Lijnen, hoeken en afstanden

Lijnen, hoeken en afstanden

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 17:11
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Oefenen (13)Oefen de bijbehorende opgaven
Begrippen (7)Leer de bijbehorende begrippen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de hoek tussen twee lijnen berekenen.

•Je kunt de afstand van een punt tot een lijn berekenen.

Hoe bereken je de richtingshoek van een lijn?

De richtingshoek van een lijn is de hoek (α) waarover de x-as gedraaid moet worden om samen te vallen met de lijn. Deze hoek kan ook worden gezien als de hoek die de lijn maakt met de x-as.

Je berekent de richtingshoek door gebruik te maken van de richtingscoëfficiënt (rc) van de lijn. De richtingscoëfficiënt is de verhouding van de verandering in y (\Delta y) tot de verandering in x (\Delta x) tussen twee punten op de lijn. De tangens van de richtingshoek (α) is gelijk aan de richtingscoëfficiënt.

Formule: \tan(\alpha)=rc

Om de hoek α te vinden, gebruik je de arctangens (\tan^{-1}): \alpha=\tan^{-1}{}(rc)

Voorbeeldberekening van een richtingshoek Gegeven is lijn k:y=\frac13x-1.

1.De richtingscoëfficiënt van lijn k is \frac13.

2.\tan(\alpha)=\frac13

3.\alpha=\tan^{-1}\left(\frac13\right)\thickapprox18,4\degree De richtingshoek van lijn k is dus 18,4\degree.

Afbeelding

Hoe bereken je de hoek tussen twee lijnen?

De hoek tussen twee lijnen bereken je door het verschil te nemen tussen hun richtingshoeken. Je pakt altijd de scherpe hoek tussen de lijnen.

Volg deze stappen:

1.Zet de vergelijkingen van beide lijnen om naar de vorm y = ax + b, zodat je de richtingscoëfficiënten kunt aflezen.

2.Bereken de richtingshoeken (α en β) van beide lijnen met de arctangens. Rond tussendoor niet af.

3.Bereken het verschil tussen de richtingshoeken (grootste - kleinste). Als dit resultaat groter is dan 90 graden, dan heb je de stompe hoek.

4.Trek bij een stompe hoek het resultaat af van 180 graden om de scherpe hoek te vinden.

Voorbeeldberekening van de hoek tussen twee lijnen Bereken de hoek tussen lijnk:6x-2y=5 en lijnl:3x+5y=10.

Lijn k:

1.6x - 2y = 5

2.-2y = -6x + 5

3.y = 3x - 2,5

4.De richtingscoëfficiënt vank is 3.

5.\tan(\alpha)=3

6.\alpha=\tan^{-1}(3)\thickapprox71,56\degree

Lijn l:

1.3x + 5y = 10

2.5y = -3x + 10

3.y=-\frac35x+2

4.De richtingscoëfficiënt van l is -\frac35.

5.\tan(\beta)=-\frac35

6.\beta=\tan^{-1}(-\frac35)\thickapprox-30,96\degree

Hoek tussen k en l:

1.Verschil tussen richtingshoeken: α - β = 71,56° - (-30,96°) = 102,52°, dit is de stompe hoek.

2.Voor de scherpe hoek: 180° - 102,52° = 77,48° De scherpe hoek tussen lijn k en lijn l is afgerond 77 graden.

Wat zijn onderling loodrechte lijnen?

Loodrechte lijnen zijn lijnen die elkaar snijden onder een hoek van 90 graden.

Er gelden twee belangrijke voorwaarden:

•Als twee lijnen k en l met richtingscoëfficiënten rc_{k} en rc_{l} loodrecht op elkaar staan, dan geldt: rc_{k}\cdot rc_{l}=-1 Deze voorwaarde geldt als rc_{k}\ne0 en rc_{l}\ne0.

•Als twee lijnen k en l gegeven zijn in de vorm ax+by=c:

•Lijnk:ax+by=c

•Lijnl:bx-ay=d Deze lijnen staan loodrecht op elkaar. De factoren voor x en y zijn verwisseld, en één van de tekens van de factoren is omgedraaid.

Je kunt de tweede voorwaarde aantonen door voor beide lijnen y vrij te maken en hun richtingscoëfficiënten te bepalen, en deze vervolgens met elkaar te vermenigvuldigen.

