Omtrek en oppervlakte

Leerdoelen

•Je kunt bij verschillende vlakke figuren omtrek, oppervlakte en zijden berekenen.

•Je kunt de verhouding 1:1:\sqrt2 gebruiken bij berekeningen in een gelijkbenige rechthoekige driehoek.

•Je kunt de verhouding 1:2:\sqrt3 gebruiken bij berekeningen in een rechthoekige driehoek met scherpe hoeken van 30^{\circ}en 60^{\circ}.

Welke basisformules gebruik je voor omtrek en oppervlakte?

De omtrek is de totale lengte van de buitenrand van een vlak figuur. De oppervlakte is de grootte van het gebied binnen een vlak figuur. Voor verschillende vlakke figuren gelden specifieke formules voor de omtrek en oppervlakte. Hieronder staan de formules die worden herhaald in de les.

Wanneer gebruik je speciale driehoeksverhoudingen?

Voor berekeningen in bepaalde rechthoekige driehoeken kun je gebruikmaken van vaste verhoudingen tussen de zijden. Er zijn twee typen speciale driehoeken die hierbij van pas komen.

Gelijkbenige rechthoekige driehoek

Een gelijkbenige rechthoekige driehoek is een driehoek met een rechte hoek en twee gelijke zijden, waardoor de twee andere hoeken 45^{\circ}zijn. In deze driehoek geldt de verhouding 1:1:\sqrt2, die de lengtes van de rechthoekszijden en de schuine zijde beschrijft. De twee rechthoekszijden hebben een verhouding van 1:1, en de schuine zijde heeft een verhouding van \sqrt2 ten opzichte van een rechthoekszijde.

Rechthoekige driehoek met hoeken van 30^{\circ}en60^{\circ}

Een rechthoekige driehoek met hoeken van 30^{\circ}en60^{\circ}is een speciale driehoek waarbij de scherpe hoeken30^{\circ}en60^{\circ}zijn. In deze driehoek geldt de verhouding 1:2:\sqrt3. Deze verhouding beschrijft de lengtes van de zijden als volgt:

•de kortste rechthoekszijde heeft verhouding 1

•de schuine zijde heeft verhouding 2

•de langste rechthoekszijde heeft verhouding \sqrt3.

De oppervlakte van een trapezium met speciale driehoeken berekenen

Gegeven is het trapezium ABCD met AB = 11, BC = 6, \angle A=45\degree en \angle B=30\degree. Bereken exact de oppervlakte van het trapezium. De formule voor de oppervlakte van een trapezium is: O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdot CE

Bereken de hoogte CE en zijde BE

Teken een loodlijn CE vanuit C loodrecht op AB. De loodlijn is een lijn die loodrecht op een andere lijn staat en daarmee een hoek van 90°vormt. In driehoek BCE is\angle E=90\degreeen \angle B=30\degree. Dit betekent dat \angle C (in\Delta BCE) = 180° - 90° - 30° = 60°. Dit is een speciale 30-60-90-driehoek met verhoudingen 1:2:\sqrt3 (kortste rechthoekszijde : schuine zijde : langste rechthoekszijde).

•BC is de schuine zijde met verhouding 2.

•CE is de kortste rechthoekszijde met verhouding 1.

•BE is de langste rechthoekszijde met verhouding √3. Gegeven is BC = 6. CE=(\frac{BC}{2})\cdot1=(\frac62)\cdot1=3. BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\sqrt3=3\sqrt3. Dus, de hoogte CE=3.

Bereken zijde AF

Teken een loodlijn DF vanuit D loodrecht op AB. DF is gelijk aan CE, dus DF = 3. In \Delta AFD is \angle F=90\degree en \angle A=45\degree. Dit betekent dat \angle D (in\Delta AFD) = 180° - 90° - 45° = 45°. Dit is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met verhoudingen 1:1:\sqrt2.

•DF is een rechthoekszijde met verhouding 1.

•AF is de andere rechthoekszijde met verhouding 1. Omdat DF = 3 en de verhoudingen 1:1 zijn, is AF = DF = 3.

Bereken zijde CD

CD is gelijk aan EF. EF kan berekend worden door AB - AF - BE. CD=AB-AF-BE=11-3-3\sqrt3=8-3\sqrt3.

Bereken de oppervlakte van het trapezium

Nu alle benodigde waarden bekend zijn, kan de oppervlakte berekend worden: O=\frac{1}{2}\cdot(AB+CD)\cdot CE

O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3\sqrt3)\cdot3

=\frac{1}{2}\cdot(19-3\sqrt3)\cdot3

=(\frac32)\cdot(19-3\sqrt3) =\frac{(3\cdot19)}{2}-\frac{(3\cdot3\sqrt3)}{2} =\frac{57}{2}-\frac{9\sqrt3}{2} = 28\frac{1}{2}-4\frac{1}{2}\sqrt3

De straal van een ingeschreven cirkel in een rechthoekige driehoek berekenen

Gegeven is \Delta ABC met AB = 8,\angle A=90\degree en \angle B=60\degree. De ingeschreven cirkel van de driehoek is getekend. Een ingeschreven cirkel is een cirkel die alle zijden van een veelhoek raakt. Bereken exact de straal r van deze ingeschreven cirkel. Het middelpunt van een cirkel is het centrale punt waaruit alle punten op de cirkel even ver verwijderd zijn.

