Leerdoelen
•Je kunt de coördinaten van de snijpunten van een lijn met een cirkel berekenen.
•Je kunt de verschillende varianten van de ligging van een lijn ten opzichte van een cirkel onderscheiden en benoemen.
•Je kunt de discriminant gebruiken om het aantal snijpunten van een lijn en een cirkel te bepalen.
•Je kunt een onbekende parameter in de vergelijking van een lijn vinden, gegeven het aantal snijpunten met een cirkel.
Snijpunten berekenen
Om de snijpunten van een lijnen een cirkelte berekenen, volgen we over het algemeen een aantal stappen:
1.Herschrijven van de cirkelvergelijking (optioneel, maar vaak handig): Werk de haakjes uit in de cirkelvergelijking en herschrijf deze naar de vorm.
2.Substitutie: Vervang de(of) uit de lijnvergelijking in de herschreven cirkelvergelijking. Je krijgt nu een vergelijking met slechts één variabele (meestal).
3.Kwadratische vergelijking: Herschrijf de resulterende vergelijking tot een kwadratische vergelijking van de vorm.
4.Oplossen: Los deze kwadratische vergelijking op. Dit kan met de abc-formule of, indien mogelijk, met de som-productmethode. De oplossingen voorgeven devan de snijpunten.
5.y-coördinaten vinden: Vul de gevonden in de lijnvergelijking (dit is meestal eenvoudiger dan in de cirkelvergelijking) om de bijbehorendete vinden.
Geen snijpunten
Soms snijdt een lijn een cirkel helemaal niet. Dit gebeurt wanneer de lijn en de cirkel elkaar nergens raken of kruisen.
Rekenvoorbeeld: Gegeven is de lijnen de cirkel. Bereken de coördinaten van de snijpunten vanen.
Stap 1: Herschrijf de cirkelvergelijking
Begin met de cirkelvergelijking.
Werk de haakjes uit:
Herschrijf naar nul in het rechterlid:
Stap 2: Substitueer de lijnvergelijking
We substituerenin de herschreven cirkelvergelijking:
Stap 3: Herschrijf de kwadratische vergelijking
x^2+(4x^2-4x+1)+4x-(16x-8)+4=0x+(4x^2-4x+1)+4x-(16x-8)+4=0x^+(4x^2-4x+1)+4x-(16x-8)+4=0
x^2+4x^2-4x+1+4x-16x+8+4=0x^2+4x^2-4x+1+4x-16x8+4=0x^2+4x^2-4x+1+4x-16x-8+4=0x^2+4x^2-4x+1+4x-16x8+4=0x^2+4x^2-4x+1+4x-16x+8+4=0x+4x^2-4x+1+4x-16x+8+4=0x^+4x^2-4x+1+4x-16x+8+4=0
Stap 4: Los de kwadratische vergelijking op met de abc-formule
We hebben een kwadratische vergelijking van de vorm, waarbij,en. Bereken de discriminant:
D=(-16)^2-4\cdot5\cdot13D=(-16)^2-4\cdot513D=(-16)^2-4\cdot5*13D=(-16)^2-45*13
Omdat de discriminantkleiner is dan(negatief), zijn er geen reële oplossingen voor. Dit betekent dat de lijnde cirkelniet snijdt.
Zoals je op de afbeelding kunt zien, ligt de lijnhelemaal buiten de cirkel. Er zijn dus geen snijpunten.
Twee snijpunten
Meestal snijdt een lijn een cirkel op twee verschillende plaatsen.
Rekenvoorbeeld:
Gegeven is de lijnen de cirkelc:{(x - 4)}^2+{(y - 3)}^2=29:{(x - 4)}^2+{(y - 3)}^2=29. Bereken de coördinaten van de snijpunten vanen.
Stap 1: Herschrijf de cirkelvergelijking
Stap 2: Substitueer de lijnvergelijking
Substitueerin de herschreven cirkelvergelijking:
Stap 3: Herschrijf de kwadratische vergelijking
Stap 4: Los de kwadratische vergelijking op We kunnen deze vergelijking oplossen met de som-productmethode of de abc-formule. Met de som-productmethode zoeken we twee getallen die opgeteld -5 zijn en vermenigvuldigd -6. De getallen die we zoeken voor de som-productmethode zijn 1 en -6.
Dus:
Hieruit volgt:x=-1\lor x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-1x=6x=-x=6x=-1x=6.
Stap 5: Vind de y-coördinaten
Gebruik de lijnvergelijkingom dete vinden:
Voor. Snijpunt A:\left(-1,1\right).
