Hogeregraadsvergelijkingen en ontbinden in factoren

Leerdoelen

•Je weet wat hogeregraadsvergelijkingen zijn

•je kunt hogeregraadsvergelijkingen exact oplossen

Wat zijn hogeregraadsvergelijkingen?

Een hogeregraadsvergelijking is een vergelijking waarbij de hoogste macht van de onbekende variabele groter is dan twee. In tegenstelling tot kwadratische vergelijkingen, die we vaak oplossen met de som-product-methode of de ABC-formule, vereisen hogeregraadsvergelijkingen soms andere technieken.

Voorbeeld 1: Derdegraadsvergelijking

Laten we beginnen met een voorbeeld:

Stap 1: Ontbinden in factoren

Bij deze vergelijking valt op dat elke term een x bevat. Dit betekent dat we een x buiten haakjes kunnen halen:

Stap 2: Oplossen van de ontbonden vergelijking

Nu hebben we een product van factoren dat gelijk is aan nul. Dit betekent dat een van de factoren nul moet zijn:

De tweede vergelijking is een kwadratische vergelijking die we kunnen oplossen met de som-product-methode:

Hieruit volgen de oplossingen:

Voorbeeld 2: Vierdegraadsvergelijking

Een andere interessante vergelijking is:

Stap 1: Substitutie

Omdat de laatste term geen x bevat, kunnen we geen x buiten haakjes halen. We merken echter op dat de exponenten van de termen een verhouding van 2:1 hebben. Dit stelt ons in staat om substitutie te gebruiken:

Laat. Dan wordt de vergelijking:

Stap 2: Oplossen van de kwadratische vergelijking

We lossen deze kwadratische vergelijking op met de som-product-methode:

Dit geeft:

Omdat, vervangen we terug:

geeftof

heeft geen reële oplossingen

Niet-oplosbare vergelijkingen

Sommige vergelijkingen lijken op de bovenstaande voorbeelden, maar zijn niet oplosbaar met dezelfde methoden. Bijvoorbeeld:

In dit geval kunnen we geen x buiten haakjes halen en de exponenten zijn niet in een verhouding van 2:1, waardoor substitutie niet mogelijk is.

Complexere voorbeelden

Een complexere vergelijking is:

Stap 1: Substitutie

Hier kunnen westellen, omdat de exponenten een verhouding van 2:1 hebben:

Stap 2: Oplossen

Oplossen met de som-product-methode geeft:

Terugvervangen geeft:

geeft

geeft de derde machtswortel van -4

Oefeningen

Oefening 1

Los exact op:

Oplossing

Breng alle termen naar één kant:

Gebruik substitutie:

Los de kwadratische vergelijking op:en kom uit opx=\sqrt8\vee x=-\sqrt8x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=-x=\sqrt8\vee x=x=\sqrt8\vee xx=\sqrt8\veex=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8\vx=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=\sqrt8x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=\sqrt{}x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x=x

Oefening 2

Los algebraïsch op:

Oplossing

Breng alle termen naar één kant:

Haalbuiten haakjes:

Los de kwadratische vergelijking op:en kom uit opx=0\vee x=9\vee x=4x=0\vee x=9\vee x=x=0\vee x=9\vee xx=0\vee x=9\veex=0\vee x=9x=0\vee x=9x=0\vee x=9x=0\vee x=9x=0\vee x=9x=0\vee x=x=0\vee x=8x=0\vee x=x=0\vee xx=0\veex=0x=0x=0x=0x=0x=x