Sinusoïden tekenen

Leerdoelen

•Je kunt een goniometrische functie van de vormf(x)=a+b\sin(cx-d)off(x)=a+b\cos(cx-d)herschrijven naarf(x)=a+b\sin(c\left(x-d^{\prime})\right.)off(x)=a+b\cos\left(c\left(x-d^{\prime}\right)\right).

•Je kunt de evenwichtsstand, amplitude en de periode van een gegeven goniometrische functie bepalen.

•Je kunt de startpunten correct aflezen uit de herschreven functie.

•Je kunt het minimum en maximum van een goniometrische functie berekenen.

•Je kunt een passend assenstelsel kiezen, rekening houdend met de periode, het domein en de amplitude.

•Je kunt de karakteristieke punten van een sinusoïde uitzetten in een assenstelsel.

•Je kunt een vloeiende sinusoïde tekenen door de uitgezette punten binnen een gegeven domein.

De standaardvorm

Om een sinusoïde te kunnen tekenen, is het belangrijk dat de functie in de juiste standaardvorm staat:

•Voor een sinusfunctie:f(x)=a+b\sin\left(c(x-d\right))

•Voor een cosinusfunctie:f(x)=a+b\cos(c\left(x-d\right))

De termc(x-d)is cruciaal. Als de functie oorspronkelijk in de vorma+b\sin(cx-d^{\prime})staat, moet je eerstcbuiten haakjes halen om de juistedte vinden. Dit doe je door de termen binnen de haakjes te delen doorc:c(x-d^{\prime}/c).

Belangrijke kenmerken van een sinusoïde

Uit de standaardvorm van een sinusoïdale functie kun je direct vier belangrijke kenmerken aflezen:

•astaat voor de evenwichtsstand: Dit is de horizontale lijn waaromheen de grafiek slingert. Het is het midden tussen het maximum en het minimum van de grafiek.

•bstaat voor de amplitude: Dit is de maximale uitwijking van de grafiek vanuit de evenwichtsstand. De amplitude is altijd positief.

•cbeïnvloedt de periode: De periode is de lengte van één volledige golf van de sinusoïde. Je berekent de periode met de formule:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}.

•dstaat voor de faseverschuiving: Dit geeft het startpunt van de golf aan op dex\text{-as}.De betekenis vandverschilt voor een sinus en een cosinus. Bij een sinusfunctie isx = ddex\text{-coördinaat}waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Bij een cosinusfunctie isx = ddex\text{-coördinaat}waar de grafiek een maximum bereikt.

Naast deze kenmerken zijn ook het maximum en het minimum belangrijk:

•Het maximum van de grafiek bereken je met:\text{maximum }= a + b

•Het minimum van de grafiek bereken je met:\text{minimum }= a - b

Voorbeeld voor een sinusfunctie tekenen

Gegeven is de functief(x)=-1+3\sin\left(\frac12x-\frac14\pi\right)met een domein van\left\lbrack0,6\pi\right\rbrack\text{.}Teken de grafiek vanf\text{.}

Stap 1: Herschrijven naar de standaardvorm

De functie staat nog niet volledig in de gewenste vormf(x)=a+b\sin(c\left(x-d\right))\text{.}We moeten de\frac12buiten de haakjes halen bij\frac12x-\frac14\pi\text{.}

De term\frac12xwordt\frac12(x)\text{.}

De term-\frac14\piwordt\frac{-\frac14\pi}{\frac12}=-\frac12\pi\text{.}

De herschreven functie is dus:f(x)=-1+3\sin(\frac12\left(x-\frac12\pi\right)).

Stap 2: Parameters aflezen en berekeningen

Nu de functie in de standaardvorm staat, kunnen we de parameters aflezen en de benodigde berekeningen uitvoeren:

•De evenwichtsstanda=-1

•De amplitudeb=3

•De factorc=\frac12

•De faseverschuivingd=\frac12\pi.Dit betekent dat de grafiek bijx=\frac12\pistijgend door de evenwichtsstand gaat.

