Leerdoelen
•Je kunt een kwadratische vergelijking oplossen met behulp van kwadraatafsplitsen.
Wat zijn kwadratische vergelijkingen en hoe los je ze op?
Een kwadratische vergelijking is een vergelijking waarbij de hoogste macht van de onbekende (meestal x) twee is. Kwadratische vergelijkingen hebben vaak de vorm ax^2+bx+c=0. Deze vergelijkingen kunnen op verschillende manieren worden opgelost.
Welke methoden om een kwadratische vergelijking op te lossen zijn er?
Er zijn drie methoden om een kwadratische vergelijking op te lossen: de som-productmethode, de abc-formule en kwadraatafsplitsen.
•Som-productmethode: Deze methode is geschikt voor vergelijkingen van het type x^2+bx+c=0. Je zoekt twee getallen die opgeteld b geven (de som) en vermenigvuldigd c geven (het product).
•ABC-formule: Deze formule is universeel toepasbaar voor elke kwadratische vergelijking in de vorm ax^2{}+bx+c=0. De formule luidt x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}, waarbij D de discriminant is.
•Kwadraatafsplitsen: Dit is een methode waarbij een deel van de vergelijking, x^2 + bx, wordt herschreven als (x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2.
Hoe werkt de som-productmethode?
Voor de vergelijking x^2 - 6x + 8 = 0 zoek je twee getallen die opgeteld -6 zijn en vermenigvuldigd 8.
Je zoekt eerst naar combinaties die vermenigvuldigd 8 geven, omdat hiervan minder mogelijkheden zijn.
De getallen -2 en -4 voldoen hieraan:
•-2 + (-4) = -6 (som)
•-2\cdot(-4)=8 (product)
De vergelijking wordt dan (x - 2)(x - 4) = 0. Een product is nul als één van de factoren nul is.
•x - 2 = 0 geeft x = 2
•x - 4 = 0 geeft x = 4
De oplossingen zijn x = 2 en x = 4.
Hoe werkt de ABC-formule?
Voor de vergelijking x^2 - 6x + 8 = 0 zijn a = 1,b = -6 en c = 8.
1.Bereken de discriminant (D): Dit is b^2 - 4ac.
D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8
D = 36 - 32
D = 4
2.Pas de ABC-formule toe: x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
x=\frac{-(-6)\pm\sqrt4)}{2\cdot1}
x=\frac{(6\pm2)}{2}
Dit geeft twee oplossingen:
•x_1=\frac{(6+2)}{2}=\frac82=4
•x_2=\frac{(6-2)}{2}=\frac42=2
De oplossingen zijn x = 4 en x = 2.
Hoe pas je kwadraatafsplitsen toe?
Kwadraat afsplitsen is een methode om een kwadratische vergelijking op te lossen door een deel van de vergelijking te herschrijven naar een kwadraat.
Hoe splits je kwadraten af bij x^2 - 6x + 8 = 0?
1.Deel de coëfficiënt van x (hier -6) door 2, dit geeft -3. Schrijf (x - 3)^2.
2.Werk (x - 3)^2 uit: (x - 3)(x - 3) = x^2 - 3x - 3x + 9 = x^2 - 6x + 9.
3.Vergelijk x^2 - 6x met de uitwerking. Het verschil is +9. Deze +9 is te veel en moet van de uitdrukking afgetrokken worden.
x^2 - 6x wordt (x - 3)^2 - 9.
4.Vervang dit in de originele vergelijking:
(x - 3)^2 - 9 + 8 = 0
5.Vereenvoudig de constante termen:
(x - 3)^2 - 1 = 0
6.Breng de constante term naar de rechterkant:
(x - 3)^2 = 1
7.Neem de wortel van beide zijden. Denk aan de positieve en negatieve wortel:
x-3=\sqrt1 of x-3=-\sqrt1
x - 3 = 1 of x - 3 = -1
8.Los op voor x:
x = 1 + 3 = 4 of x = -1 + 3 = 2
De oplossingen zijn x = 4 en x = 2.
Hoe splits je kwadraten af bij een vergelijking met een factor voor x²?
Bij de vergelijking 2x^2 - 8x - 40 = 0 moet je eerst de factor voor x^2 weghalen.
