Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat een afhankelijk stelsel is en wat dit zegt over de onderlinge ligging van de lijnen.
•Je kunt uitleggen wat een strijdig stelsel is en wat dit zegt over de onderlinge ligging van de lijnen.
•Je kunt een stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen met de eliminatiemethode.
•Je kunt de onderlinge ligging van lijnen bepalen aan de hand van de verhoudingen van hun coëfficiënten.
Afhankelijk stelsel
Oplossen met eliminatie
Laten we eens kijken naar het volgende stelsel meten:
\begin{cases}2x-5y=1\\ 4x-10y=2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ \text{l}4x-10y=2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ \text{l:}4x-10y=2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ \text{l: }4x-10y=2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ \end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-2y\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-2y=\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k}2x-5y=1\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k:}2x-5y=1\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=11\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{}\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+3\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+3y\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+3y=\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+3y=5\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\frac{1}{2}x+3y=5\\ x-2y=8\end{cases}
We willenelimineren. Hiervoor vermenigvuldigen we de eerste vergelijking\left(k\right)meten de tweede vergelijking\left(l\right)met: k\cdot2:4x-10y=2k2:4x-10y=2 l\cdot1:4x-10y=2l1:4x-10y=2
Je ziet nu dat je twee exact dezelfde vergelijkingen hebt. Als je deze van elkaar aftrekt, krijg je:
Dit resultaat,, is correct, maar het geeft je geen specifieke waarde voorof. Wat betekent dit nu grafisch?
Grafisch bekeken
Als jevrijmaakt in beide vergelijkingen, zie je wat er aan de hand is.
Voor lijnk:2x-5y=1k:(2x-5y=1
•
•
•
Voor lijnl:4x-10y=2l:(4x-10y=2
•
•
•
Beide lijnen hebben precies dezelfde vergelijking. Dit betekent dat de lijnen samenvallen; ze liggen precies over elkaar heen. Er zijn dan oneindig veel snijpunten, omdat elk punt op de lijn een oplossing is.
Snelle controle
Je kunt veel sneller zien of lijnen samenvallen zonder het hele stelsel op te lossen ofvrij te maken. Let op de coëfficiënten (de getallen voor de, deen de constante term achter het is-teken). Voor de algemene lijnenen: Als, dan vallen de lijnen samen. Er zijn oneindig veel oplossingen.
Rekenvoorbeeld
Gebruiken we ons voorbeeld, de lijnenen:\begin{cases}2x-5y=1\\ 4x-10y=2\end{cases}.
De verhoudingen van de coëfficiënten zijn:
•Voor
•Voor
•Voor de constante term:
Omdat, vallen de lijnenensamen.
Strijdig stelsel
Oplossen met eliminatie
Laten we eens kijken naar het volgende stelsel metk:2x-5y=10enl:4x-10y=0l:l:4:
\begin{cases}2x-5y=10\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}2\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ 44x-10y=0\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ 4x-10y=2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ \text{l}4x-10y=2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ \text{l:}4x-10y=2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ \text{l: }4x-10y=2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ \end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-2\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-2y\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-2y=\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k}2x-5y=1\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k:}2x-5y=1\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=11\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{}\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+3\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+3y\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+3y=\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\text{k: }2x-5y=1\frac{1}{2}x+3y=5\\ x-2y=8\end{cases}\begin{cases}\frac{1}{2}x+3y=5\\ x-2y=8\end{cases}
We elimineren weerdoor de eerste vergelijking\left(k\right)\left(k\right)mette vermenigvuldigen en de tweede\left(l\right)met:
Als we deze twee vergelijkingen van elkaar aftrekken, krijgen we:
Dit resultaat,, is onmogelijk. Dit is een strijdigheid. Dit betekent dat er geen enkeleenzijn die aan beide vergelijkingen tegelijk voldoen.
Grafisch bekeken
Laten we ook hiervrijmaken om te zien wat er grafisch gebeurt.
Voor lijn
•
•
•
Voor lijn
•
•
•
Als je de vergelijkingen vanenvergelijkt, zie je dat ze dezelfde richtingscoëfficiënt hebben (beide), maar een verschillend begingetal (lijnsnijdt de y-as bijen lijnbij, dus door de oorsprong). Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig. Omdat hun begingetallen verschillen, vallen ze niet samen. Evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit, dus zijn er geen oplossingen.
Snelle controle
Ook hier kun je de onderlinge ligging sneller bepalen met de verhoudingen van de coëfficiënten: Voor de algemene lijnenen: Als, dan zijn de lijnen evenwijdig en snijden ze elkaar niet. Er zijn geen oplossingen.
Rekenvoorbeeld
Gebruiken we ons voorbeeld, de lijnenen:\begin{cases}2x-5y=10\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}2x-5y=1\\ 4x-10y=2\end{cases}.
De verhoudingen van de coëfficiënten zijn:
•Voor
•Voor
•Voor de constante term:
Hier zien we dat(beide). De verhouding van de constante termen is. Delen door nul kan niet, maar het belangrijkste is dat deze verhouding niet gelijk is aan. Mocht er bijvoorbeeldhebben gestaan, dan was de verhouding, wat ook niet gelijk is aan. De conclusie blijft hetzelfde: omdat de verhouding van de x- en y-coëfficiënten wel gelijk is, maar de verhouding van de constante termen niet, zijn de lijnen evenwijdig en is er geen oplossing.
Snijdende lijnen
Stel, je hebt twee lijnen,k:ax+by=ck:ax+by=k:ax+by=xk:ax+by=k:ax+byk:ax+bk:ax+k:axk:ak:ack:ak:enl:px+qy=rl:px+qy=l:px+qyl:px+ql:px+l:pxl:pl:, weergegeven door een stelsel van vergelijkingen in de algemene vorm:\begin{cases}ax+by=c\\ px+qy=r\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ px+qy=\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ px+qy\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ px+q\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ px+\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ px\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ p\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ \end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ 4\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ 4x\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ 4x-\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ 4x-1\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ 4x-10\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ 4x-10y\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ 4x-10y=\end{cases}\begin{cases}ax+by=c\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}ax+by=\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}ax+by\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}ax+b\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}ax+\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}ax\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}a\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}2\\ 4x-10y=0\end{cases}\begin{cases}2x-5y=10\\ 4x-10y=0\end{cases}.
Naast afhankelijke en strijdige stelsels kunnen stelsels één oplossing en dus één snijpunt hebben. Het gebeurt wanneer de verhoudingen van de x- en y-coëfficiënten niet gelijk zijn:.
In dit geval is er precies één snijpunt, en dus één unieke oplossing voor het stelsel.
