Wat is de hpq-stelling en hoe pas ik deze toe?

De hpq-stelling, ook wel de hoogte-projectie-kwadraat stelling genoemd, is een belangrijke stelling in de meetkunde die wordt toegepast op rechthoekige driehoeken. De stelling beschrijft de relatie tussen de hoogtelijn vanuit de rechte hoek naar de hypotenusa en de twee segmenten waarin deze hoogtelijn de hypotenusa verdeelt.

De stelling luidt als volgt: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hoogtelijn ($h$) vanuit de rechte hoek naar de hypotenusa gelijk aan het product van de lengtes van de twee segmenten ($p$ en $q$) waarin de hoogtelijn de hypotenusa verdeelt. Dit kan worden uitgedrukt met de formule: $h^2 = p \cdot q$

Hierbij geldt:

• $h$ is de lengte van de hoogtelijn die loodrecht op de hypotenusa staat.
• $p$ is de lengte van het ene deel van de hypotenusa, gevormd door de projectie van een van de rechthoekszijden.
• $q$ is de lengte van het andere deel van de hypotenusa, gevormd door de projectie van de andere rechthoekszijde.

Toepassing om de oppervlakte van een driehoek te berekenen: De hpq-stelling kan nuttig zijn bij het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekige driehoek, vooral als de hoogtelijn en de segmenten van de hypotenusa bekend zijn of berekend kunnen worden. De algemene formule voor de oppervlakte van een driehoek is: $Oppervlakte = \frac{1}{2} \cdot basis \cdot hoogte$

In het geval van een rechthoekige driehoek waarbij de hypotenusa als basis wordt beschouwd, is de hoogtelijn ($h$) vanuit de rechte hoek de hoogte van de driehoek. De basis is dan de totale lengte van de hypotenusa, wat $p+q$ is.

Voorbeeld: Stel dat de hoogtelijn de hypotenusa verdeelt in twee segmenten, waarbij $p = 4.2$ cm en $q = 8$ cm.

1. Bereken eerst de lengte van de hoogtelijn ($h$) met de hpq-stelling: $h^2 = p \cdot q$ $h^2 = 4.2 \cdot 8$ $h^2 = 33.6$ $h = \sqrt{33.6} \approx 5.80$ cm

2. Bereken vervolgens de totale lengte van de hypotenusa (de basis van de driehoek): $basis = p + q = 4.2 + 8 = 12.2$ cm

3. Bereken tot slot de oppervlakte van de driehoek: $Oppervlakte = \frac{1}{2} \cdot basis \cdot hoogte$ $Oppervlakte = \frac{1}{2} \cdot 12.2 \cdot 5.80$ $Oppervlakte \approx 35.38$ cm$^2$