Voor. Snijpunt B:\left(6,8\right).
De coördinaten van de snijpunten zijnen.
Als we de discriminantvanzouden berekenen, krijgen weD=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49D=(-5)^2-41\cdot(-6)=25+24=49D=(-5)^2-4*1\cdot(-6)=25+24=49D=(-5)^2-4*1(-6)=25+24=49. Omdatgroter is dan, zijn er twee oplossingen voor, wat overeenkomt met twee snijpunten.
De rol van de discriminant
De waarde van de discriminant\left(D=b^2-4ac\right)van de kwadratische vergelijkingbepaalt hoeveel snijpunten een lijn met een cirkel heeft.
Er zijn drie mogelijkheden:
•(groter dan nul): Er zijn twee verschillende reële oplossingen voor. Dit betekent dat de lijn de cirkel op twee snijpunten kruist.
•(gelijk aan nul): Er is precies één reële oplossing voor. Dit betekent dat de lijn de cirkel precies raakt in één punt (een raakpunt).
•(kleiner dan nul): Er zijn geen reële oplossingen voor. Dit betekent dat de lijn de cirkel helemaal niet snijdt.
Een onbekende parameter vinden
Soms is de vergelijking van de lijn niet volledig bekend, maar weten we wel hoeveel snijpunten deze met een cirkel heeft. Met behulp van de discriminant kunnen we dan de onbekende waarde vinden.
Rekenvoorbeeld:
Gegeven is de cirkel. Bereken voor welkepde lijny=px-1y=x-1twee snijpunten heeft met.
We weten dat er twee snijpunten zijn, dus de discriminant moet groter dan nul zijn\left(D>0\right).
Stap 1: Herschrijf de cirkelvergelijking
Stap 2: Substitueer de lijnvergelijking
Substitueery=px-1y=x-1in de herschreven cirkelvergelijking:x^2+{(px-1)}^2-10x-8(px-1)+1=0x^2+{(px-1)}^2-10x-8(x-1)+1=0x^2+{(px-1)}^2-10x-8(ax-1)+1=0x^2+{(x-1)}^2-10x-8(ax-1)+1=0
Stap 3: Werk de haakjes weg en verzamel termen
x^2+(p^2x^2-2px+1)-10x-(8px-8)+1=0x^2+(p^2x^2-2px+1)-10x-(8x-8)+1=0x^2+(p^2x^2-2px+1)-10x-(8ax-8)+1=0x^2+(p^2x^2-2x+1)-10x-(8ax-8)+1=0x^2+(p^2x^2-2ax+1)-10x-(8ax-8)+1=0x^2+(^2x^2-2ax+1)-10x-(8ax-8)+1=0
x^2+p^2x^2-2px+1-10x-8px+8+1=0x^2+p^2x^2-2px+1-10x-8x+8+1=0x^2+p^2x^2-2px+1-10x-8ax+8+1=0x^2+p^2x^2-2x+1-10x-8ax+8+1=0x^2+p^2x^2-2ax+1-10x-8ax+8+1=0x^2+^2x^2-2ax+1-10x-8ax+8+1=0
Verzamel gelijksoortige termen. We willen een kwadratische vergelijking invan de vorm.
Termen metx^2:1x^2+p^2x^2=(p^2+1)x^2x^2:1x^2+p^2x^2=(^2+1)x^2x^2:1x^2+p^2x^2=(a^2+1)x^2x^2:1x^2+^2x^2=(a^2+1)x^2x^2:1x^2+^2x^2=(a^2+1)x^2
Termen metx:-2px-10x-8px=(-2p-8p-10)x=(-10p-10)xx:-2px-10x-8px=(-2p-8p-10)x=(-10-10)xx:-2px-10x-8px=(-2p-8p-10)x=(-10a-10)xx:-2px-10x-8px=(-2p-8-10)x=(-10a-10)xx:-2px-10x-8px=(-2p-8a-10)x=(-10a-10)xx:-2px-10x-8px=(-2-8a-10)x=(-10a-10)xx:-2px-10x-8px=(-2a-8a-10)x=(-10a-10)xx:-2px-10x-8x=(-2a-8a-10)x=(-10a-10)xx:-2px-10x-8ax=(-2a-8a-10)x=(-10a-10)xx:-2x-10x-8ax=(-2a-8a-10)x=(-10a-10)x
Constante termen:
De kwadratische vergelijking is:(p^2+1)x^2+(-10p-10)x+10=0(p^2+1)x^2+(-10-10)x+10=0(p^2+1)x^2+(-10a-10)x+10=0(^2+1)x^2+(-10a-10)x+10=0
Hier isa=(p^2+1)a=(^2+1),b=(-10p-10)b=(-10-10)en.
