Snijpunten van lijnen met cirkels

Snijpunten van lijnen met cirkels

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 15:06
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de coördinaten van de snijpunten van een lijn met een cirkel berekenen.

•Je kunt de verschillende varianten van de ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel onderscheiden en benoemen.

•Je kunt de discriminant gebruiken om het aantal snijpunten van een lijn en een cirkel te bepalen.

•Je kunt een onbekende parameter in de vergelijking van een lijn vinden, gegeven het aantal snijpunten met een cirkel.

Snijpunten berekenen

Om de snijpunten van een lijnken een cirkelcte berekenen, volgen we over het algemeen een aantal stappen:

1.Herschrijven van de cirkelvergelijking (optioneel, maar vaak handig): Werk de haakjes uit in de cirkelvergelijking en herschrijf deze naar de vormx^{2} + y^{2} + ax + by + c = 0.

2.Substitutie: Vervang dey(ofx) uit de lijnvergelijking in de herschreven cirkelvergelijking. Je krijgt nu een vergelijking met slechts één variabele (meestalx).

3.Kwadratische vergelijking: Herschrijf de resulterende vergelijking tot een kwadratische vergelijking van de vormax^{2} + bx + c = 0.

4.Oplossen: Los deze kwadratische vergelijking op. Dit kan met de abc-formule of, indien mogelijk, met de som-productmethode. De oplossingen voorxgeven dex\text{-coördinaten}van de snijpunten.

5.y-coördinaten vinden: Vul de gevondenx\text{-waarden} in de lijnvergelijking (dit is meestal eenvoudiger dan in de cirkelvergelijking) om de bijbehorendey\text{-coördinaten}te vinden.

Geen snijpunten

Soms snijdt een lijn een cirkel helemaal niet. Dit gebeurt wanneer de lijn en de cirkel elkaar nergens raken of kruisen.

Rekenvoorbeeld: Gegeven is de lijnk: y = 2x - 1en de cirkelc: {(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16. Bereken de coördinaten van de snijpunten vankenc.

Stap 1: Herschrijf de cirkelvergelijking

Begin met de cirkelvergelijkingc: {(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16.

Werk de haakjes uit:x^{2} + 4x + 4 + y^{2} - 8y + 16 = 16

Herschrijf naar nul in het rechterlid:x^{2} + y^{2} + 4x - 8y + 4 = 0

Stap 2: Substitueer de lijnvergelijking

We substituereny = 2x - 1in de herschreven cirkelvergelijking:x^{2} + {(2x - 1)}^{2} + 4x - 8(2x - 1) + 4 = 0

Stap 3: Herschrijf de kwadratische vergelijking

x^2+(4x^2-4x+1)+4x-(16x-8)+4=0

x^2+4x^2-4x+1+4x-16x+8+4=0

5x^{2} - 16x + 13 = 0

Stap 4: Los de kwadratische vergelijking op met de abc-formule

We hebben een kwadratische vergelijking van de vormax^{2} + bx + c = 0, waarbija = 5,b = -16enc = 13. Bereken de discriminantD = b^{2} - 4ac:

D=(-16)^2-4\cdot5\cdot13

D = 256 - 260

D = -4

Omdat de discriminantD = -4kleiner is dan0(negatief), zijn er geen reële oplossingen voorx. Dit betekent dat de lijnkde cirkelcniet snijdt.

Een grafiek die lijn k (y = 2x - 1) en cirkel c ((x + 2)² + (y - 4)² = 16) toont, waarbij de lijn duidelijk de cirkel mist.
Een grafiek die lijn k (y = 2x - 1) en cirkel c ((x + 2)² + (y - 4)² = 16) toont, waarbij de lijn duidelijk de cirkel mist.

Zoals je op de afbeelding kunt zien, ligt de lijnkhelemaal buiten de cirkelc. Er zijn dus geen snijpunten.

Twee snijpunten

Meestal snijdt een lijn een cirkel op twee verschillende plaatsen.

