De deegroller in deze afbeelding is opgebouwd uit twee kleine cilinders en één grote cilinder. De afmetingen staan in de tekening. De deegroller is van massief hout gemaakt. Hoeveel cm3 hout is er gebruikt voor deze deegroller?
In dit artikel wordt uitgelegd hoe je de inhoud kunt berekenen van een cilinder en van een prisma. Er staat uitleg in over wat een cilinder en wat een prisma is en er staan formules in voor het berekenen van de inhoud van deze driedimensionale vormen.
Wat is een prisma?
Een prisma is een ruimtelijke figuur met twee evenwijdige zijvlakken die identiek zijn. Deze zijvlakken worden het bovenvlak en grondvlak genoemd. Wat ook belangrijk is, is dat de andere zijvlakken rechthoeken zijn.
Driehoek
Een voorbeeld van een prisma is een figuur waarbij het bovenvlak of grondvlak een driehoek is, en de overige zijvlakken rechthoeken zijn. Het maakt niet uit welke kant je als bovenvlak of grondvlak beschouwt, omdat ze identiek en evenwijdig aan elkaar zijn.
Kubus
Een ander voorbeeld is een prisma waarbij het bovenvlak een vierkant is, en de overige vlakken rechthoeken of ook vierkanten zijn. Dit is een bijzonder prisma, want als alle zijvlakken vierkanten zijn, is het een kubus. Als de bovenvlak en grondvlak rechthoeken zijn, dan is het een balk. Maar het is dus ook een prisma.
Andere voorbeelden
In andere voorbeelden hebben we een prisma waarvan het bovenvlak en grondvlak een zeshoek of een achthoek vormen. De resterende zijvlakken zijn wederom rechthoeken. Wat goed is om te weten, is dat het grondvlak van een prisma niet aan de onderkant hoeft te zijn. Het maakt eigenlijk niet uit welke kant je als bovenvlak of grondvlak beschouwt, als ze, maar identiek en evenwijdig zijn.
Hoe bereken je de inhoud van een prisma?
De formule voor het berekenen van de inhoud van een prisma is de oppervlakte van het grondvlak vermenigvuldigd met de hoogte.
Inhoud prisma = oppervlakte van het grondvlak × hoogte
Stappenplan inhoud prisma berekenen
Het berekenen van de inhoud van een prisma doe je aan de hand van dit stappenplan:
1. Identificeer het grondvlak en de hoogte van het prisma: Het grondvlak van een prisma is het tweedimensionale figuur dat de basis van het prisma vormt. De hoogte van een prisma is de afstand tussen de twee grondvlakken.
2. Bereken de oppervlakte van het grondvlak: Afhankelijk van de vorm, kun je verschillende formules gebruiken:
•Voor een vierkant of rechthoek: Oppervlakte = lengte x breedte
•Voor een driehoek: Oppervlakte = ½ × basis × hoogte
•Voor een trapezium: Oppervlakte = ½ × (som van de lengtes van de evenwijdige zijden) × hoogte
3. Vermenigvuldig de oppervlakte van het grondvlak met de hoogte van het prisma: De inhoud van het prisma wordt berekend door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte van het prisma, vandaar de formule: Inhoud prisma = oppervlakte van het grondvlak × hoogte
Oefenen
Laten we dit eens toepassen op een voorbeeld:
Stel je hebt een prisma waarvan het grondvlak een vierhoek is, de vierhoek ABFE.
Een manier om de oppervlakte te berekenen is door de vierhoek op te splitsen in een rechthoek en een driehoek met een loodlijn vanaf punt S op AB. Deze loodlijn verdeelt de lijn AB, die een lengte van 6 eenheden heeft, in AS, die een lengte van 4 eenheden heeft (gelijk aan EF), en BS, die een lengte van 2 eenheden heeft.
Nu kunnen we de oppervlakte van het grondvlak berekenen. De oppervlakte van de rechthoek ASFE is en de oppervlakte van de driehoek SBF . Als we deze twee oppervlakten optellen, krijgen we een totaal van 25 vierkante centimeter.
Een andere manier om de oppervlakte van het grondvlak te berekenen, is door te herkennen dat het een trapezium is. De oppervlakte van een trapezium = ½ × (som van de lengtes van de evenwijdige zijden) × hoogte. In dit geval zou de berekening er als volgt uitzien: \frac{1}{2}\times2\times5=25\;cm^2\frac{1}{2}\times2\times5=25cm^2\frac{1}{2}\times2\times5=25cm^2\frac{1}{2}\times2\times5=25cm^2\frac{1}{2}\times2\times5=25cm
Met de oppervlakte van het grondvlak, is alleen de hoogte van het prisma nog nodig om de inhoud te berekenen. In dit prisma kan de hoogte worden bepaald door de lijnen BC, FG, EH of AD, die allemaal een lengte van 8 eenheden hebben. Door de oppervlakte van het grondvlak (25 vierkante centimeter) te vermenigvuldigen met de hoogte (8 eenheden), krijgen we een inhoud van 200 kubieke centimeter voor het prisma, want 8\times25=200\;cm^38\times25=200cm^38\times25=200cm^38\times25=200cm^38\times25=200cm^33
Wat is een cilinder?
