Amplituden van sinusoïden

Amplituden van sinusoïden

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 09:35
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de invloed van een negatieve waarde voorbin de formule op de grafiek van een sinusoïde uitleggen.

•Je kunt aan de hand van een gegeven goniometrische formule met een negatieveb\text{-waarde}de evenwichtsstand, amplitude, periode en verschuiving\left(d\right)bepalen.

•Je kunt bij een gegeven goniometrische formule met een negatieveb\text{-waarde}de bijbehorende sinusoïde correct tekenen binnen een opgegeven domein.

De invloed van een negatieveb\text{-waarde}

De amplitude is een belangrijke eigenschap van een sinusoïde. Het is de afstand van het maximum tot de evenwichtsstand en ook de afstand van het minimum tot de evenwichtsstand. Omdat een afstand per definitie altijd positief is, is de amplitude dus ook altijd positief.

De standaardvorm van een sinusoïde isy=a+b\sin(c\left(x-d\right))ofy=a+b\cos(c\left(x-d\right)).

Voor sinusfunctiesy=a+b\sin(c\left(x-d\right)):

•Alsb > 0: De grafiek gaat in het punt\left(d,a\right)stijgend door de evenwichtsstand.

•Alsb<0: De grafiek gaat in het punt\left(d,a\right)dalend door de evenwichtsstand. De grafiek wordt als het ware gespiegeld in de evenwichtsstand als deb\text{-waarde}negatief is.

Voor cosinusfunctiesy=a+b\cos(c\left(x-d\right)):

•Alsb > 0: De grafiek heeft in het punt\left(d,a+b\right)een maximum.

•Alsb < 0: De grafiek heeft in het punt\left(d,a+b\right)een minimum.

Voorbeeld 1: een sinusfunctie tekenen

Gegeven is de functie:f(x)=-1-3\sin\left(\frac12x-\frac14\pi\right)met domein\left\lbrack0,6\pi\right\rbrack. Teken de grafiek vanf.

Functie analyseren

Om de parametersa,b,cendgoed af te lezen, halen we de factor voor dexbuiten haakjes:f(x)=-1-3\sin(\frac12\left(x-\frac12\pi\right))

Nu kunnen we de parameters aflezen:

•Evenwichtsstand:a = -1

•Parameter:b = -3. Dit betekent dat de amplitude (de afstand)3is. De negatieve waarde vanbgeeft aan dat de grafiek gespiegeld is in de evenwichtsstand.

•Parameter:c=\frac12. Hiermee berekenen we de periode:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac12}=4\pi.

•Parameter:d=\frac12\pi. Normaal gesproken zou dit betekenen dat bijx=\frac12\pide grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Maar omdatbnegatief is\left(-3\right), gaat de grafiek op het punt\left(\frac12\pi,-1\right)dalend door de evenwichtsstand.

Assen kiezen

x-as:

•Het domein is van0tot6π.

•De periode is4π. Dit betekent dat we\frac{6\pi}{4\pi}=1\frac12keer de sinusoïde tekenen.

•Het beginpunt isx=\frac12\pi. Om dit punt en de verdere beweging duidelijk te kunnen tekenen, kiezen we een stapgrootte van\frac12\piop de x-as. Hiervoor zijn\frac{6\pi}{\frac12\pi}=12stappen (of hokjes) nodig op de x-as.

y-as:

•De evenwichtsstand isa = -1.

•De amplitude is3.

•Het minimum is de evenwichtsstand min de amplitude:-1 - 3 = -4.

•Het maximum is de evenwichtsstand plus de amplitude:-1 + 3 = 2.

•We kiezen een stapgrootte van1op de y-as.

Belangrijke punten markeren

Nu markeren we de belangrijke punten op de grafiek:

•Bijx=\frac12\pigaat de grafiek dalend door de evenwichtsstand\left(\frac12\pi,-1\right).

•Een hele periode\left(4\pi\right)verder, dus bijx=\frac12\pi+4\pi=4\frac12\pi, gaat de grafiek ook dalend door de evenwichtsstand\left(4\frac12\pi,-1\right).

•Precies in het midden tussen deze twee punten, dus bijx=\frac{\frac12\pi+4\frac12\pi}{2}=2\frac12\pi, gaat de grafiek stijgend door de evenwichtsstand\left(2\frac12\pi,-1\right).

•Omdat de grafiek bij\frac12\pidalend begint, zal er na een kwart periode een minimum zijn. Een kwart periode is\frac{4\pi}{4}=\pi. Dus bijx=\frac12\pi+\pi=1\frac12\pizit een minimum:\left(1\frac12\pi,-4\right).