Stap 4: Bepaal de discriminant
D=(-10p-10)^2-4\cdot(p^2+1)\cdot10D=(-10p-10)^2-4\cdot(^2+1)\cdot10D=(-10p-10)^2-4\cdot(a^2+1)\cdot10D=(-10-10)^2-4\cdot(a^2+1)\cdot10D=(-10a-10)^2-4\cdot(a^2+1)\cdot10D=(-10-10)^2-4\cdot(a^2+1)\cdot10D=(-10A-10)^2-4\cdot(a^2+1)\cdot10D=(-10A-10)^2-4(a^2+1)\cdot10D=(-10A-10)^2-4*(a^2+1)\cdot10D=(-10A-10)^2-4*(a^2+1)10
Werk de discriminant verder uit:
D=(100p^2+200p+100)-40(p^2+1)D=(100pa^2+200p+100)-40(p^2+1)D=(100a^2+200p+100)-40(p^2+1)D=(100a^2+200p+100)-40(pa^2+1)D=(100a^2+200p+100)-40(a^2+1)D=(100a^2+200+100)-40(a^2+1)
D=100p^2+200p+100-40p^2-40D=100p^2+200p+100-40pa^2-40D=100p^2+200p+100-40a^2-40D=100p^2+200pa+100-40a^2-40D=100p^2+200a+100-40a^2-40D=100pa^2+200a+100-40a^2-40
D=60p^2+200p+60D=60p^2+200+60D=60p^2+200a+60D=60pa^2+200a+60
Stap 5: Los de ongelijkheid op (D > 0)
We willen weten voor welkepgeldt dat, dus:60p^2+200p+60>060p^2+200+60>060p^2+200a+60>060^2+200a+60>0
Om een ongelijkheid met een kwadraat op te lossen, bepalen we eerst wanneer de uitdrukking precies nul is. Dit zijn de randpunten.
60p^2+200p+60=060p^2+200+60=060p^2+200a+60=060^2+200a+60=0
Deel de hele vergelijking door 20 om te vereenvoudigen:3p^2+10p+3=03p^2+10+3=03p^2+10a+3=03pa^2+10a+3=0
Gebruik de abc-formule voor deze vergelijking (hier zijn de variabelen,,):
Om verwarring met de eerste discriminant te voorkomen, noemen we de discriminant van deze vergelijkingD_{p}DDpD.
D_{p}=b^2-4ac=10^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64D_{pa}=b^2-4ac=10^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64D_{a}=b^2-4ac=10^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64D_{pa}=b^2-4ac=10^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64D_{a}=b^2-4ac=10^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64D_{a}=b^2-4ac=10^2-4\cdot33=100-36=64D_{a}=b^2-4ac=10^2-4\cdot3*3=100-36=64D_{a}=b^2-4ac=10^2-43*3=100-36=64
p=\frac{-b\pm\sqrt{D_{p}}}{2a}p=\frac{-b\pm\sqrt{D_{}}}{2a}p=\frac{-b\pm\sqrt{D_{a}}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{D_{a}}}{2a}a=\frac{-b\pm\sqrt{D_{a}}}{2a}a=\frac{-b\pm\sqrt{xD_{a}}}{2a}a=\frac{-b\pm\sqrt{D_{a}}}{2a}a=\frac{-b\pm\sqrt{D_{a}})}{2a}a=\frac{(-b\pm\sqrt{D_{a}})}{2a}a=\frac{(-b\pm\sqrt{D_{a}})}{2}a=\frac{(-b\pm\sqrt{D_{a}})}{\placeholder{}}a=(-b\pm\sqrt{D_{a}})a=(-b\pm\sqrt{D_{a}})/a=(-b\pm\sqrt{D_{a}})/(a=(-b\pm\sqrt{D_{a}})/(2a=(-b\pm\sqrt{D_{a}})/(2aa=(-b\pm\sqrt{D_{a}})/(2a)a=(-b\pm\sqrt{D_{a}}\surd)/(2a)a=(-b\pm\sqrt{D_{a}}\surd D)/(2a)a=(-b\pm\sqrt{D_{a}}\surd D_{})/(2a)a=(-b\pm\sqrt{D_{a}}\surd D_{a})/(2a)a=(-b\pm\sqrt{D}\surd D_{a})/(2a)a=(-b\pm\sqrt{}\surd D_{a})/(2a)a=(-b\pm\surd D_{a})/(2a)a=(-b\pm\surd D_{a})/(2a)a=(-b\pm\surd D_{a})/(2a)a=(-b\pm\surd D_{a})/(2a)=(-b\pm\surd D_{a})/(2a)