Met deze parameters kunnen we de volgende waarden berekenen:

•De periode:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac12}=4\pi

•Het maximum:\text{maximum }= a+b = -1 + 3 = 2

•Het minimum:\text{minimum }= a-b = -1 - 3 = -4

Stap 3: Een geschikt assenstelsel kiezen

Een goed gekozen assenstelsel is de helft van het werk. We kijken naar de periode, het domein, de faseverschuiving, het minimum en het maximum.

x\textbf{-as:}

•Het domein is van0tot6\pi.

•De periode is4\pi.We moeten dus1\frac12keer de golf tekenen\left(\frac{6\pi}{4\pi}=1\frac12\right).

•Het startpunt is bijx=\frac12\pi.Als we een stapgrootte van1πper centimeter nemen, is\frac12\pilastig af te lezen als roosterpunt.

•Een stapgrootte van\frac12\piper centimeter is handiger. Het domein is6\pi,dus\frac{6\pi}{\frac12\pi}=12centimeter nodig. Dit past goed op papier.

y\textbf{-as:}

•Het minimum is-4en het maximum is2.

•Een stapgrootte van1eenheid per centimeter is hiervoor voldoende. We moeten van-4tot2kunnen tekenen.

Stap 4: Karakteristieke punten uitzetten

We zetten de evenwichtsstand en de belangrijke punten van de grafiek uit:

1.Teken de evenwichtsstand: Teken een horizontale stippellijn bijy=-1.

2.Markeer het startpunt: De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand bijx=\frac12\pi.Zet hier een punt op de evenwichtsstand:\left(\frac12\pi,-1\right).

3.Markeer volgende snijpunten met de evenwichtsstand:

•Een halve periode na het startpunt gaat de grafiek dalend door de evenwichtsstand. Halve periode is\frac{4\pi}{2}=2\pi.Dus bijx=\frac12\pi+2\pi=2\frac12\pi.Zet een punt:\left(2\frac12\pi,-1\right).

•Een hele periode na het startpunt begint de grafiek weer stijgend door de evenwichtsstand. Hele periode is4\pi.Dus bijx=\frac12\pi+4\pi=4\frac12\pi.Zet een punt:\left(4\frac12\pi,-1\right).

4.Markeer de maxima en minima:

•Het maximum ligt precies tussen het stijgend en dalend punt door de evenwichtsstand. Dit is bijx=\frac{\frac12\pi+2\frac12\pi}{2}=1\frac12\pi.Het maximum is2{,}dus zet een punt:\left(1\frac12\pi,2\right).

•Het minimum ligt precies tussen het dalend en stijgend punt door de evenwichtsstand. Dit is bijx=\frac{2\frac12\pi+4\frac12\pi}{2}=3\frac12\pi.Het minimum is-4{,}dus zet een punt:\left(3\frac12\pi,-4\right).

•Kijk of er nog meer minima of maxima binnen het domein vallen. Van4\frac12\pi(stijgend) naar het volgende maximum is weer een kwart periode\left(\pi\right).Dus bijx=4\frac12\pi+1\pi=5\frac12\piis er een maximum:\left(5\frac12\pi,2\right).

Stap 5: De sinusoïde tekenen

Verbind alle uitgezette punten vloeiend met een kromme lijn. Zorg ervoor dat de lijnen niet spits worden, maar een mooie bolling hebben die kenmerkend is voor een sinusoïde. Let ook op de uiteinden van de grafiek; deze moeten binnen het gegeven domein\left\lbrack0,6\pi\right\rbrackblijven. De grafiek begint bijx=0en stijgt naar de evenwichtsstand bijx=\frac12\pi.De grafiek eindigt bijx=6\pi,waar deze na het maximum bijx=5\frac12\piweer daalt.

Voorbeeld voor een cosinusfunctie tekenen

Gegeven is de functieg(x)=1+2\cos(\frac13x-1\frac13\pi)met een domein van\left\lbrack0,8\pi\right\rbrack.Teken de grafiek vang.

