Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat een parameter is.
•Je kunt omgaan met parameters in verschillende situaties.
Wat is een parameter?
Een parameter is een waarde die je kunt variëren binnen een functie. In de functiebijvoorbeeld, kan de parameterverschillende waarden aannemen. Voor elke waarde vankrijg je een nieuwe functief(x).(f(x).Dit maakt het mogelijk om eindeloos veel functies te noteren met slechts één parameter.
Voor welkeraakt de grafiek de x-as?
Laten we de functiebekijken. Deze functie is een dalparabool, omdat de coëfficiënt van(namelijk3) positief is. De grafiek raakt de x-as wanneer de discriminant (D) nul is.
De discriminant voor een kwadratische functie is gegeven door de formule: Voor onze functie isa=3,\,b=-6,a=3,b=-6,a=3,b=-6,a=3,b=-6,(a=3,b=-6,(a=3),b=-6,(a=3),b=-6),enc=p.c=p).We kunnen dit als volgt invullen:
Als we willen weten voor welkede grafiek de x-as raakt, stellen weD=0:(D=0: Door deze vergelijking op te lossen, krijg je:
Voorligt de top van de parabool dus precies op de x-as.
Voor welkeligt het puntop de grafiek?
Nu ga je onderzoeken voor welke waarden vanhet puntop de grafiek vanligt. Hier geldt dat als je de x-coördinaatinplugt in de functie, de y-coördinaateruit moet komen.
We substitueren: We willen weten wanneer: Dit leidt ons tot: Factoreer de vergelijking: Hieruit volgt dat ofp=3.(p=3.Dus, voor deze waarden ligt puntop de grafiek.
Opdrachten over parameters
Opdracht 1
Gegeven is de functief(x)=-2x^2+8px-5p.f(x)=-2x^2+8p-5p.(f(x)=-2x^2+8p-5p.Bereken voor welkede y-coördinaat van de top gelijk is aanGebruik de formule voor de x-coördinaat van de top: Hieruit volgt: De coördinaat van de top op de y-as kan worden berekend doorin de functie te substitueren, wat leidt totf\left(2p\right)=8p^2-5p.f\left(2p\right)=8p^2-5p=.f\left(2p\right)=8p^2-5p=3.f\left(2p\right)=8p^2-5.f\left(2p\right)=8p^2-5p.f\left(2p\right)=8p^2-5p=.f\left(2p\right)=8p^2-5p=3.f\left(2p\right)8p^2-5p=3.f\left(2p8p^2-5p=3.\right)f\left(28p^2-5p=3.\right)f\left(208p^2-5p=3.\right)f\left(28p^2-5p=3.\right)f\left(8p^2-5p=3.\right)f8p^2-5p=3.8p^2-5p=3.8p^2-5p=3).Dit is gelijk aanomdat dit in de vraag wordt gegeven. Onze vergelijking wordt dan8p^2-5p=3\rightarrow8p^2-5p-3=08p^2-5p=3\rightarrow8p^2-5p-3=8p^2-5p=3\rightarrow8p^2-5p-38p^2-5p=3\rightarrow8p^2-5p-8p^2-5p=3\rightarrow8p^2-5p8p^2-5p=3\rightarrow8p^2-58p^2-5p=3\rightarrow8p^2-8p^2-5p=3\rightarrow8p^28p^2-5p=3\rightarrow8p8p^2-5p=3\rightarrow88p^2-5p=3\rightarrow8-8p^2-5p=3\rightarrow8-^{}8p^2-5p=3\rightarrow8-^28p^2-5p=3\rightarrow8-^2-8p^2-5p=3\rightarrow8-^28p^2-5p=3\rightarrow8-8p^2-5p=3\rightarrow88p^2-5p=3\rightarrow8p^2-5p=38p^2-5p=38p^2-5p=38p^2-5p=38p^2-5p=38p^2-5p=38p^2-5p=38p^2-5p=8p^2-5p8p^2-58p^2-5p8p^2-58p^2-8p^28p8808Los deze vergelijking op met de ABC-formule. Allereerst berekenen we de discriminant, deze wordt gegeven door de formuleD=b^2-4acD=b^2-4aD=b^2-4aaD=b^2-4aacD=b^2-4aaD=b^2-4aD=b^2-4D=b^2-D=b^2D=bD=D=-D=DD, meta=8{,}\;b=-5a=8{,}\;b=-a=8{,}\;b=a=8{,}b=a=8{,}b=a=8{,}b=a=8{,}\,b=a=8{,}\,ba=8{,}\,a=8{,}a=8{,}a=8{,}a=8{,}ba=8{,}a=8a=aenc=-3c=-c=c=0c=c:D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25+96=121D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25+96=12D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25+96=1D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25+96=D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25+96D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25+9D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25+D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25-D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-3=25D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot-=25D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot=25D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot0=25D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot0=2D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot0=D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdot0D=\left(-5\right)^2-4\cdot8\cdotD=\left(-5\right)^2-4\cdot8D=\left(-5\right)^2-4\cdotD=\left(-5\right)^2-4D=\left(-5\right)^2-D=\left(-5\right)^2D=\left(-5\right)D=\left(-5\right)D=\left(-\right)D=\left(\right)D=D. Dit invullen in de ABC-formule geeft de volgende waarden voor p:p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=\frac{5\pm11}{16}p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=\frac{5\pm11}{1}p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=\frac{5\pm11}{\placeholder{}}p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=5\pm11p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=5\pm1p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=5\pmp=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=5p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=5p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=5p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=5p=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}==\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=x=\frac{--5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=x=\frac{-5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}=x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{2\cdot8}x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{2\cdot}x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{2}x=\frac{5\pm\sqrt{121}}{\placeholder{}}x=5\pm\sqrt{121}x=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5\pmx=5x=5x=5x=x, dusp=\frac{5+11}{16}=1p=\frac{5+11}{16}=p=\frac{5+11}{16}p=\frac{5+11}{1}p=\frac{5+11}{\placeholder{}}p=5+11p=5+\frac{11}{\placeholder{}}p=5+11p=5+1p=5+p=5p=pofp=\frac{5-11}{16}=-\frac38p=\frac{5-11}{16}=-\frac{3}{\placeholder{}}p=\frac{5-11}{16}=-3p=\frac{5-11}{16}=-p=\frac{5-11}{16}=p=\frac{5-11}{16}p=\frac{5-11}{1}p=\frac{5-11}{\placeholder{}}p=5-11p=5-1p=5-p=5p=p=0p=p.
