Gegeven is een rechthoekige driehoek ABC, waarbij AC = 3 cm en BC = 4 cm en een loodlijn AD op BC. Bereken de lengte van AD volgens de hpq-stelling.
De hpq-stelling luidt als volgt: De loodlijn h vanuit de rechte hoek in een rechthoekige driehoek verdeelt de schuine zijde van de rechthoek in de stukken p en q. Er geldt dan h² = p · q.
Het bewijs van de hpq-stelling
Om het bewijs van de hpq-stelling te laten zien, gaan we een voorbeeld nemen van de driehoek ABC waarin hoek C 90 graden is en loodlijn CD getekend is waarvoor geldt dat CD loodrecht staat op AB. Onze taak is om aan te tonen dat CD² is AD · BD. Nu wil je wellicht weten waarom we de letters h, p en q in de hpq-stelling gebruiken. Simpel, zie onder:
•CD is onze h, de hoogte van de driehoek.
•De zijde BC noemen we a en AC wordt b genoemd.
•De zijde AB, de schuine zijde van de rechthoekige driehoek, noemen we c.
•We noemen AD p en BD q.
Om ons bewijs te leveren, gaan we de wereldberoemde Stelling van Pythagoras gebruiken. De formule van de Stelling van Pythagoras in deze context wordt dan: a² + b² = c²
We gaan ook de Stelling van Pythagoras toepassen in de twee kleinere rechthoekige driehoeken die door de loodlijn gecreëerd zijn. In driehoek ADC: p² + h² = b². En in driehoek BDC: h² + q² = a². Vervolgens optellen, we krijgen op het linkerlid 2h² + p² + q². Aan de rechterkant krijgen we a² + b². Met behulp van de Stelling van Pythagoras kunnen we a² + b² vervangen door c². Zo komen we een stap dichter bij onze vergelijking h² = p · q.
Merk op dat c = p + q en dus c² = (p + q)². Als we dat invullen, hebben we 2h² + p² + q² = p² + 2pq + q². Door nu p² en q² van beide kanten af te trekken, houd ik 2h² = 2pq over. Door nu nog te delen door 2 aan beide kanten, krijgen we h² = pq.
Toepassing van de hpq-stelling
Hoe gebruiken we nu de hpq-stelling in een praktisch voorbeeld? Laten we een rechthoekige driehoek ABC nemen. CD is 4.2 cm en BD is 5.8 cm.
We moeten de oppervlakte van driehoek ABC berekenen. Dit is een halve keer de basis AB maal de hoogte CD. We kennen de waarde van CD, maar AB is de som van AD en BD, waarbij we de waarde van AD niet kennen. We hebben alleen de waarden van p en q nodig om de hpq-stelling toe te passen. Uiteindelijk werken we toe naar de conclusie h² = p · q en vullen de waardes in. CD = 4.2 (onze h), BD = 5.8 (onze q). We hebben nog geen waarde voor AD (onze p), maar aangezien we de waardes van h en q hebben, kunnen we die van p uitrekenen. Met de hpq-stelling weten we dat CD2 = AD · BD. Dus AD = \frac{4{,}2^2}{5{,}8}=3{,}04...=3{,}04...=304... = 3,04... Nu kunnen we de oppervlakte berekenen door een half maal AB maal CD te doen. Dit resulteert in een oppervlakte van 19 vierkante centimeter.
