Stelsels vergelijkingen

Stelsels vergelijkingen

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 08:28
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Oefenen (3)Oefen de bijbehorende opgaven
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat een stelsel vergelijkingen is.

•Je kunt een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van substitueren.

•Je kunt een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van elimineren.

Wat is een stelsel vergelijkingen?

Een stelsel vergelijkingen bestaat uit twee vergelijkingen met twee onbekenden, meestalxeny. Hier zie je een voorbeeld van zo'n stelsel:\begin{cases}\frac{1}{2}x+3y=5\\ x-2y=8\end{cases}

Elke vergelijking in een stelsel stelt een rechte lijn voor in een grafiek. Wanneer je een stelsel vergelijkingen oplost, ben je op zoek naar de coördinaten (dat zijn zowel dex\text{-coördinaat}als dey\text{-coördinaat})van het snijpunt van deze lijnen. Dit is een belangrijk verschil met het oplossen van een enkele vergelijking, waarbij je vaak alleen dex\text{-coördinaat}zoekt van een snijpunt (bijvoorbeeld met dex\text{-as}).

Een grafiek met twee elkaar snijdende lijnen
Een grafiek met twee elkaar snijdende lijnen

Methode 1: substitueren (vervangen)

Substitueren betekent letterlijk 'vervangen'. Bij deze methode vervang je een van de onbekenden (xofy) in de ene vergelijking door een uitdrukking uit de andere vergelijking. Op die manier houd je één vergelijking met één onbekende over, die je dan eenvoudig kunt oplossen.

Stappenplan substitueren

1.Maak in één van de vergelijkingen een variabele\left(x\right)ofy)vrij. Kies de variabele die het makkelijkst vrij te maken is (meestal zonder breuken of moeilijke coëfficiënten).

2.Substitueer (vul in) de uitdrukking die je in stap 1 hebt gevonden in de andere vergelijking.

3.Los de ontstane vergelijking op voor de overgebleven variabele.

4.Vul de gevonden waarde terug in één van de oorspronkelijke vergelijkingen (of de vrijgemaakte vergelijking uit stap 1) om de waarde van de andere variabele te vinden.

5.Noteer je antwoord als een coördinatenpaar\left(x,y\right).

Rekenvoorbeeld substitueren

Los het stelsel op:\begin{cases}\frac{1}{2}x+3y=5\\ x-2y=8\end{cases}

Stap 1: Maakxvrij uit de onderste vergelijking, want dat is het makkelijkst (geen breuken of mintekens voor dex): x - 2y = 8

x = 2y + 8(Tel aan beide kanten2yop)

Stap 2: Substitueerx = 2y + 8in de bovenste vergelijking:\frac12(2y+8)+3y=5

Stap 3: Los de vergelijking op voory:

y+4+3y=5(Haakjes wegwerken:\frac12\cdot2y=y\text{ en }\frac12\cdot8=4)

4y + 4 = 5(Gelijksoortige termen samenvoegen:y+3y=4y)

4y = 5 - 4(Trek aan beide kanten4af)

4y = 1

y=\frac14(Deel door4)

Stap 4: Vuly=\frac14in in de vrijgemaakte vergelijking\left(x=2y+8\right)omxte vinden:

x=2\cdot\frac14+8

x=\frac12+8

x=8\frac12

Stap 5: De oplossing van het stelsel is\left(8\frac12,\frac14\right).Dit betekent dat de twee lijnen elkaar snijden op het punt met coördinaten\left(8\frac12,\frac14\right).

Methode 2: elimineren (verwijderen)

Elimineren betekent 'verwijderen'. Bij deze methode probeer je de coëfficiënten (de getallen vóór de variabele) van één variabele\left(x\right)ofy)in beide vergelijkingen gelijk (bijvoorbeeld2xen2x)of elkaars tegengestelde (bijvoorbeeld3yen-3y)te maken. Door de vergelijkingen vervolgens bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken, verdwijnt die variabele.

Stappenplan elimineren

1.Besluit welke variabele\left(x\right)ofy)je wilt elimineren.

