Leerdoelen
•Je kunt bij een gegeven grafiek de bijbehorende hellinggrafiek schetsen.
•Je kunt bij een gegeven hellinggrafiek een mogelijke oorspronkelijke grafiek schetsen.
Hoe schets je een hellinggrafiek bij een gegeven functie?
Het schetsen van een hellinggrafiek (ook wel afgeleide grafiek genoemd) betekent het visualiseren van de helling van de oorspronkelijke functie op elk punt van de horizontale as. Om dit te doen, kijk je naar de vorm en kenmerken van de oorspronkelijke grafiek.
Wat zijn de kenmerken van de assen bij een hellinggrafiek?
Bij het schetsen van een hellinggrafiek blijft de horizontale as de x-as. De verticale as verandert van y naar helling. Er staan vaak geen getallen bij de verticale as van de hellinggrafiek, omdat de exacte steilheid niet altijd precies te bepalen is.
Wat is de helling bij een top?
Bij een top (een minimum of maximum) van de oorspronkelijke functie is de helling nul. Een raaklijn aan de grafiek bij een top is horizontaal. De richtingscoëfficiënt van een horizontale lijn is nul. In de hellinggrafiek teken je op de x-as een punt op de x-coördinaat van de top.
Wanneer is de helling positief of negatief?
•Als de oorspronkelijke grafiek stijgend is (van links naar rechts), dan is de helling groter dan nul. De hellinggrafiek ligt dan boven de x-as.
•Als de oorspronkelijke grafiek dalend is (van links naar rechts), dan is de helling kleiner dan nul. De hellinggrafiek ligt dan onder de x-as.
Wat gebeurt er in een buigpunt?
Een buigpunt is een punt in een grafiek waar de kromming van richting verandert.
•Als de grafiek van toenemend stijgend naar afnemend stijgend overgaat, is de helling in dat buigpunt maximaal. De hellinggrafiek heeft dan een maximum.
•Als de grafiek van toenemend dalend naar afnemend dalend overgaat, is de helling in dat buigpunt minimaal (het meest negatief). De hellinggrafiek heeft dan een minimum.
Voorbeeld 1: Schets de hellinggrafiek van functief
Gegeven is een grafiek van een functie
De stappen om de hellinggrafiek te schetsen zijn:
1.Bepaal de nullen: de functie
2.Bepaal de helling in intervallen:
•Links van het minimum daalt functie
•Tussen het minimum en maximum stijgt functie
•Rechts van het maximum daalt functie
3.Bepaal de buigpunten: tussen het minimum en maximum gaat functie
4.Schets de grafiek: gebruik de gevonden punten en intervallen om de hellinggrafiek te schetsen. De exacte hoogte van minima of maxima in de hellinggrafiek is niet te bepalen zonder schaalverdeling op de helling-as.
Voorbeeld 2: Schets de hellinggrafiek van functieg
Functie
De stappen om de hellinggrafiek te schetsen zijn:
1.Bepaal de nullen: functie
2.Bepaal de helling in intervallen:
•Links van het horizontale buigpunt daalt functie
•Tussen het horizontale buigpunt en het minimum daalt functie
•Rechts van het minimum stijgt functie
3.Bepaal de buigpunten: functie
4.Schets de grafiek: gebruik de gevonden punten en intervallen. De hellinggrafiek zal van links onder de x-as komen, door de x-as gaan bij het horizontale buigpunt, dan verder onder de x-as een minimum bereiken, door de x-as gaan bij het minimum van
Hoe schets je een oorspronkelijke grafiek bij een gegeven hellinggrafiek?
Je kunt ook het omgekeerde doen: een mogelijke oorspronkelijke grafiek schetsen op basis van een gegeven hellinggrafiek. Hierbij pas je de regels omgekeerd toe. Omdat er geen getallen op de verticale as van de oorspronkelijke grafiek staan, kun je de grafiek op elke gewenste hoogte tekenen.
