Gelijkvormigheid

Leerdoelen

•Je kunt gelijkvormigheid gebruiken om zijden te berekenen

Wat is gelijkvormigheid?

Gelijkvormigheid betekent dat twee figuren dezelfde vorm hebben, maar niet per se dezelfde grootte. Ze zijn als het ware een vergroting of verkleining van elkaar. Een goed voorbeeld hiervan is een zandloperfiguur, dat vaak bestaat uit twee gelijkvormige driehoeken.

Hoe herken je gelijkvormige figuren?

Om te bepalen of twee driehoeken gelijkvormig zijn, zoek je naar gelijke hoeken:

•Z-hoeken (of schuifsymmetrie): als twee lijnen evenwijdig zijn (bijvoorbeeld lijn AB en lijn DE in een zandloperfiguur), kun je een Z-vorm tussen deze lijnen tekenen. De hoeken in de 'knieën' van de Z zijn dan gelijk. Zo zijn hoek E en hoek B hetzelfde, en hoek A en hoek D.

•Overstaande hoeken: twee hoeken die recht tegenover elkaar liggen waar twee lijnen elkaar kruisen, zijn altijd gelijk. In een zandloperfiguur zijn de twee hoeken in het midden (C1 en C2) overstaande hoeken en dus even groot.

•Hoekensom driehoek: de som van de hoeken in elke driehoek is altijd 180 graden. Als je al twee gelijke hoeken in twee verschillende driehoeken hebt gevonden, moet de derde hoek automatisch ook gelijk zijn.

Als je hebt vastgesteld dat alle hoeken van de ene driehoek gelijk zijn aan de hoeken van de andere driehoek, dan zijn de twee driehoeken gelijkvormig.

Zijdes berekenen met gelijkvormigheid

Driehoeken in dezelfde stand tekenen

Wanneer je zijden gaat berekenen in gelijkvormige driehoeken, is het handig om de driehoeken in dezelfde stand te tekenen. Zo zie je duidelijk welke zijdes bij elkaar horen.

Stel, je hebt een zandloperfiguur met driehoeken DEC en ABC. De video schetst deze zo dat:

•Hoek D en hoek A linksonder zijn.

•Hoek E en hoek B rechtsonder zijn.

•De C-hoeken (C1 en C2) bovenin zijn.

Gegevens:

•Driehoek DEC: DE = 13, DC = 8, EC = ?

•Driehoek ABC: AC = 14, BC = 16, AB = ?

De factor berekenen

Om de onbekende zijden te berekenen, zoek je eerst de factor waarmee de ene driehoek is vergroot of verkleind ten opzichte van de andere. Je berekent deze factor door twee overeenkomstige zijden van de twee driehoeken te delen, waarvan je beide lengtes kent.

De zijde DC (8) en zijde AC (14) zijn overeenkomstig en bekend. De factor bereken je als volgt: Factor = lengte van zijde in de ene driehoek / lengte van overeenkomstige zijde in de andere driehoek Factor = \frac{AC}{DC}=\frac{14}{8}=1,75\frac{AC}{DC}=\frac{14}{\placeholder{}}=1,75\frac{AC}{DC}=14=1,75\frac{AC}{DC}=14/=1,75\frac{AC}{DC}=14/8=1,75\frac{AC}{D}=14/8=1,75\frac{AC}{\placeholder{}}=14/8=1,75AC=14/8=1,75ACD=14/8=1,75ACDC=14/8=1,75

Dit betekent dat de zijden van driehoek ABC 1,75 keer zo groot zijn als de overeenkomstige zijden van driehoek DEC.

Onbekende zijdes berekenen

Nu je de factor kent (1,75), kun je de onbekende zijdes berekenen:

•Bereken AB (overeenkomstig met DE): DE = 13 AB=DE\times factor=13\times1,75=22,75AB=DE\times factor=131,75=22,75AB=DE\times factor=13*1,75=22,75AB=DEfactor=13*1,75=22,75

•Bereken EC (overeenkomstig met BC): BC = 16 Omdat driehoek DEC kleiner is dan driehoek ABC, moet je nu delen door de factor: EC=\frac{BC}{factor}=\frac{16}{1{,}75}=9,1EC=\frac{BC}{factor}=\frac{16}{1{,}75}=9,14EC=\frac{BC}{factor}=\frac{16}{1{,}7}=9,14EC=\frac{BC}{factor}=\frac{16}{1{,}}=9,14EC=\frac{BC}{factor}=\frac{16}{1}=9,14EC=\frac{BC}{factor}=\frac{16}{\placeholder{}}=9,14EC=\frac{BC}{factor}=16=9,14EC=\frac{BC}{factor}=16/=9,14EC=\frac{BC}{factor}=16/1=9,14EC=\frac{BC}{factor}=16/1,=9,14EC=\frac{BC}{factor}=16/1,7=9,14EC=\frac{BC}{factor}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{fact}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{fact\lor}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{facto}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{fact}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{fact\lor}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{facto}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{fact}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{fac}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{fa}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{f}=16/1,75=9,14EC=\frac{BC}{\placeholder{}}=16/1,75=9,14EC=BC=16/1,75=9,14EC=BC/=16/1,75=9,14EC=BC/f=16/1,75=9,14EC=BC/fa=16/1,75=9,14EC=BC/fac=16/1,75=9,14EC=BC/fact=16/1,75=9,14EC=BC/facto=16/1,75=9,14 .