2.Vermenigvuldig (indien nodig) één of beide vergelijkingen met een getal, zodat de coëfficiënten van de variabele die je wilt elimineren gelijk zijn (bijv.2xen2x) of elkaars tegengestelde zijn (bijv.3yen-3y).Let op: vermenigvuldig de héle vergelijking (links en rechts van het =-teken).

3.Als de coëfficiënten gelijk zijn (bijv.2xen2x),trek de twee vergelijkingen dan van elkaar af. Als de coëfficiënten elkaars tegengestelde zijn (bijv.3yen-3y),tel de vergelijkingen dan bij elkaar op. Hierdoor wordt de variabele geëlimineerd.

4.Los de ontstane vergelijking op voor de overgebleven variabele.

5.Vul de gevonden waarde terug in één van de oorspronkelijke vergelijkingen om de waarde van de andere variabele te vinden.

6.Noteer je antwoord als een coördinatenpaar\left(x,y\right).

Rekenvoorbeeld elimineren (x elimineren)

Los het stelsel op doorxte elimineren:\begin{cases}\frac{1}{2}x+3y=5\\ x-2y=8\end{cases}

Stap 1 & 2: De coëfficiënten vanxzijn\frac12en1.Om de coëfficiënt vanxin de bovenste vergelijking gelijk te maken aan die in de onderste\left(1\right), vermenigvuldigen we de bovenste vergelijking met2.

\begin{cases}2\cdot\left(\frac{1}{2}x+3y\right)=2\cdot5\\ x-2y=8\end{cases}

\begin{cases}x+6y=10\\ x-2y=8\end{cases}

Stap 3: Nu zijn dex\text{-coëfficiënten}in beide vergelijkingen1.Trek de onderste vergelijking van de bovenste vergelijking af omxte elimineren:

(x+6y)-(x-2y)=10-8

x+6y-x+2y=2(Let op:6y−(−2y)wordt6y+2y)

8y=2

Stap 4: Los de vergelijking op voory:

8y=2

y=\frac28=\frac14

Stap 5: Vuly=\frac14in in één van de oorspronkelijke vergelijkingen (bijvoorbeeld de onderste, omdat daar geen breuken in staan voor dexen de getallen wat makkelijker zijn):

x-2\cdot\left(\frac14\right)=8

x-\frac12=8

x=8+\frac12

x=8\frac12

Stap 6: De oplossing van het stelsel is\left(8\frac12,\frac14\right).

Rekenvoorbeeld elimineren (y elimineren)

Los het stelsel op dooryte elimineren:\begin{cases}\frac{1}{2}x+3y=5\\ x-2y=8\end{cases}

Stap 1 & 2: De coëfficiënten vanyzijn3en-2. Het kleinste gemene veelvoud van3en2is6.Vermenigvuldig de vergelijkingen zo dat de coëfficiënten vanyelkaars tegengestelden worden, namelijk6en-6.

\begin{cases}2\cdot\left(\frac{1}{2}x+3y\right)=2\cdot5\\ 3\cdot\left(x-2y\right)=3\cdot8\end{cases} \begin{cases}x+6y=10\\ 3x-6y=24\end{cases}

Stap 3: Nu zijn dey\text{-coëfficiënten}in de vergelijkingen elkaars tegengestelde\left(6y\right)en-6y).Tel de vergelijkingen bij elkaar op omyte elimineren:

(x+6y)+(3x-6y)=10+24

x+3x+6y-6y=34

4x=34

Stap 4: Los de vergelijking op voorx:

4x = 34

x=\frac{34}{4}=8\frac12

Stap 5: Vulx=8\frac12in in één van de oorspronkelijke vergelijkingen (bijvoorbeeld de onderste, omdat deze geen breuken heeft):

8\frac12-2y=8

-2y=8-8\frac12

-2y=-\frac12

y=\frac{-\frac12}{-2}

y=\frac14

Stap 6: De oplossing van het stelsel is\left(8\frac12,\frac14\right).

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.