Los op: \frac{3}{2+x} = \frac{5}{9}
In een gebroken vergelijking hebben we minimaal één breuk die gelijk gesteld wordt aan een ander getal. Dit kan een ander getal zijn, maar ook een andere breuk. In de breuk staat in de noemer de variabele x. De term 'gebroken' verwijst naar het feit dat de variabele x in een breuk staat. We noemen het een vergelijking vanwege het is-teken en het feit dat we de waarde van x proberen te vinden.
Het oplossen van een gebroken vergelijking
Nu we weten wat een gebroken vergelijking is, gaan we kijken hoe we dit type vergelijking kunnen oplossen. Laten we een voorbeeld bekijken:
De eerste stap is om gebruik te maken van kruislings vermenigvuldigen. Hierbij vermenigvuldig je de teller van de ene breuk met de noemer van de andere breuk. Aan de hand daarvan vormen we een nieuwe vergelijking zonder breuken. Als we kijken naar de vergelijking \frac{3}{x+2}=\frac56\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{x + 2}\large{\frac{3}{x + 2}}, dan vermenigvuldigen we x + 2 dus met 5 en 3 met 6. Dan krijgen we de vergelijking 5(x + 2) = 18, wat resulteert inx=\frac85x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x\large{\frac{8}{5}}.
De praktische betekenis van een gebroken vergelijking
Om de praktische betekenis van een gebroken vergelijking beter te begrijpen, kunnen we naar de grafiek van de bijbehorende functie kijken.
Bijvoorbeeld in het geval van een gebroken vergelijking zoals hierboven. We kijken dan naar de grafieken van de functiesf(x)=\frac{3}{x+2}f(x) = \frac{3}{x + 2}\large{\frac{3}{x + 2}} enf(x)=\frac56f(x)=\frac{5}{}f(x)=\frac{5}{x}f(x)=\frac{5}{x+}f(x)=\frac{5}{x+2}f(x)=\frac{}{x+2}f(x)=\frac{3}{x+2}\large{\frac{5}{6}}en zoeken we het snijpunt van deze twee grafieken. Eerst maken we een tabel van de functie.
We zien dat bij x = -2 er geen y-waarde mogelijk is, dus we hebben te maken met een asymptoot. Deze kunnen we weergeven in een grafiek.
We kunnen nu ook een lijn tekenen van de functieen zien dan dat het snijpunt bijx=\frac85x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x\large{\frac{8}{5}} ligt.
Het oplossen van een voorbeeld
Nu we de basisconcepten van gebroken vergelijkingen hebben begrepen, kunnen we onze kennis testen door een voorbeeld op te lossen.
De opdracht is om \frac{10}{2x+1}-5=9\frac{10}{2x+1}-5=\frac{10}{2x+1}-5\frac{10}{2x+1}-\frac{10}{2x + 1}\large{\frac{10}{2x + 1}}op te lossen.
Eerst halen we de -5 naar de rechterkant door bij beide kanten + 5 te doen. Dit resulteert in. Om kruislings te vermenigvuldigen moeten we twee breuken hebben, wat betekent dat we van het getal 14 een breuk moeten maken. Dit is simpel, want we kunnen 14 gewoon schrijven als\frac{14}{1}\large{\frac{14}{1}}. Nu vermenigvuldigen we 10 met 1 en 2x + 1 met 14 en krijgen we dus de vergelijking 14(2x + 1) = 10. Dit is te schrijven als 28x + 14 = 10 en dus 28x = -4. Als we beide kanten delen door 28 en vereenvoudigen, komen we tot de conclusie datx=-\frac17x=-x=-x=-x=-x=-x=-x=-x=-x=-x=-x=-x=-x=x\large{\frac{1}{7}}.
Termen en concepten om te onthouden
Hier zijn enkele belangrijke termen en concepten die we in dit artikel hebben besproken:
•Gebroken vergelijking: Een vergelijking die ten minste één breuk bevat met een variabele in de noemer.
•Kruislings vermenigvuldigen: Een techniek die wordt gebruikt om gebroken vergelijkingen op te lossen waarbij de teller van de ene breuk wordt vermenigvuldigd met de noemer van de andere breuk.
•Praktische betekenis: Hiermee wordt bedoeld hoe de oplossing van een vergelijking zich verhoudt tot een grafisch of realistisch scenario. Bij gebroken vergelijkingen kan dit bijvoorbeeld het vinden van het snijpunt van twee grafieken zijn.