Een cilinder is een ruimtelijke figuur met twee evenwijdige cirkelvormige vlakken (grondvlak en bovenvlak) en een gebogen zijvlak dat deze cirkels verbindt. De afstand vanaf het middelpunt van het grondvlak naar de buitenlijn van de cirkel wordt de straal genoemd. Dit is de helft van de diameter.
Hoe bereken je de inhoud van een cilinder?
De formule voor het berekenen van de inhoud van een cilinder is:
Inhoud cilinder = oppervlakte van het grondvlak × hoogte
De formule voor de oppervlakte van een cirkel (grondvlak) is:
Oppervlakte cirkel =\pi\times r^2{}\pi\times r{},staat voor pi envoor de straal
Je zou de formule voor het berekenen van de inhoud van een cilinder daarom ook kunnen schrijven als:
Inhoud cilinder =\pi\times r^2{}\times hoogte\pi\times r{}\times hoogte\pi\times r^{}\times hoogteof Inhoud cilinder =\pi\times r^2\times h\pi\times r\times h\pi\times r^\times h\pi\times r^{^22}\times h
Stappenplan inhoud cilinder berekenen:
1.Identificeer de straal en de hoogte: Bepaal de straal (r) en de hoogte (h) van de cilinder. Als je de diameter (d) krijgt in plaats van de straal, deel je deze door twee om de straal te vinden.
2.Bereken de oppervlakte van het grondvlak: De oppervlakte van het grondvlak van een cilinder (dat altijd een cirkel is) wordt gegeven door de formule π × r², waarbij r de straal is. Voer deze berekening uit om de oppervlakte te vinden.
3.Bereken de inhoud van de cilinder: De inhoud van de cilinder kan worden berekend door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte van de cilinder. De formule is dus: inhoud=\pi\times r^2\times h=\pi\times r\times h=\pi\times r^\times h
4.Eenheid van volume: Zorg ervoor dat de eenheid van je antwoord overeenkomt met de eenheden die je in de vraag hebt gebruikt. Als je bijvoorbeeld de straal en hoogte in centimeters hebt gekregen, zou je antwoord in kubieke centimeters moeten zijn (cm³). Als je moet omzetten naar andere eenheden van volume (bijvoorbeeld kubieke millimeters), vergeet dan niet de juiste omrekenfactor te gebruiken.
Oefenen
We willen de inhoud van een cilinder berekenen waarvan de diameter van het grondvlak 9 cm is en de hoogte 13 cm. Geef de inhoud van deze cilinder in mm3
De straal van het grondvlak bereken je door de diameter te delen door 2, dus:
r=\frac92=4{,}5\;cm.r=\frac92=4{,}5cm.r=\frac92=4{,}5cm.r=\frac92=4{,}5cm.r=\frac92=45cm.r=\frac92=4,5cm.r=\frac{9}{\placeholder{}}=4,5cm.r=9=4,5cm.
Dit wordt in de formule ingevuld:
inhoud cilinder=\pi\times4{,}5^2\times13\thickapprox827{,}02426\;cm^{3}=\pi\times4{,}5^2\times13\thickapprox827{,}02426cm^{3}=\pi\times4{,}5^2\times13\thickapprox827{,}02426cm^{3}=\pi\times4{,}5^2\times13\thickapprox827{,}02426cm^{3}=\pi\times4{,}5^2\times13\thickapprox82702426cm^{3}=\pi\times4{,}5^2\times13\thickapprox827,02426cm^{3}=\pi\times4{,}5\times13\thickapprox827,02426cm^{3}=\pi\times4{,}5^\times13\thickapprox827,02426cm^{3}=\pi\times4{,}5^{2}\times13\thickapprox827,02426cm^{3}=\pi\times45^{2}\times13\thickapprox827,02426cm^{3}
Als het antwoord in kubieke millimeters gegeven moet worden, dan moet de eenheid van volume omgezet worden. Er zitten 1000 kubieke millimeters in één kubieke centimeter. Daarom vermenigvuldigen we het volume in cm³ met 1000 om het in mm³ te krijgen. Dus afgerond:
827{,}02426\;cm^3\times1000=827024\;mm^3827{,}02426\;cm^3\times1000=827024\;mm827{,}02426\;cm^3\times1000=827024\;mm3827{,}02426\;cm^3\times1000=827024mm3827{,}02426\;cm^3\times1000=827024mm3827{,}02426\;cm^3\times1000=827024mm3827{,}02426cm^3\times1000=827024mm3827{,}02426cm^3\times1000=827024mm3827{,}02426cm^3\times1000=827024mm382702426cm^3\times1000=827024mm3827,02426cm^3\times1000=827024mm3827,02426cm^3{3}\times1000=827024mm3827,02426cm{3}\times1000=827024mm3