Rekenvoorbeeld:

Gegeven is de lijnk: y = x + 2en de cirkelc:{(x - 4)}^2+{(y - 3)}^2=29. Bereken de coördinaten van de snijpunten vankenc.

Stap 1: Herschrijf de cirkelvergelijking

c: {(x - 4)}^{2} + (y - 3)^{2} = 29

x^{2} - 8x + 16 + y^{2} - 6y + 9 = 29

x^{2} + y^{2} - 8x - 6y + 25 = 29

x^{2} + y^{2} - 8x - 6y - 4 = 0

Stap 2: Substitueer de lijnvergelijking

Substitueery = x + 2in de herschreven cirkelvergelijking:x^{2} + {(x + 2)}^{2} - 8x - 6(x + 2) - 4 = 0

Stap 3: Herschrijf de kwadratische vergelijking

x^{2} + (x^{2} + 4x + 4) - 8x - (6x + 12) - 4 = 0

x^{2} + x^{2} + 4x+ 4 - 8x - 6x - 12 - 4 = 0

2x^{2} - 10x - 12 = 0

x^{2} - 5x - 6 = 0

Stap 4: Los de kwadratische vergelijking op We kunnen deze vergelijking oplossen met de som-productmethode of de abc-formule. Met de som-productmethode zoeken we twee getallen die opgeteld -5 zijn en vermenigvuldigd -6. De getallen die we zoeken voor de som-productmethode zijn 1 en -6.

Dus:(x + 1)(x - 6) = 0

Hieruit volgt:x=-1\lor x=6.

Stap 5: Vind de y-coördinaten

Gebruik de lijnvergelijkingy = x + 2om dey\text{-coördinaten}te vinden:

Voorx = -1: y = -1 + 2 = 1. Snijpunt A:\left(-1,1\right).

Voorx = 6: y = 6 + 2 = 8. Snijpunt B:\left(6,8\right).

De coördinaten van de snijpunten zijnA(-1, 1)enB(6, 8).

Een grafiek die lijn k (y = x + 2) en cirkel c ((x - 4)² + (y - 3)² = 29) toont, waarbij de lijn de cirkel op twee punten A en B snijdt.
Een grafiek die lijn k (y = x + 2) en cirkel c ((x - 4)² + (y - 3)² = 29) toont, waarbij de lijn de cirkel op twee punten A en B snijdt.

Als we de discriminantDvanx^{2} - 5x - 6 = 0zouden berekenen, krijgen weD=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49. OmdatD = 49groter is dan0, zijn er twee oplossingen voorx, wat overeenkomt met twee snijpunten.

De rol van de discriminant

De waarde van de discriminant\left(D=b^2-4ac\right)van de kwadratische vergelijkingax^{2} + bx + c = 0bepaalt hoeveel snijpunten een lijn met een cirkel heeft.

Linkerpaneel toont een lijn die een cirkel twee keer snijdt. Middenpaneel toont een lijn die een cirkel raakt (één raakpunt). Rechterpaneel toont een lijn die een cirkel mist (geen snijpunten).
Linkerpaneel toont een lijn die een cirkel twee keer snijdt. Middenpaneel toont een lijn die een cirkel raakt (één raakpunt). Rechterpaneel toont een lijn die een cirkel mist (geen snijpunten).

Er zijn drie mogelijkheden:

•D > 0(groter dan nul): Er zijn twee verschillende reële oplossingen voorx. Dit betekent dat de lijn de cirkel op twee snijpunten kruist.

•D = 0(gelijk aan nul): Er is precies één reële oplossing voorx. Dit betekent dat de lijn de cirkel precies raakt in één punt (een raakpunt).

•D < 0(kleiner dan nul): Er zijn geen reële oplossingen voorx. Dit betekent dat de lijn de cirkel helemaal niet snijdt.

Een onbekende parameter vinden

Soms is de vergelijking van de lijn niet volledig bekend, maar weten we wel hoeveel snijpunten deze met een cirkel heeft. Met behulp van de discriminant kunnen we dan de onbekende waarde vinden.

