Gelijkvormige driehoeken

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat gelijkvormige driehoeken zijn.

•Je kunt uitleggen wat een vergrotingsfactor is.

•Je kunt de zijden van gelijkvormige driehoeken berekenen.

Gelijkvormige driehoeken

Twee driehoeken kunnen gelijkvormig zijn. Laten we als voorbeeld de driehoeken ABC en DEF nemen.

Wanneer we zeggen dat driehoek ABC gelijkvormig is met driehoek DEF (dit wordt als volgt weergegeven:\triangle\text{ABC}\sim\triangle\text{DEF}\triangle\text{ABC}\sim\triangle\text{ADEF}\triangle\text{ABC}\sim\triangle\text{ADE}\triangle\text{ABC}\sim\triangle\text{AD}\triangle\text{ABC}\sim\triangle\text{A}\triangle\text{ABC}\sim\triangle\text{AE}), betekent dit dat hoek A en hoek D gelijk zijn aan elkaar. Hetzelfde geldt voor hoek B en hoek E, en voor hoek C en hoek F. Dit impliceert dat driehoek DEF een vergroting is van driehoek ABC. De vorm van de driehoeken is dus hetzelfde, maar de zijden zijn verlengd. De zijdelengten van driehoek DEF zijn langer dan die van ABC, maar ze blijven proportioneel: ze worden gewoon groter of kleiner met behoud van dezelfde verhouding. De factor waarmee de zijden worden vergroot of verkleind heet de vergrotingsfactor.

Vergrotingsfactor

Om de vergrotingsfactor te berekenen, kunnen we twee corresponderende zijden van de driehoeken analyseren. In ons geval nemen we DE en AB. Als we bijvoorbeeld de lengte van DE delen door de lengte van AB krijgen we een vergrotingsfactor van1{,}51{,}11.1.51.11,. Dit betekent dat de zijde van DE1{,}51{,}11,keer zo groot is als de zijde van AB. Hetzelfde resultaat krijgen we als we de andere corresponderende zijden van de driehoeken analyseren,\frac{DF}{AC}\large{\frac{DF}{AC}}\frac{DF}{AC}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}\large{\frac{DF}{AC}}of\frac{EF}{BC}\large{\frac{EF}{BC}}\frac{EF}{BC}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}\large{\frac{EF}{BC}}. Deze geven ons ook1{,}51{,}11,als resultaat.

We noemen driehoek ABC het "origineel" en driehoek DEF het "beeld". De laatste is dus een vergroting van de eerste.

Voorbeeld 1: zijdelengten uitrekenen

Bekijk het figuur hieronder. AC =, AE =, BE =, BC =. BC is evenwijdig met DE. Onze opdracht is om DE en AD uit te rekenen.

We hebben twee driehoeken in dit figuur, de grotere driehoek ABC en de kleinere driehoek ADE. Nu moeten we eerst vaststellen welke hoeken van de driehoeken gelijk zijn. Hoek C is gelijk aan hoek D, omdat ze zogenoemde 'F-hoeken' zijn. Hetzelfde geldt voor hoek B en hoek E. Ook hoek A is gelijk, omdat beide driehoeken die hoek gemeen hebben.

Als we de volgorde waarin we de letters noteren in overweging nemen, kunnen we concluderen dat(en niet\triangle\text{ADE}\triangle\text{AD}\triangle\text{A}\triangle\text{AE}).