Opdracht 2
Bereken voor welkede functiede x-as in twee punten snijdt. De discriminant moet groter zijn danom twee snijpunten te hebben:
D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac14\cdot p=81-pD=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac14\cdot p=81-D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac14\cdot p=81D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac14\cdot p=8D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac14\cdot p=D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac14\cdot pD=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac14\cdotD=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac14D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac{1}{\placeholder{}}D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac{14}{\placeholder{}}D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac{1}{\placeholder{}}D=\left(-9\right)^2-4\cdot\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}D=\left(-9\right)^2-4\cdotD=\left(-9\right)^2-4D=\left(-9\right)^2-D=\left(-9\right)^2D=\left(-9\right)D=\left(-9\right)D=\left(-\right)D=\left(\right)D=D
Dit geeft ons dat:
81-p>081-p>81-p81-81-081-818
We brengen denaar de andere kant:
-p>-81-p>-8-p>--p>-p>8-p>81-p>8-p>-p-8818
Delen doorzorgt ervoor dat het teken omklapt:
p<81p<8p<p
Voor elkeonderheeft de functie twee snijpunten met de x-as.
Opdracht 3
Bereken voor welkede functiegeen snijpunten heeft met de x-as. Dit gebeurt wanneerD<0.(D<0.
We beginnen weer met het berekenen van de discriminant:
D=p^2-4\cdot1\cdot\left(-2p+5\right)=p^2+8p-20D=p^2-4\cdot1\cdot\left(-2p+5\right)=p^2+8p-2D=p^2-4\cdot1\cdot\left(-2p+5\right)=p^2+8p-D=p^2-4\cdot1\cdot\left(-2p+5\right)=p^2+8pD=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)=p^2+8pD=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)=p^2+8D=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)=p^2+D=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)=p^2D=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)=pD=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)=D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)=D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+5\right)D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p+\right)D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1\cdot\left(2p\right)D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1\cdot\left(2\right)D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1\cdot\left(\right)D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1\cdotD=b^2-4ac=p^2-4\cdot1D=b^2-4ac=p^2-4\cdot1D=b^2-4ac=p^2-4\cdotD=b^2-4ac=p^2-4D=b^2-4ac=p^2-D=b^2-4ac=p^2D=b^2-4ac=pD=b^2-4ac=D=b^2-4acD=b^2-4aD=b^2-4acD=b^2-4aD=b^2-4D=b^2-D=b^2D=bD=D=-D=-bD=-D=D
De voorwaarde voor geen snijpunten is dat de discriminant kleiner is dan nulD<0D<0DD<0D<:
p^2+8p-20<0p^2+8p-20<p^2+8p-20p^2+8p-2p^2+8p-p^2+8pp^2+8p^2+p^2p
Om deze ongelijkheid op te lossen kijken we eerst wanneer de vergelijking gelijk is aan 0:
p^2+8p-20=0p^2+8p-200
Door middel van de som-product-methode kunnen we dit schrijven als:
\left(p+10\right)\left(p-2\right)=0\left(p+10\right)\left(p-2\right)=\left(p+10\right)\left(p-2\right)\left(p+10\right)\left(p-2\right)\left(p+10\right)\left(p-\right)\left(p+10\right)\left(p\right)\left(p+10\right)\left(\right)\left(p+10\right)\left(p+10\right.\left(p+10\right)\left(p+10\right)\left(\right)\left(p+10\right)\left(p+1\right)\left(p+\right)\left(p\right)\left(\right)
Dus bijp=-10p=-1p=-p=penp=2p=pis de discriminant nul. Als we een schets maken zien we waar de discriminant onder de nul komt.
In de figuur zien we dat de discriminant onder de nul ligt tussenen, dus-10<p<2-10<p<-10<p-10<p-10<-10-1-.