Aantonen van de voorwaarde voor ax+by=c Lijnk:ax+by=c

•by=-ax+c

•y=(-a/b)x+c/b

•rc_{k}=-a/b

Lijn l:bx-ay=d

•-ay=-bx+d

•y=(b/a)x-d/a

•rc_{L}=b/a

Vermenigvuldigen van de richtingscoëfficiënten: rc_{k}\cdot rc_{l}=\left(-\frac{a}{b}\right)\cdot(\frac{b}{a})=-\frac{ab}{ab}=-1. Hiermee is aangetoond dat deze lijnen loodrecht op elkaar staan.

Hoe bereken je de afstand tussen twee punten?

De afstand tussen twee punten bereken je met de stelling van Pythagoras. Deze afstand is de lengte van het lijnstuk dat de twee punten verbindt.

Formule: Afstand AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}

Voorbeeldberekening van de afstand tussen twee punten Gegeven zijn de punten A(2,3) en B(6,5). Bereken de afstand d tussen A en B, d\left(A,B\right)

•x_A = 2, y_A = 3

•x_B = 6, y_B = 5

•AfstandAB=\sqrt{(6-2)^2+(5-3)^2}

•AfstandAB=\sqrt{(4)^{2}+(2)^2}

•AfstandAB=\sqrt{16+4}

•AfstandAB=\sqrt{20} De afstand tussen A en B is \sqrt{20}.

Afbeelding

Hoe bereken je de afstand van een punt tot een lijn?

De afstand van een punt tot een lijn is de kortste afstand tussen dat punt en de lijn. Dit wordt genoteerd als volgt: d\left(P,l\right). Dit is altijd de loodrechte afstand, gemeten langs de loodlijn van het punt naar de lijn. Het snijpunt van deze loodlijn met de oorspronkelijke lijn wordt de loodrechte projectie van het punt op de lijn genoemd.

Volg dit stappenplan om de afstand van een punt P tot een lijn l te berekenen:

1.Stel de loodlijn k op. Dit is de lijn die loodrecht op lijn l staat en door punt P gaat.

2.Bereken het snijpunt van lijn k en lijn l. Dit snijpunt is de loodrechte projectie (P') van punt P op lijn l. Gebruik hiervoor een stelsel van vergelijkingen.

3.Bereken de afstand tussen punt P en het snijpunt P' met de stelling van Pythagoras. Dit is de afstand van punt P tot lijn l.

Voorbeeldberekening van de afstand van een punt tot een lijn Bereken exact de afstand van punt A(1,11) tot lijnk:2x+8y=5.

Stap 1: Stel de loodlijn l op De loodlijn l staat loodrecht op lijn k (2x + 8y = 5) en gaat door punt A(1,11).

1.Voor lijnen in de vorm ax+by=c die loodrecht op elkaar staan, geldt dat de loodlijn de vorm bx-ay=d heeft.

2.De loodlijn l heeft de vorm 8x-2y=c.

3.Vul punt A(1,11) in om c te vinden: 8(1)-2(11)=c 8-22=c c=-14

4.De vergelijking van de loodlijn l is 8x - 2y = -14.

Stap 2: Bereken het snijpunt B (de loodrechte projectie) van k en l Gebruik een stelsel van vergelijkingen:

1.k:2x+8y=5

2.l:8x-2y=-14

Om x te elimineren, vermenigvuldig de eerste vergelijking met 4:

1.(2x + 8y = 5) · 4 → 8x + 32y = 20

2.8x - 2y = -14

Trek de tweede vergelijking van de eerste af: \left(8x+32y\right)-(8x-2y)=20-\left(-14\right) 34y = 34 y = 1

Vul y = 1 in in de eerste vergelijking (2x + 8y = 5): 2x + 8(1) = 5 2x + 8 = 5 2x = -3 x = -1,5

Het snijpunt B is \left(-1,5;1\right).

Stap 3: Bereken de afstand van A tot B Punt A(1,11) en punt B(-1,5, 1).

1.Afstand AB=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^2}

2.Afstand AB=\sqrt{(1-(-1,5))^{2}+(11-1)^2}

3.Afstand AB=\sqrt{(2,5)^{2}+(10)^2}

4.Afstand AB=\sqrt{6,25+100}

5.Afstand AB=\sqrt{106,25}

Schrijf 106,25 als een breuk: 106\frac{1}{4}=\frac{425}{4}. Afstand AB=\sqrt{\frac{425}{4}}=\frac{\sqrt{425}}{\sqrt4}=\frac{\sqrt{425}}{2}

Ontbind 425 in factoren om de wortel te vereenvoudigen: 425 = 25 · 17. \sqrt{425}=\sqrt{25\cdot7}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{17}=5\sqrt{17}.

Afstand AB=\frac{5\sqrt{17}}{2}=2,5\sqrt{17}. De exacte afstand van punt Atot lijn k is 2,5\sqrt{17}.

Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.