In een handige tabel (zoals hierboven) kunnen we nu deze informatie opslaan, waarbij we de zijden die corresponderen noteren. Met deze gegevens kunnen we nu de lengtes van DE en AD berekenen. We vullen in de tabel de lengtes van AB, AE, BC en AC in. Nu kunnen we alles gemakkelijk uitrekenen, omdat we eigenlijk gewoon een verhoudingstabel hebben. De vergrotingsfactor kunnen we berekenen door \frac{AE}{AB}\frac{AE}{A}\frac{AE}{AE}\frac{A}{AE}\frac{AB}{AE}\frac{AB}{A}\frac{AB}{\placeholder{}}ABAte berekenen, dit is\frac{6}{6+4}=\frac{6}{10}\frac{6}{6+4}=\frac61\frac{6}{6+4}=\frac{6}{\placeholder{}}\frac{6}{6+4}=6\frac{6}{6+4}=\frac{6}{6+4}\frac{6}{6+}\frac66\frac{6}{\placeholder{}}6\frac{6+4}{\placeholder{}}6+46+\frac{4}{\placeholder{}}6+46+6. DusED=\frac{6\cdot5}{10}=3ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}\frac{6\cdot5}{10}=3ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}\frac{6\cdot5}{10}=3ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}\frac{6\cdot5}{10}=ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}\frac{6\cdot5}{10}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED=\large{\frac{6 \cdot5}{10}}ED = \large{\frac{6 \cdot 5}{10}}en AD=\frac{6\cdot8}{10}=4,8 AD=\large\frac{6\cdot8}{10}=4,8AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}\frac{6\cdot8}{10}=4,8AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD=\large{\frac{6 \cdot8}{10}}AD = \large{\frac{6 \cdot 8}{10}}.

Voorbeeld 2: uitdaging met onbekende zijdelengten

In voorbeeld 2 hebben we een iets complexere situatie met een onbekende zijdelengte AE die we moeten uitrekenen. Zoals in voorbeeld 1, hebben we nog steeds twee driehoeken in dit figuur: de grotere ABC en de kleinere ADE.

In deze situatie zit hoek A in zowel\triangle\text{ABC}\triangle\text{AB}\triangle\text{A}\triangle\text{AD}alsen is hoek B in\triangle\text{ABC}\triangle\text{AB}\triangle\text{A}\triangle\text{AD}gelijk hoek D in. Dit is genoeg informatie om te bepalen dat de driehoeken gelijkvormig zijn, want als twee hoeken gelijk zijn, moet de derde vanwege de som van de hoeken in de driehoeken ook gelijk zijn.

Omdat we een onbekende zijde hebben, noteren we deze zijde als.\frac{BC}{DE}\large{\frac{BC}{DE}}\frac{BC}{DE}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}\large{\frac{BC}{DE}}wordt dan\frac{7}{4}\large{\frac{7}{4}}\frac{7}{4}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}\large{\frac{7}{4}}en\frac{AB}{AD}=\frac{x+5}{6}\frac{AB}{AD}=\frac{x+5}{\placeholder{}}\frac{AB}{AD}=x+5\frac{AB}{AD}=x+\frac{AB}{AD}=x\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{AD}\frac{AB}{A}\frac{AB}{\placeholder{}}ABA. Deze breuken zijn allebei gelijk aan de vergrotingsfactor en dus kunnen we schrijven, wat leidt tot de vergelijking. Als we deze vergelijking oplossen voorvinden we de zijde AE. Beide zijden vermenigvuldigen metgeeft x+5=\frac{42}{4}x+5=\frac{42}{\placeholder{}}x+5=42x+5=4x+5=x+5x+x+5x+x, ten slotte doen we aan beide zijden:x=\frac{42}{4}-5=10{,}5-5=5{,}5x=\frac{42}{4}-5=10{,}5-5=5{,}x=\frac{42}{4}-5=10{,}5-5=5x=\frac{42}{4}-5=10{,}5-5=x=\frac{42}{4}-5=10{,}5-5x=\frac{42}{4}-5=10{,}5-\frac{5}{\placeholder{}}x=\frac{42}{4}-5=10{,}5-5x=\frac{42}{4}-5=10{,}5-x=\frac{42}{4}-5=10{,}5x=\frac{42}{4}-5=10{,}x=\frac{42}{4}-5=10x=\frac{42}{4}-5=1x=\frac{42}{4}-5=x=\frac{42}{4}-5x=\frac{42}{4}-x=\frac{42}{4}x=\frac{42}{\placeholder{}}x=42x=4x=xx-x.