Leerdoelen
•Je kunt een formule van een loodrechte lijn opstellen die loodrecht staat op een gegeven lijn van de vormax+by=c.
Wat zijn onderling loodrechte lijnen en hun eigenschappen?
Onderling loodrechte lijnen snijden elkaar onder een hoek van90graden. Voor lijnen in de vormy = ax + bgeldt een specifieke relatie tussen hun richtingscoëfficiënten. De richtingscoëfficiënt \left(rc\right)is het getalain de formuley = ax + bdat de steilheid van de lijn aangeeft. Als lijnkloodrecht op lijnlstaat, dan is de richtingscoëfficiënt vankkeer de richtingscoëfficiënt vanlgelijk aan -1.
Hoe herken je loodrechte lijnen van de vormax+by=c\textbf{?}
Voor lijnen van de vormax+by=c,waarbija,\ b\text{ en }cconstanten zijn, geldt een speciale regel om loodrechte lijnen te herkennen en op te stellen. De vergelijking van een lijn is een wiskundige formule die alle punten\left(x,y\right)op een lijn beschrijft.
Als lijnkde vergelijkingax+by=cheeft (metb\ne0)en lijnLde vergelijkingbx-ay=dheeft (meta ≠ 0),dan staan deze twee lijnen loodrecht op elkaar.
De relatie tussen de coëfficiënten is als volgt:
•Het getal (coëfficiënt) dat bij lijnkvoorxstaat\left(a\right),komt bij lijnlvooryte staan, maar dan met een tegengesteld teken.
•Het getal (coëfficiënt) dat bij lijnkvoorystaat\left(b\right),komt bij lijnlvoorxte staan, zonder het teken te veranderen.
Waarom staan deze lijnen loodrecht op elkaar?
De regel voor loodrechte lijnen van de vormax+by=ckan worden aangetoond dooryvrij te maken in beide vergelijkingen en vervolgens de richtingscoëfficiënten met elkaar te vermenigvuldigen.
1.Lijnk:\ ax+by=c
1.Maakyvrij:by = -ax + c
2.Deel doorb:\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}
3.De richtingscoëfficiënt vankis dus:rc_{k}=-\frac{a}{b}
2.Lijnl:\ bx-ay=d
1.Maakyvrij:-ay = -bx + d
2.Deel door-a:\ y=-\frac{b}{-a}x+\frac{d}{-a},wat vereenvoudigt toty=\frac{b}{a}x-\frac{d}{a}
3.De richtingscoëfficiënt vanlis dus:rc_{l}=\frac{b}{a}
3.Controle van de richtingscoëfficiënten:
1.Vermenigvuldigrc_{k}enrc_{l}:rc_{k}\cdot rc_{l}=-\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}
2.Teller keer teller en noemer keer noemer:\frac{-a\cdot b}{b\cdot a}=\frac{-ab}{ab}=-1
Aangezien het product van de richtingscoëfficiënten-1is, staan de twee lijnen loodrecht op elkaar.
Hoe stel je een formule van een loodrechte lijn op: Voorbeeldberekening
De lijnkgaat door het punt3, -4en staat loodrecht op de lijnl: 2x - 5y = 7.Stel vankeen vergelijking op van de vormy = ax + b.
Stappenplan:
1.Bepaal de algemene vorm van lijnk.
1.Lijnlheeft de vormax+by=c,meta=2enb=-5.
2.Een lijn die loodrecht oplstaat, heeft de vormbx-ay=d.
3.Vul de coëfficiënten vanlin:-5\cdot x-2\cdot y=d.
4.Dit geeft:-5x - 2y = d.
5.Om de eerste term positief te maken, kan de hele vergelijking met-1vermenigvuldigd worden:5x + 2y = -d.Laten we de constante nucnoemen:5x+ 2y = c.
2.Bereken de constantecdoor het gegeven punt in te vullen.
1.Lijnkgaat door punt(3, -4).Vulx = 3eny = -4in de vergelijking5x + 2y = c:
2.c = 5 \cdot 3 + 2 \cdot -4
3.c = 15 - 8
4.c = 7
3.Schrijf de vergelijking van lijnkop.
1.De vergelijking van lijnkin de vormax + by = cis:5x + 2y = 7.
4.Herleid de vergelijking van lijnknaar de vormy=ax+b.
1.Begin met:5x + 2y = 7
2.Haal de term metxnaar de andere kant:2y = -5x + 7
3.Deel de hele vergelijking door2:\ y=\frac{-5}{2}x+\frac72
4.Dit isy = -2,5x + 3,5.
De vergelijking van lijnkis dusy = -2,5x + 3,5.