p=\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}=\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}a=\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2\cdot3}a=\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2\cdot}a=\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2}a=\frac{-10\pm\sqrt{64}}{2a}a=\frac{-10\pm\sqrt6}{2a}a=\frac{-10\pm\sqrt{}}{2a}a=\frac{-10\pm\sqrt{D}}{2a}a=\frac{-10\pm\sqrt{D_{}}}{2a}a=\frac{-10\pm\sqrt{D_{a}}}{2a}a=\frac{-1\pm\sqrt{D_{a}}}{2a}a=\frac{-\pm\sqrt{D_{a}}}{2a}a=\frac{-b\pm\sqrt{D_{a}}}{2a}
p=\frac{-10\pm8}{6}=\frac{-10\pm8}{6}a=\frac{-10\pm8}{6}a=\frac{-10\pm8)}{6}a=\frac{(-10\pm8)}{6}a=\frac{(-10\pm8)}{\placeholder{}}a=(-10\pm8)a=(-10\pm8)/a=(-10\pm8)/6=(-10\pm8)/6
Twee oplossingen voorp:
p_1=\frac{-10-8}{6}=-\frac{18}{6}=-3pa_1=\frac{-10-8}{6}=-\frac{18}{6}=-3a_1=\frac{-10-8}{6}=-\frac{18}{6}=-3a_1=\frac{-10-8}{6}=-\frac{18}{\placeholder{}}=-3a_1=\frac{-10-8}{6}=-18=-3a_1=\frac{-10-8}{6}=-18/=-3a_1=\frac{-10-8}{6}=-18/6=-3a_1=\frac{-10-8)}{6}=-18/6=-3a_1=\frac{(-10-8)}{6}=-18/6=-3a_1=\frac{(-10-8)}{\placeholder{}}=-18/6=-3a_1=(-10-8)=-18/6=-3a_1=(-10-8)/=-18/6=-3a_1=(-10-8)/6=-18/6=-3a_{}=(-10-8)/6=-18/6=-3a_2=(-10-8)/6=-18/6=-3a=(-10-8)/6=-18/6=-3a\_=(-10-8)/6=-18/6=-3
p_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac26=-\frac13_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac26=-\frac13a_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac26=-\frac13a_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac26=-\frac{1}{\placeholder{}}a_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac26=-1a_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac26=-1/a_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac26=-1/3a_2=\frac{-10+8}{6}=-\frac{2}{\placeholder{}}=-1/3a_2=\frac{-10+8}{6}=-2=-1/3a_2=\frac{-10+8}{6}=-2/=-1/3a_2=\frac{-10+8}{6}=-2/6=-1/3a_2=\frac{(-10+8}{6}=-2/6=-1/3a_2=\frac{(-10+8)}{6}=-2/6=-1/3a_2=\frac{(-10+8)}{\placeholder{}}=-2/6=-1/3a_2=(-10+8)=-2/6=-1/3a_2=(-10+8)/=-2/6=-1/3a_2=(-10+8)/6=-2/6=-1/3a_2{2}=(-10+8)/6=-2/6=-1/3a{2}=(-10+8)/6=-2/6=-1/3
Dit zijn de waarden vanpwaarvoor de discriminant (van de) nul is. Dit betekent dat de lijn de cirkel precies raakt bij deze waarden vanp.
Nu willen we weten wanneer60p^2+200p+60>060p^2+200+60>060p^2+200a+60>060^2+200a+60>0. Dit is een kwadratische uitdrukking inp, die een parabool voorstelt. Omdat de coëfficiënt vanp^2\,(60)pa^2\,(60)a^2\,(60)a^2(60)a^2(60)positief is, is het een dalparabool. Een dalparabool ligt boven dep\text{-as}pa\text{-as}wanneerpkleiner is dan de kleinste nulwaarde of groter is dan de grootste nulwaarde.
Dus,60p^2+200p+60>060p^2+200+60>060p^2+200a+60>060^2+200a+60>0wanneerp<-3<-3ofp>-\frac13>-\frac13a>-\frac13a>-\frac{1}{\placeholder{}}a>-1a>-1/.
De lijny=px-1y=x-1heeft dus twee snijpunten met cirkelwanneerp<-3<-3ofp>-\frac13>-\frac13a>-\frac13a>-\frac{1}{\placeholder{}}a>-1a>-1/.