Welke punten in de hellinggrafiek geven toppen in de oorspronkelijke grafiek aan?
Als de hellinggrafiek de x-as snijdt, is de helling nul. Dit betekent dat de oorspronkelijke grafiek op die x-waarde een top heeft (een minimum of een maximum).
Wanneer stijgt of daalt de oorspronkelijke grafiek?
•Als de hellinggrafiek boven de x-as ligt (positieve helling), dan is de oorspronkelijke grafiek stijgend.
•Als de hellinggrafiek onder de x-as ligt (negatieve helling), dan is de oorspronkelijke grafiek dalend.
Door te kijken hoe de hellinggrafiek de x-as kruist, kun je bepalen of een top een minimum of maximum is:
•Van positief naar negatief (hellinggrafiek kruist x-as dalend): de oorspronkelijke grafiek gaat van stijgend naar dalend, dus het is een maximum.
•Van negatief naar positief (hellinggrafiek kruist x-as stijgend): de oorspronkelijke grafiek gaat van dalend naar stijgend, dus het is een minimum.
Wat geven toppen in de hellinggrafiek aan?
De toppen (minima of maxima) van de hellinggrafiek geven de buigpunten van de oorspronkelijke grafiek aan.
•Een maximum in de hellinggrafiek betekent dat de oorspronkelijke grafiek overgaat van toenemend stijgend naar afnemend stijgend.
•Een minimum in de hellinggrafiek betekent dat de oorspronkelijke grafiek overgaat van toenemend dalend naar afnemend dalend.
Voorbeeld 3: Schets een mogelijke oorspronkelijke grafiek bij een gegeven hellinggrafiek
Gegeven is een hellinggrafiek met drie snijpunten met de x-as en twee toppen (een maximum en een minimum).
De stappen om een mogelijke oorspronkelijke grafiek te schetsen zijn:
1.Bepaal de toppen: de hellinggrafiek snijdt de x-as op drie punten. Op deze x-waarden heeft de oorspronkelijke grafiek toppen.
•Bij het eerste snijpunt gaat de hellinggrafiek van positief naar negatief (dalend). De oorspronkelijke grafiek heeft hier een maximum.
•Bij het tweede snijpunt gaat de hellinggrafiek van negatief naar positief (stijgend). De oorspronkelijke grafiek heeft hier een minimum.
•Bij het derde snijpunt gaat de hellinggrafiek van positief naar negatief (dalend). De oorspronkelijke grafiek heeft hier een maximum.
2.Bepaal de stijging en daling:
•Links van het eerste snijpunt ligt de hellinggrafiek boven de x-as, dus de oorspronkelijke grafiek stijgt.
•Tussen het eerste en tweede snijpunt ligt de hellinggrafiek onder de x-as, dus de oorspronkelijke grafiek daalt.
•Tussen het tweede en derde snijpunt ligt de hellinggrafiek boven de x-as, dus de oorspronkelijke grafiek stijgt.
•Rechts van het derde snijpunt ligt de hellinggrafiek onder de x-as, dus de oorspronkelijke grafiek daalt.
3.Bepaal de buigpunten: de hellinggrafiek heeft een maximum en een minimum. Op deze x-waarden heeft de oorspronkelijke grafiek buigpunten.
•Het maximum van de hellinggrafiek geeft een buigpunt aan waar de oorspronkelijke grafiek van toenemend stijgend naar afnemend stijgend gaat.
•Het minimum van de hellinggrafiek geeft een buigpunt aan waar de oorspronkelijke grafiek van toenemend dalend naar afnemend dalend gaat.
4.Schets de grafiek: gebruik alle gevonden kenmerken om een vloeiende, mogelijke oorspronkelijke grafiek te schetsen. De exacte hoogte van de toppen en buigpunten kun je zelf kiezen, zolang de volgorde en het karakter (min/max, stijgend/dalend) correct zijn.