Let op: als je van de kleine naar de grote driehoek rekent, vermenigvuldig je met de factor. Als je van de grote naar de kleine driehoek rekent, deel je door de factor.

Werken met een tabel

Veel wiskundeboeken gebruiken een tabel om zijdes in gelijkvormige figuren te berekenen. Dit is een overzichtelijke manier en werkt op hetzelfde principe als de schetsmethode.

Je zorgt er ook hier voor dat de overeenkomstige hoeken en zijdes op de juiste plekken staan.

In de tabel vermenigvuldig je van de bovenste rij naar de onderste rij met 1,75, en andersom deel je door 1,75.

Belangrijke rekenregels

Niet tussendoor afronden

Een veelgemaakte fout bij het berekenen met factoren is het tussendoor afronden. Dit kan leiden tot onnauwkeurige eindantwoorden.

Stel, je berekent een factor van 75 / 180 = 0,416666... Als je dit afrondt naar 0,42 en vervolgens verder rekent (bijvoorbeeld 260\times0,422600,42), dan is je antwoord (109,2) minder precies dan wanneer je de hele reeks decimalen gebruikt.

Gebruik daarom altijd:

•De Ans-knop van je rekenmachine: Hiermee gebruik je het complete, niet-afgeronde antwoord van de vorige berekening.

•Schrijf de volledige factor op als je die opschrijft, of typ hem volledig in je rekenmachine.

De factor: keer of delen?

Je kunt de factor op twee manieren berekenen:

1.Van groot naar klein: bijvoorbeeld \frac{75}{180}=0,41666...\frac{75}{18}=0,41666...\frac{75}{1}=0,41666...\frac{75}{\placeholder{}}=0,41666...75=0,41666...75/=0,41666...75/1=0,41666...75/18=0,41666...

2.Van klein naar groot: bijvoorbeeld \frac{180}{75}=2,4\frac{180}{7}=2,4\frac{180}{\placeholder{}}=2,4180=2,4180/=2,4180/7=2,4

Beide factoren zijn correct.

•Als je factor 2,4 is (van klein naar groot), dan vermenigvuldig je met 2,4 om een grotere zijde te vinden, en deel je door 2,4 om een kleinere zijde te vinden.

•Als je factor 0,41666... is (van groot naar klein), dan vermenigvuldig je met deze factor om een kleinere zijde te vinden, en deel je door deze factor om een grotere zijde te vinden.

Rekenvoorbeeld: de vlaggenmast

Paul staat naast een vlaggenmast. De schaduwen van de vlaggenmast en van Paul worden veroorzaakt door zonlicht. De schaduw van de vlaggenmast is 8,15 m lang. Paul is 1,84 meter lang en zijn schaduw is 2,40 meter lang. Bereken de hoogte van de vlaggenmast. Rond je antwoord af op hele centimeters.

De berekening uitvoeren

1.Bereken de factor: 2{,}4\times iets=8{,}12{,}4\times iets=8{,}2{,}4\times iets=82{,}4\times iets=2{,}4\times iets2{,}4\times iet2{,}4\times ie2{,}4\times i2{,}4\times2{,}42{,}22\times22x2Dit betekent dat de factor \frac{8{,}1}{2{,}4}\frac{8{,}1}{2{,}}\frac{8{,}1}{2{,}1}\frac{8{,}}{2{,}1}\frac{8}{2{,}1}\frac{8}{2{,}}\frac82\frac{8}{2.}\frac82\frac{8}{\placeholder{}}88{,}8{,}18{,}88,8,18,\frac{1}{}8,\frac128,\frac{1}{2{,}}8,\frac{1}{2{,}4}8,\frac{1}{2{,}}8,\frac128,\frac{1}{\placeholder{}}8,18,1/8,1/28,1/2, is. Factor = \frac{8{,}1}{2{,}4}=3,375.\frac{8{,}1}{2{,}}=3,375.\frac{8{,}1}{2{,}1}=3,375.\frac{8{,}1}{2{,}}=3,375.\frac{8{,}1}{2}=3,375.\frac{8{,}1}{\placeholder{}}=3,375.\frac{8{,}}{\placeholder{}}=3,375.\frac{8}{\placeholder{}}=3,375.8=3,375.8,=3,375.8,1=3,375.8,1/=3,375.8,1/2=3,375.8,1/2,=3,375.

2.Bereken de hoogte van de vlaggenmast: De hoogte van de vlaggenmast is de overeenkomstige zijde van 1,84. Hoogte vlaggenmast = 1,84\times factor=1,84\times3,375=6,211,84\times factor=1,84\times3,375=6,21m1,84\times factor=1,84\times3,375=6,21m.1,84\times factor=1,84\times3,375=6,21me.1,84\times factor=1,84\times3,375=6,21met.1,84\times factor=1,84\times3,375=6,21mete.1,84\times factor=1,84\times3,375=6,21meter.1,84factor=1,84\times3,375=6,21meter.1,84*factor=1,84\times3,375=6,21meter.1,84*factor=1,843,375=6,21meter.meter.

Afronden en eenheden

De vraag is: "Bereken de hoogte van de vlaggenmast. Rond je antwoord af op hele centimeters."

Antwoord = 6,21 meter. Omzetten naar centimeter: vermenigvuldigen met 100: 6,21 meter = 621 centimeter.