1.Deel de hele vergelijking door de factor van x^2 (in dit geval 2):
x^2 - 4x - 20 = 0
2.Splits het kwadraat af voor x^2 - 4x. Deel de coëfficiënt van x (hier -4) door 2, dit geeft -2.
x^2 - 4x wordt (x - 2)^2 - (-2)^2
x^2 - 4x wordt (x - 2)^2 - 4
3.Vervang dit in de vergelijking:
(x - 2)^2 - 4 - 20 = 0
4.Vereenvoudig:
(x - 2)^2 - 24 = 0
5.Breng de constante term naar de rechterkant:
(x - 2)^2 = 24
6.Neem de wortel van beide zijden:
x-2=\sqrt{24} of x-2=-\sqrt{24}
7.Vereenvoudig de wortel van 24: \sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=\sqrt4*\sqrt6=2\sqrt6.
x-2=2\sqrt6 of x-2=-2\sqrt6
8.Los op voor x:
x=2+2\sqrt6 ofx=2-2\sqrt6
[AFBEELDING: Vereenvoudiging van wortel 24]
Alt-tekst: Een stap-voor-stap uitleg van het vereenvoudigen van sqrt(24) naar 2sqrt(6) door 24 te schrijven als 4 * 6 en vervolgens sqrt(4) te berekenen.
Wat als er geen oplossingen zijn?
Soms heeft een kwadratische vergelijking geen reële oplossingen.
Voorbeeld: \frac12x^2-5x+13=0
1.Vermenigvuldig de hele vergelijking met 2 om de breuk weg te werken:
x^2 - 10x + 26 = 0
2.Splits het kwadraat af voor x^2 - 10x. Deel de coëfficiënt van x (hier -10) door 2, dit geeft -5.
x^2 - 10x wordt (x - 5)^2 - (-5)^2
x^2 - 10x wordt (x - 5)^2 - 25
3.Vervang dit in de vergelijking:
(x - 5)^2 - 25 + 26 = 0
4.Vereenvoudig:
(x - 5)^2 + 1 = 0
5.Breng de constante term naar de rechterkant:
(x - 5)^2 = -1
6.Omdat een kwadraat nooit negatief kan zijn, is er geen reële oplossing voor x.
Dit betekent dat de bijbehorende parabool (de grafiek van een kwadratische functie) de x-as niet snijdt.
[GRAFIEK: Dalparabool die de x-as niet snijdt]
Alt-tekst: Een dalparabool getekend in een coördinatenstelsel, die volledig boven de x-as ligt, wat betekent dat er geen punten zijn waar y=0.
Hoe reken je met breuken bij kwadraatafsplitsen?
Bij de vergelijking 3x^2 - 5x - 2 = 0 kan het voorkomen dat je met breuken moet werken.
1.Deel de hele vergelijking door 3:
x^2-\frac53x-\frac23=0
2.Splits het kwadraat af voor x^2-\frac53x. Deel de coëfficiënt van x (hier -\frac53) door 2, dit geeft -\frac56.
x^2-\frac53x wordt (x-\frac56)^2-(-\frac56)^2
x^2-\frac53x wordt (x-\frac56)^2-\frac{25}{36}
3.Vervang dit in de vergelijking:
(x-\frac56)^2-\frac{25}{36}-\frac23=0
4.Maak de noemers van de breuken gelijk om ze op te tellen: \frac23=\frac{24}{36}
(x-\frac56)^2-\frac{25}{36}-\frac{24}{36}=0
(x-\frac56)^2-\frac{49}{36}=0
5.Breng de constante term naar de rechterkant:
(x-\frac56)^2=\frac{49}{36}
6.Neem de wortel van beide zijden:
x-\frac56=\sqrt{\frac{49}{36}} of x-\frac56=-\sqrt{\frac{49}{36}}
x-\frac56=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}} of x-\frac56=-\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{36}}
x-\frac56=\frac76 of x-\frac56=-\frac76
7.Los op voor x:
x=\frac76+\frac56=\frac{12}{6}=2
x=-\frac76+\frac56=-\frac26=-\frac13
De oplossingen zijn x = 2 en x=-\frac13.
