Onderlinge ligging van lijnen

Onderlinge ligging van lijnen

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 06:53
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Oefenen (13)Oefen de bijbehorende opgaven
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat een afhankelijk stelsel is en wat dit zegt over de onderlinge ligging van de lijnen.

•Je kunt uitleggen wat een strijdig stelsel is en wat dit zegt over de onderlinge ligging van de lijnen.

•Je kunt een stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen met de eliminatiemethode.

•Je kunt de onderlinge ligging van lijnen bepalen aan de hand van de verhoudingen van hun coëfficiënten.

Afhankelijk stelsel

Oplossen met eliminatie

Laten we eens kijken naar het volgende stelsel metk: 2x - 5y = 1enl:4x-10y=2:

\begin{cases}2x-5y=1\\ 4x-10y=2\end{cases}

We willenxelimineren. Hiervoor vermenigvuldigen we de eerste vergelijking\left(k\right)met2en de tweede vergelijking\left(l\right)met1: k\cdot2:\ 4x-10y=2 l\cdot1:\ 4x-10y=2

Je ziet nu dat je twee exact dezelfde vergelijkingen hebt. Als je deze van elkaar aftrekt, krijg je:

(4x - 10y) - (4x - 10y) = 2 - 2

0 = 0

Dit resultaat,0=0{,}is correct, maar het geeft je geen specifieke waarde voorxofy.Wat betekent dit nu grafisch?

Grafisch bekeken

Als jeyvrijmaakt in beide vergelijkingen, zie je wat er aan de hand is.

Voor lijnk:\ 2x-5y=1

•-5y = -2x + 1

•y = \frac{-2}{-5}x + \frac{1}{-5}

•y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}

Voor lijnl:\ 4x-10y=2

•-10y = -4x + 2

•y = \frac{-4}{-10}x + \frac{2}{-10}

•y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}

Beide lijnen hebben precies dezelfde vergelijking. Dit betekent dat de lijnen samenvallen; ze liggen precies over elkaar heen. Er zijn dan oneindig veel snijpunten, omdat elk punt op de lijn een oplossing is.

Twee lijnen die exact over elkaar heen liggen, met de labels k en l die samenvallen
Twee lijnen die exact over elkaar heen liggen, met de labels k en l die samenvallen

Snelle controle

Je kunt veel sneller zien of lijnen samenvallen zonder het hele stelsel op te lossen ofyvrij te maken. Let op de coëfficiënten (de getallen voor dex,deyen de constante term achter het is-teken). Voor de algemene lijnenax + by = cenpx+qy=r: Als\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r},dan vallen de lijnen samen. Er zijn oneindig veel oplossingen.

Rekenvoorbeeld

Gebruiken we ons voorbeeld, de lijnenkenl:\begin{cases}2x-5y=1\\ 4x-10y=2\end{cases}.

De verhoudingen van de coëfficiënten zijn:

•Voorx: \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

•Voory: \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}

•Voor de constante term:\frac{1}{2}

Omdat\frac{2}{4}=\frac{-5}{-10}=\frac{1}{2},vallen de lijnenkenlsamen.

Strijdig stelsel

Oplossen met eliminatie

Laten we eens kijken naar het volgende stelsel metk:\ 2x-5y=10enl:\ 4x-10y=0:

\begin{cases}2x-5y=10\\ 4x-10y=0\end{cases}

We elimineren weerxdoor de eerste vergelijking\left(k\right)met2te vermenigvuldigen en de tweede\left(l\right)met1:

k\cdot2:\ 4x-10y=20

l\cdot1:\ 4x-10y=0

Als we deze twee vergelijkingen van elkaar aftrekken, krijgen we:

(4x - 10y) - (4x - 10y) = 20 - 0

0 = 20

Dit resultaat,0=20{,}is onmogelijk. Dit is een strijdigheid. Dit betekent dat er geen enkelexenyzijn die aan beide vergelijkingen tegelijk voldoen.

Grafisch bekeken

Laten we ook hieryvrijmaken om te zien wat er grafisch gebeurt.

Voor lijnk:\ 2x-5y=10

•-5y = -2x + 10

•y = \frac{-2}{-5}x + \frac{10}{-5}

•y = \frac{2}{5}x - 2

Voor lijnl:\ 4x-10y=0

•-10y = -4x

•y = \frac{-4}{-10}x

•y = \frac{2}{5}x

Als je de vergelijkingen vankenlvergelijkt, zie je dat ze dezelfde richtingscoëfficiënt hebben (beide\frac{2}{5}),maar een verschillend begingetal (lijnksnijdt de y-as bijy = -2en lijnlbijy=0{,}dus door de oorsprong). Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig. Omdat hun begingetallen verschillen, vallen ze niet samen. Evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit, dus zijn er geen oplossingen.

Twee evenwijdige lijnen die elkaar niet snijden, met de labels k en l
Twee evenwijdige lijnen die elkaar niet snijden, met de labels k en l

Snelle controle

Ook hier kun je de onderlinge ligging sneller bepalen met de verhoudingen van de coëfficiënten: Voor de algemene lijnenax + by =cenpx+qy=r: Als\frac{a}{p}=\frac{b}{q}\neq\frac{c}{r},dan zijn de lijnen evenwijdig en snijden ze elkaar niet. Er zijn geen oplossingen.

Rekenvoorbeeld

Gebruiken we ons voorbeeld, de lijnenkenl:\begin{cases}2x-5y=10\\ 4x-10y=0\end{cases}.

De verhoudingen van de coëfficiënten zijn:

•Voorx:\ \frac{2}{4}=\frac{1}{2}

•Voory:\ \frac{-5}{-10}=\frac{1}{2}

•Voor de constante term:\frac{10}{0}

Hier zien we dat\frac{2}{4} = \frac{-5}{-10}(beide\frac{1}{2}).De verhouding van de constante termen is\frac{10}{0}.Delen door nul kan niet, maar het belangrijkste is dat deze verhouding niet gelijk is aan\frac{1}{2}.Mocht er bijvoorbeeld\frac{10}{1}hebben gestaan, dan was de verhouding10{,}wat ook niet gelijk is aan\frac{1}{2}.De conclusie blijft hetzelfde: omdat de verhouding van dex\text{-}eny\text{-coëfficiënten}wel gelijk is, maar de verhouding van de constante termen niet, zijn de lijnen evenwijdig en is er geen oplossing.

Snijdende lijnen

Stel, je hebt twee lijnen,k:\ ax+by=cenl:\ px+qy=r,weergegeven door een stelsel van vergelijkingen in de algemene vorm:\begin{cases}ax+by=c\\ px+qy=r\end{cases}.

Naast afhankelijke en strijdige stelsels kunnen stelsels één oplossing en dus één snijpunt hebben. Het gebeurt wanneer de verhoudingen van dex\text{-}eny\text{-coëfficiënten}niet gelijk zijn:\frac{a}{p}\neq\frac{b}{q}.

In dit geval is er precies één snijpunt, en dus één unieke oplossing voor het stelsel.

Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.