Stap 1: Herschrijven naar de standaardvorm

Ook hier moeten wecbuiten de haakjes halen. De term1\frac13\piis gelijk aan\frac43\pi.

We halen\frac13buiten de haakjes bij\frac13x-\frac43\pi.

De term\frac13xwordt\frac13(x).

De term-\frac43\piwordt\frac{-\frac43\pi}{\frac13}=-4\pi.

De herschreven functie is dus:g(x)=1+2\cos\left(\frac13\left(x-4\pi\right)\right).

Stap 2: Parameters aflezen en berekeningen

•De evenwichtsstanda= 1

•De amplitudeb= 2

•De factorc=\frac13

•De faseverschuivingd=4\pi.Dit betekent dat de grafiek bijx = 4πeen maximum bereikt.

Met deze parameters berekenen we:

•De periode:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac13}=6\pi

•Het maximum:\text{maximum }=a+b=1+2=3

•Het minimum:\text{minimum }=a-b=1-2=-1

Stap 3: Een geschikt assenstelsel kiezen

x\textbf{-as:}

•Het domein is van0tot8\pi.

•De periode is6\pi.We moeten de grafiek dus1\frac13keer tekenen\left(\frac{8\pi}{6\pi}=1\frac13\right).

•Het startpunt (maximum) is bijx=4\pi.

•Een stapgrootte van\frac12\piper centimeter is handig. Het domein is8\pi,dus\frac{8\pi}{\frac12\pi}=16centimeter nodig.

y\textbf{-as:}

•Het minimum is-1en het maximum is3.

•Een stapgrootte van1eenheid per centimeter is hiervoor voldoende.

Stap 4: Karakteristieke punten uitzetten

1.Teken de evenwichtsstand: Teken een horizontale stippellijn bijy=1.

2.Markeer het startpunt: Voor een cosinusfunctie ligt het startpunt op een maximum. Dit is bijx=4\pi.Zet hier een punt op het maximum:\left(4\pi,3\right).

3.Markeer volgende maxima en minima:

•Een halve periode na het maximum ligt een minimum. Halve periode is\frac{6\pi}{2}=3\pi.Dus bijx=4\pi+3\pi=7\pi.Het minimum is-1{,}dus zet een punt:\left(7\pi,-1\right).

•Een hele periode na het startpunt zou er weer een maximum zijn:x=4\pi+6\pi=10\pi.Dit valt buiten het domein\left\lbrack0,8\pi\right\rbrack.

•Een halve periode vóór het startpunt ligt ook een minimum:x=4\pi-3\pi=\pi.Het minimum is-1{,}dus zet een punt:\left(\pi,-1\right).

•Een hele periode vóór het startpunt zou er weer een maximum zijn:x=4\pi-6\pi=-2\pi.Dit valt ook buiten het domein\left\lbrack0,8\pi\right\rbrack.

4.Markeer de snijpunten met de evenwichtsstand:

•Deze liggen precies tussen een maximum en een minimum (een kwart periode van elk). Een kwart periode is\frac{6\pi}{4}=1\frac12\pi.

•Tussenx=\pi(minimum) enx = 4π(maximum):x=\pi+1\frac12\pi=2\frac12\pi.Zet een punt op de evenwichtsstand:\left(2\frac12\pi,1\right).

•Tussenx = 4π(maximum) enx = 7π(minimum):x=4\pi+1\frac12\pi=5\frac12\pi.Zet een punt op de evenwichtsstand:\left(5\frac12\pi,1\right).

Stap 5: De sinusoïde tekenen

Verbind alle uitgezette punten vloeiend met een kromme lijn. Let erop dat de grafiek vloeiend door de snijpunten met de evenwichtsstand gaat en mooie toppen en dalen vormt bij de maxima en minima. De grafiek moet binnen het domein\left\lbrack0,8\pi\right\rbrackblijven. De grafiek begint bijx=0en daalt naar het minimum bijx=\pi.De grafiek eindigt bijx=8\pi,waar deze na het minimum bijx=7πweer stijgt.