), is de afstand naar voren nu nog 5 - 1 = 4 eenheden.
1.4 kwadraat (4²) = 16
3.Omhoog: In dit specifieke geval wordt 2 eenheden omhoog bewogen.
1.2 kwadraat (2²) = 4
Tel de kwadraten bij elkaar op: 9 + 16 + 4 = 29
De lengte van PQ is de wortel van dit getal: PQ = √29 ≈ 5,4 eenheden
Het noteren van je berekening
Er zijn verschillende manieren om je berekening overzichtelijk te noteren. Je mag zelf kiezen welke methode je gebruikt, zolang je berekening maar duidelijk leesbaar is.
Methode 1: De gedetailleerde methode (zoals in de voorbeelden hierboven)
•Rechts: 3 * 3 = 9
•Voor: 4 * 4 = 16
•Omhoog: 2 * 2 = 4
•Totaal: 9 + 16 + 4 = 29
•PQ = √29 ≈ 5,4
Methode 2: De compacte methode Dit is de methode die de docent vaak als voorkeur heeft, omdat deze korter en efficiënter is.
•PQ² = 3² + 4² + 2² = 9 + 16 + 4 = 29
•PQ = √29 ≈ 5,4
Een lijnstuk over drie ribben (Voorbeeld AG2)
Soms moet je een lijnstuk berekenen dat weliswaar tussen twee hoekpunten loopt, maar niet per se een lichaamsdiagonaal is. De route die je kiest om de afstanden te bepalen, kan variëren, maar de uitkomst blijft hetzelfde.
Rekenvoorbeeld: Bereken de lengte van lijnstuk AG via een andere route
Stel, je hebt een andere balk en je wilt de afstand van A naar G berekenen. Je kiest ervoor om niet direct de lichaamsdiagonaal te nemen, maar een route over de ribben:
1.4 eenheden naar voren.
2.4 eenheden omhoog.
3.3 eenheden naar rechts.
Pas de verlengde stelling van Pythagoras toe:
•4 kwadraat (4²) = 16
•4 kwadraat (4²) = 16
•3 kwadraat (3²) = 9
Tel de kwadraten bij elkaar op: 16 + 16 + 9 = 41
De lengte van AG is de wortel van dit getal: AG = √41 ≈ 6,4 eenheden
De omtrek van een driehoek in een ruimtefiguur (Voorbeeld STK)
Je kunt de verlengde stelling van Pythagoras ook gebruiken om de zijden van een driehoek te berekenen die zich in een ruimtefiguur bevindt. De omtrek van deze driehoek is dan de som van de lengtes van deze zijden.
Rekenvoorbeeld: Bereken de omtrek van driehoek STK
Er is een balk met de volgende afmetingen:
•De totale lengte van de ribbe MP is 9 eenheden. Punt S ligt precies in het midden van MP, dus van M naar S is 4,5 eenheden.
•Er is een ribbe JK met een lengte van 9 eenheden.
De afzonderlijke zijden berekenen
1. Bereken de lengte van zijde TS Om van T naar S te komen, beweeg:
•3 eenheden naar rechts.
•4,5 eenheden naar voren (vanwege S in het midden van MP).
•4 eenheden omhoog.
Berekening van TS: TS² = 3² + 4,5² + 4² TS² = 9 + 20,25 + 16 TS² = 45,25 TS = √45,25 (Rond nog niet af)
2. Bereken de lengte van zijde SK Om van S naar K te komen, beweeg:
•4 eenheden omhoog.
•6 eenheden naar links.
•4,5 eenheden terug (of naar achteren).
Berekening van SK: SK² = 4² + 6² + 4,5² SK² = 16 + 36 + 20,25 SK² = 72,25 SK = √72,25 (Rond nog niet af!)
.
3. Bereken de lengte van zijde TK Dit is een speciaal geval. Om van T naar K te gaan, vindt er geen beweging omhoog of omlaag ten opzichte van elkaar plaats. Beide punten blijven op hetzelfde ‘niveau’. Dit betekent dat het eigenlijk een berekening is in een plat vlak.
•3 eenheden naar rechts.
•9 eenheden naar voren.
Berekening van TK: TK² = 3² + 9² TK² = 9 + 81 TK² = 90 TK = √90 (Rond nog niet af!)
De omtrek bepalen
Nu de lengte van alle drie de zijden (TS, SK en TK) zijn berekend, kan de omtrek van driehoek STK worden bepaald. Omtrek (STK) = TS + SK + TK Omtrek (STK) = √45,25 + √72,25 + √90
Rond nu de totale omtrek af: Omtrek (STK) ≈ 6,73 + 8,50 + 9,49 Omtrek (STK) ≈ 24,72 eenheden
Afgerond op één decimaal is de omtrek van driehoek STK ongeveer 24,7 eenheden.
