Hoeken berekenen in drie-en vierhoeken

Leerdoelen

•Je kunt hoeken berekenen in drie- en vierhoeken.

Basisprincipes van hoeken

Hoekensommen

Driehoeken: In elke driehoek is de som van de hoeken altijd 180 graden.

Vierhoeken: In elke vierhoek is de som van de hoeken altijd 360 graden.

Symmetrie

Bij gelijke zijden en hoeken in een driehoek kunnen we gebruikmaken van symmetrie. Dit komt vaak voor in gelijkbenige driehoeken, waar twee hoeken gelijk zijn.

Hoeken berekenen in driehoeken

Hoekensom

Stel, je hebt een driehoek met een hoek van 92 graden en een andere hoek van 38 graden. Om de derde hoek, hoek G, te berekenen, gebruik je de formule: \text{Hoek G }=180-92-38.

Dit geeft ons: \text{Hoek G }=50\text{ graden}.

Gelijkbenige driehoeken

Bij een gelijkbenige driehoek geldt dat als de lengtes van twee zijden gelijk zijn, de hoeken tegenover deze zijden ook gelijk zijn. Als je weet dat hoek J en hoek K gelijk zijn, en elk 75 graden, dan vind je hoek L als volgt: \text{Hoek L }=180-75-75=30\text{ graden}.

Gestrekte hoeken

Een gestrekte hoek is gelijk aan 180 graden. Als je al een van de hoeken van een gestrekte hoek weet, kun je de andere hoek berekenen.

Bijvoorbeeld, als hoek C₁ 70 graden is, dan is hoek C₂:

.

Hoeken berekenen in vierhoeken

Laten we nu kijken naar een complexere figuur met verschillende hoeken.

Gegeven bij dit figuur is AC = BC, hoek A = 58° en hoek H₁ = 105°.

Omdat geldt AC = BC, geldt ook hoek A = hoek B, want driehoek ABC is een gelijkbenige driehoek.

Nu willen we hoek C uitrekenen in driehoek ABC: \text{Hoek C }=180-58-58=64\text{ graden}.

In driehoek CGF kunnen we nu hoek F₃ bereken: \text{Hoek F}_3=180-90-64=26\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-90-64=2\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-90-64=\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-90-64=6\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-90-64=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-90-6=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-90-=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-90-5=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-90-58=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-9-58=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180--58=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-5-58=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3=180-58-58=64\text{ graden}\text{Hoek F}_3180-58-58=64\text{ graden}\text{Hoek }_3180-58-58=64\text{ graden}\text{Hoek C}_3180-58-58=64\text{ graden}\text{Hoek C }_3180-58-58=64\text{ graden}\text{Hoek C }=_3180-58-58=64\text{ graden}

Vervolgens bereken je hoek H₂: \text{Hoek H}_2=_{}180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H}_2=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H}_2_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H}_2=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H}_2_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }_2_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_2_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{H2}_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_2_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H 2}=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H \_}=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H \_@}=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H \_}=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H 2}=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H}=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H 2}=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_ }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_2 }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_ }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H2 }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek Ha }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\$\$ 2 \$\$ }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\$\$ 2 \$\$ }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{\left\lbrace2\right\rbrace}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{\left\lbrace2\right\rbrace}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=_{\left\lbrace\right\rbrace}2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=2180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=e180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=\text{ }180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=\text{ }180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=\text{ }180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H}=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H}=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_}=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_\textbraceleft}=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_\textbraceleft2}=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_\textbraceleft2\textbraceright }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_\textbraceleft2\textbraceright }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_\textbraceleft2 }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_\textbraceleft }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_ }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H\_2 }=180-105=75\text{ graden}\text{Hoek H2 }=180-105=75\text{ graden}.

De volgende stap is het vinden van hoek E₁. Dit kan via driehoek AEH: \text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{ graden}\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{ graden}\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{graden}\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_31=80\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=80\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_31=80\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E}_3180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3}_3180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 }_3180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 }=_3180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 }=_{}180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 }=_{\#}180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 }=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 \_}=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 \_3}=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 \_}=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3 }=180\text{Hoek E}_1\text{ + Hoek E}_2\text{ + Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1\text{ Hoek E}_2\text{ + Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E}_2\text{ + Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E}_2\text{ +Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E}_2\text{ Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E}_2\text{ Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E}_2\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E2}_2\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E2}+_2\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E2}+\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{ Hoek E2}+\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1+\text{Hoek E2}+\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E}_1\text{Hoek E2}+\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E1}_1\text{Hoek E2}+\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E11}_1\text{Hoek E2}+\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E11}+_1\text{Hoek E2}+\text{Hoek E3}=180\text{Hoek E11}+\text{Hoek E2}+\text{Hoek E3}=180.

Als E₁ en E₃ gelijk zijn en beide 47 graden, dan bereken je E2: \text{Hoek E}_2=180-47-47=86\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=8\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=6\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek E}_2180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek E2}_2180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek E2 }_2180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek E2 }=_2180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek E2 }=180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek E2 \_}=180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek E2 }=180-47-47=68\text{ graden}.

Voor de overzichtelijkheid zetten we al deze getallen ook in de figuur.

Ten slotte berekenen we de nog onbekende hoeken, zoals hoeken in een vierhoek.

Hoek G is een gestrekte hoek bestaande uit hoek G₁ en G₂. Hoek G₁ is 90 graden, dus \text{Hoek G}_2=180-90=90\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-90=9\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-90=\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-90=6\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-90=68\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-9=68\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-=68\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-4=68\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-47=68\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180--47=68\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-4-47=68\text{ graden}\text{Hoek G}_2=180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek EG}_2=180-47-47=68\text{ graden}.

Hoek E is ook een gestrekte hoek, bestaande uit E₁, E₂, en E₃. Hoeken E₁ en E₃ zijn bekend, dus \text{Hoek E}_2=180-47-47=86\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=8\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=6\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=6\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=9\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-47=90\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-4=90\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47-=90\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-47=90\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-4=90\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-=90\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-9=90\text{ graden}\text{Hoek E}_2=180-90=90\text{ graden}\text{Hoek }_2=180-90=90\text{ graden}.

Dan kunnen we hoek F₂ berekenen met behulp van de hoekensom voor een vierhoek. Dus \text{Hoek F}_2=360-90-105-68=97\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-105-68=9\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-105-68=\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-105-68=6\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-105-68=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-105-6=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-105-=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-105=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-10=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-1=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-4=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-90-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-9-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360--47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-4-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=360-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=36-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=3-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=1-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=18-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek }_2=180-47-47=68\text{ graden}.

Als laatste moet hoek F₁ nog berekend worden. Dit kan met behulp van het feit dat hoek F een gestrekte hoek is, dus \text{Hoek F}_1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek F }_1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek }_1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek }_1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek }1_1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek }1F_1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek }1F=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek }1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek F}1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek F\_}1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek F\_\textbraceleft}1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek F\_}1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek F}1=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-97=57\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-97=5\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-97=\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-97=6\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-97=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-9=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-0=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-0=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-4=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-49=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-4=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-26-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-2-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180--47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-4-47=68\text{ graden}\text{Hoek F}_2=180-47-47=68\text{ graden}\text{Hoek }_2=180-47-47=68\text{ graden}.