Rekenvoorbeeld:

Gegeven is de cirkelc: {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 40. Bereken voor welkepde lijny=px-1twee snijpunten heeft metc.

We weten dat er twee snijpunten zijn, dus de discriminant moet groter dan nul zijn\left(D>0\right).

Stap 1: Herschrijf de cirkelvergelijking

c: {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 40

x^{2} - 10x + 25 + y^{2} - 8y + 16 = 40

x^{2} + y^{2} - 10x - 8y + 41 = 40

x^{2} + y^{2} - 10x - 8y + 1 = 0

Stap 2: Substitueer de lijnvergelijking

Substitueery=px-1in de herschreven cirkelvergelijking:x^2+{(px-1)}^2-10x-8(px-1)+1=0

Stap 3: Werk de haakjes weg en verzamel termen

x^2+(p^2x^2-2px+1)-10x-(8px-8)+1=0

x^2+p^2x^2-2px+1-10x-8px+8+1=0

Verzamel gelijksoortige termen. We willen een kwadratische vergelijking inxvan de vormax^{2} + bx + c = 0.

Termen metx^2:1x^2+p^2x^2=(p^2+1)x^2

Termen metx:-2px-10x-8px=(-2p-8p-10)x=(-10p-10)x

Constante termen:1 + 8 + 1 = 10

De kwadratische vergelijking is:(p^2+1)x^2+(-10p-10)x+10=0

Hier isa=(p^2+1),b=(-10p-10)enc = 10.

Stap 4: Bepaal de discriminant

D = b^{2} - 4ac

D=(-10p-10)^2-4\cdot(p^2+1)\cdot10

Werk de discriminant verder uit:

D=(100p^2+200p+100)-40(p^2+1)

D=100p^2+200p+100-40p^2-40

D=60p^2+200p+60

Stap 5: Los de ongelijkheid op (D > 0)

We willen weten voor welkepgeldt datD > 0, dus:60p^2+200p+60>0

Om een ongelijkheid met een kwadraat op te lossen, bepalen we eerst wanneer de uitdrukking precies nul is. Dit zijn de randpunten.

60p^2+200p+60=0

Deel de hele vergelijking door 20 om te vereenvoudigen:3p^2+10p+3=0

Gebruik de abc-formule voor deze vergelijking (hier zijn de variabelena=3,b=10,c=3):

Om verwarring met de eerste discriminant te voorkomen, noemen we de discriminant van deze vergelijkingD_{p}.

D_{p}=b^2-4ac=10^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64

p=\frac{-b\pm\sqrt{D_{p}}}{2a}

p=\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}

p=\frac{-10\pm8}{6}

Twee oplossingen voorp:

p_1=\frac{-10-8}{6}=-\frac{18}{6}=-3

p_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac26=-\frac13

Dit zijn de waarden vanpwaarvoor de discriminant (van dex\text{-vergelijking}) nul is. Dit betekent dat de lijn de cirkel precies raakt bij deze waarden vanp.

Nu willen we weten wanneer60p^2+200p+60>0. Dit is een kwadratische uitdrukking inp, die een parabool voorstelt. Omdat de coëfficiënt vanp^2\,(60)positief is, is het een dalparabool. Een dalparabool ligt boven dep\text{-as}wanneerpkleiner is dan de kleinste nulwaarde of groter is dan de grootste nulwaarde.

Een grafiek van de functie f(p) = 60p² + 200p + 60, een dalparabool die de p-as snijdt bij p = -3 en p = -1/3. Het gebied waar de parabool boven de p-as ligt (D > 0) is gemarkeerd.
Een grafiek van de functie f(p) = 60p² + 200p + 60, een dalparabool die de p-as snijdt bij p = -3 en p = -1/3. Het gebied waar de parabool boven de p-as ligt (D > 0) is gemarkeerd.

Dus,60p^2+200p+60>0wanneerp<-3ofp>-\frac13.

De lijny=px-1heeft dus twee snijpunten met cirkelcwanneerp<-3ofp>-\frac13.

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.