Hulplijnen tekenen en gelijke driehoeken identificeren

Teken een hulplijn van middelpunt M naar B. Teken een lijn vanuit M loodrecht op de zijde BC. Noem dit punt E. Punt E is het raakpunt van de cirkel met de zijde BC. De afstand ME is de straal r. Teken een lijn vanuit M loodrecht op de zijde AB. Noem dit punt D. Punt D is het raakpunt van de cirkel met de zijde AB. De afstand MD is de straal r. \Delta DBMen\Delta EBM zijn congruent (gelijk). Ze hebben beide een rechte hoek (bij D en E), een gemeenschappelijke schuine zijde BM en gelijke rechthoekszijden (MD=ME=R). Dit betekent dat de lijn BM hoek B van \Delta ABC doormidden deelt. Omdat \angle B=60\degree, zijn \angle DBMen \angle EBM beide 30°. In \Delta DBM geldt: \angle D=90\degree, \angle B=30\degree. Dus \angle M=180\degree-90\degree-30\degree=60\degree. Dit is een speciale 30-60-90-driehoek met verhoudingen 1:2:\sqrt3.

•DM is de kortste rechthoekszijde met verhouding 1.

•BM is de schuine zijde met verhouding 2.

•DB is de langste rechthoekszijde met verhouding \sqrt3.

Druk BD enAD uit in r

DM is de straalr, wat overeenkomt met verhouding 1. Dan is DB (verhouding \sqrt3) =r\cdot\sqrt3=r\sqrt3. Teken een loodlijn vanuit Mop zijde AC. Noem dit punt F. MF is de straal r, want F is het raakpunt van de cirkel met AC. Omdat\angle A=90\degreeen MF en MD beide loodrecht staan op de zijden AC en AB, vormt het vierkant AFMDeen vierkant met zijden r. Dus AD=r. De zijde AB kan geschreven worden als AD + DB. We weten dat AB = 8. Dus, 8=AD+DB=r+r\sqrt3.

Los de vergelijking op voor r

De vergelijking is r+r\sqrt3=8. Haal buiten haakjes: r(1+\sqrt3)=8. Deel door (1+\sqrt3): r=\frac{8}{1+\sqrt3}. Dit is de exacte straal r van de ingeschreven cirkel.

De verhouding van oppervlakten van twee snijdende cirkels berekenen

Twee cirkels met middelpunt K en L snijden elkaar in de punten E en F. \angle EKF=90\degree en \angle ELF=120\degree. Bereken de verhouding van de oppervlakte van de cirkels. Noem de straal van de cirkel met middelpunt K: r_{K}. Dus KE=KF=r_{K} Noem de straal van de cirkel met middelpunt L: r_{L}. Dus LE=LF=r_{L} De vierhoek FLEK is een vlieger, een vierhoek met twee paar gelijke aanliggende zijden. De diagonalen van een vlieger snijden elkaar loodrecht.

Analyseren van de figuur en speciale driehoeken vinden

De diagonaal KL deelt\angle EKF en \angle ELF doormidden. Laat S het snijpunt zijn van de diagonalen KL en EF. De diagonalen snijden elkaar loodrecht, dus\angle KSE en \angle LSE zijn 90°. In \angle ESL geldt:

•\angle ELS=\frac12\cdot\angle ELF=\frac12\cdot120=60\degree

•\angle LSE=90\degree.

•\angle SEL=180\degree-90\degree-60\degree=30\degree. Dit is een speciale 30-60-90-driehoek met verhoudingen 1:2:\sqrt3.

•LS is de kortste rechthoekszijde (tegenover 30°) met verhouding 1.

•EL is de schuine zijde (tegenover 90°) met verhouding 2.

•ES is de langste rechthoekszijde (tegenover 60°) met verhouding \sqrt3.

Druk ES uit in RL

EL is de straal r_{L} van cirkel L. ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3.

Druk ES uit in RK

In \Delta ESK geldt:

•\angle KES=\frac12\cdot\angle EKF=\frac12\cdot90\degree=45\degree

•\angle ESK=90\degree

•\angle SKE=180\degree-90\degree-45\degree=45\degree Dit is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met verhoudingen 1:1:√2.

•ES is een rechthoekszijde met verhouding 1.

•SK is de andere rechthoekszijde met verhouding 1.

•EK is de schuine zijde met verhouding \sqrt2. EK is de straal r_{K} van cirkel K. ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=\frac{r_{K}}{\sqrt2}.

Druk RK uit in RL

Nu we ES op twee manieren hebben uitgedrukt, kunnen we ze aan elkaar gelijkstellen: \frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=\frac{r_{K}}{\sqrt2} Vermenigvuldig beide kanten met \sqrt2: r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3\cdot\sqrt2 r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt6. De straal van cirkel K is dus \frac{1}{2}\sqrt6 keer de straal van cirkel L.

Bereken de oppervlakte van cirkel K

De oppervlakte van cirkel K=\pi\cdot(r_{K})^2 =\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L}\sqrt6)^2 =\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot r_{L}^2\cdot6) =\pi\cdot(\frac64\cdot r_{L}^2) =\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi r_{L}^2

Bereken de oppervlakte van cirkel L

De oppervlakte van cirkel L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi r_{L}^2.

Bepaal de verhouding van de oppervlakten

De verhouding van de oppervlakte van cirkel K tot de oppervlakte van cirkel L is: Oppervlakte K : Oppervlakte L = 1\frac12\pi r_{L}^2:\pi r_{L^2} Deel beide zijden door \pi r_{L}^2:

Oppervlakte K : Oppervlakte L= 1\frac{1}{2}:1 Om de verhouding in gehele getallen uit te drukken, vermenigvuldig je beide kanten met 2: Oppervlakte K : Oppervlakte L= 3 : 2 De verhouding van de oppervlakten van de cirkels is 3 staat tot 2.