•Het maximum bevindt zich een kwart periode\left(\pi\right)na het punt waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat, dus bijx=2\frac12\pi+\pi=3\frac12\pi:\left(3\frac12\pi,2\right).

•Na4\frac12\pivolgt weer een minimum bijx=4\frac12\pi+\pi=5\frac12\pi:\left(5\frac12\pi,-4\right).

Het assenstelsel met alle berekende punten (1/2 π, -1), (4 1/2 π, -1), (2 1/2 π, -1), (1 1/2 π, -4), (3 1/2 π, 2) en (5 1/2 π, -4) gemarkeerd met bolletjes.
Het assenstelsel met alle berekende punten (1/2 π, -1), (4 1/2 π, -1), (2 1/2 π, -1), (1 1/2 π, -4), (3 1/2 π, 2) en (5 1/2 π, -4) gemarkeerd met bolletjes.

Grafiek tekenen

Teken nu een vloeiende sinusoïde door deze gemarkeerde punten.

De volledige sinusoïde van f(x) = -1 - 3 sin(1/2 x - 1/4 π) getekend door de gemarkeerde punten binnen het domein [0, 6π].
De volledige sinusoïde van f(x) = -1 - 3 sin(1/2 x - 1/4 π) getekend door de gemarkeerde punten binnen het domein [0, 6π].

Voorbeeld 2: een cosinusfunctie tekenen

Gegeven is de functie:g(x)=1-2\cos\left(\frac13x-1\frac13\pi\right)met domein\left\lbrack0,8\pi\right\rbrack. Teken de grafiek vang.

Functie analyseren

Om de parametersa,b,cendgoed af te lezen, halen we de factor voor dexbuiten haakjes:g(x)=1-2\cos(\frac13\left(x-4\pi\right)). Nu kunnen we de parameters aflezen:

•Evenwichtsstand:a = 1

•Parameter:b = -2. Dit betekent dat de amplitude (de afstand)2is. De negatieve waarde vanbgeeft aan dat de grafiek gespiegeld is in de evenwichtsstand.

•Parameter:c=\frac13. Hiermee berekenen we de periode:\text{periode }=\frac{2\pi}{c}=\frac{2\pi}{\frac13}=6\pi.

•Parameter:d = 4π. Normaal gesproken zou bijx = 4πeen maximum zitten. Maar omdatbnegatief is\left(-2\right), zit er nu een minimum bijx = 4π.

Assen kiezen

x-as:

•Het domein is van0tot8π.

•De periode is6π. Dit betekent dat we\frac{8\pi}{6\pi}=1\frac13keer de sinusoïde tekenen.

•Een handige stapgrootte voor de x-as is\pi. Hiervoor zijn\frac{8\pi}{\pi}=8stappen (of hokjes) nodig op de x-as.

y-as:

•De evenwichtsstand isa = 1.

•De amplitude is2.

•Het minimum is de evenwichtsstand min de amplitude:1 - 2 = -1.

•Het maximum is de evenwichtsstand plus de amplitude:1 + 2 = 3.

•We kiezen een stapgrootte van1op de y-as.

Belangrijke punten markeren

Nu markeren we de belangrijke punten op de grafiek:

•Bijx = 4πzit een minimum\left(4\pi,-1\right), omdatbnegatief is.

•Een halve periode\left(3\pi\right)verder, dus bijx = 4π + 3π = 7π, zit een maximum\left(7\pi,3\right).

•Een halve periode terug, dus bijx=4\pi-3\pi=\pi, zit ook een maximum\left(\pi,3\right).

•Tussen het maximum bijπen het minimum bij4πzit de evenwichtsstand. Dit is bijx=\frac{\pi+4\pi}{2}=2\frac12\pi:\left(2\frac12\pi,1\right).

•Tussen het minimum bij4πen het maximum bij7πzit ook de evenwichtsstand. Dit is bijx=\frac{4\pi+7\pi}{2}=5\frac12\pi:\left(5\frac12\pi,1\right).

Het assenstelsel met alle berekende punten (4π, -1), (7π, 3), (1π, 3), (2.5π, 1) en (5.5π, 1) gemarkeerd met bolletjes.
Het assenstelsel met alle berekende punten (4π, -1), (7π, 3), (1π, 3), (2.5π, 1) en (5.5π, 1) gemarkeerd met bolletjes.

Grafiek tekenen

Teken nu een vloeiende sinusoïde door deze gemarkeerde punten.

De volledige sinusoïde van g(x) = 1 - 2 cos(1/3 x - 4/3 π) getekend door de gemarkeerde punten binnen het domein [0, 8π].
De volledige sinusoïde van g(x) = 1 - 2 cos(1/3 x - 4/3 π) getekend door de gemarkeerde punten binnen het domein [0, 8π].
Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.