Exponentiële groei
Stel dat we beginnen met een hoeveelheid van 30 die exponentieel groeit met een groeifactor van 2 per dag.
Tabel van dagelijkse groei
Hier is hoe de groei eruitziet over verschillende dagen:
dag | groei |
|---|---|
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 |
Groei in afwijkende tijdseenheden
•Per 2 dagen: Op daghad je120{,}watkeer de hoeveelheid van dag0\left(30\right)0\left(30\right)0\left(3\right)0\left(\right)0is. Dit komt van 2^2=4.
•Per 3 dagen: Op daghad je240{,}watkeeris. Dit komt van2^3=8.
De algemene regel is dat de groeifactor per\left(n\right)n)dagen gelijk is aan\left(2^{n}\right)\left(2^{n}\right)in deze situatie.
Groeifactor per week
Voor een week, diedagen heeft, berekenen we:
Na één week is de hoeveelheid:
Groeifactor per uur
Een uur is\frac{1}{24}\frac{1}{24}2\frac{1}{24}24\frac1224\frac{1}{\placeholder{}}241241/241/24s1/24stvan een dag. Om de groeifactor per uur te berekenen, gebruiken we:
2^{\frac{1}{24}}\approx1,0292^{\frac12}\approx1,0292^{\frac{1}{\placeholder{}}}\approx1,0292^1\approx1,0292^{1/}\approx1,0292^{1/2}\approx1,029
We ronden groeifactoren af op drie decimalen, tenzij anders vermeld.
Omzetten van groeipercentages
Opdracht 1a: Toename per dag
Als een hoeveelheid per uur met3,5\%toeneemt, wat is dan de toename per dag?
De groeifactor per uur is1,035\left(100\%+3{,}5\%\right).1,035\left(100\%+3{,}5\%\right)1,035\left(100\%+3{,}5\%\right)1,035\left(100\%+3{,}5\right)1,035\left(100\%+3{,}\right)1,035\left(100\%+3\right)1,035\left(100\%+\right)1,035\left(100\%\right)1,035\left(100\right)1,035\left(10\right)1,035\left(1\right)1,035\left(\right)
Voor de groeifactor per dag:
Om de toename in procenten te vinden:
(2,28333-1)\times100\%\approx128,3\%(2,28333-1)\times100\%\approx128,3
De toename per dag is dus128,3\%. Het is belangrijk om te begrijpen dat3,5\%per uur niet simpelweg metkan worden vermenigvuldigd om de dagelijkse toename te berekenen. Dit zou niet correct zijn; je moet altijd de groeifactoren gebruiken.
Opdracht 1b: Toename per kwartier
Laten we nu bekijken hoeveel procent de toename per kwartier is als de hoeveelheid per uur met3,5\%toeneemt.
De groeifactor per uur is
Een kwartier is\frac14\frac144\frac{1}{\placeholder{}}414van een uur, dus de groeifactor voor een kwartier is:
1,035^{\frac14}\approx1,00861,035^{\frac{1}{\placeholder{}}}\approx1,00861,035^1\approx1,00861,035^{1/}\approx1,0086
Om het groeipercentage te berekenen:
(1,0086-1)\times100\%\approx0,9\%(1,0086-1)\times100\%\approx0,9
Het is een afspraak om procenten af te ronden op één decimaal.
Afname van groeipercentages
Opdracht 2a: Afname per uur
Stel dat een hoeveelheid per dag met13\%afneemt. Wat is de groeifactor per uur?
De afname per dag betekent dat de nieuwe hoeveelheid87\%van de oorspronkelijke waarde is. Hierdoor berekenen we de groeifactor per dag als:
Groeifactor=100\%-13\%=87\%=100\%-13\%=87=100\%-13\%=8=100\%-13\%==100\%-13\%=100\%-13=100\%-1=100\%-=100\%=100=10=1=
Als we de groeifactor in decimale vorm uitdrukken:
Voor de groeifactor per uur, dat is nog steeds de groeifactor per dag tot de macht:
0,87^{\frac{1}{24}}\approx0,994210,87^{\frac12}\approx0,994210,87^{\frac{1}{\placeholder{}}}\approx0,994210,87^1\approx0,994210,87^{1/}\approx0,994210,87^{1/2}\approx0,99421
Zorg ervoor dat je de groeifactor per uur afrondt op drie decimalen:
Opdracht 2b: Afname per week
Nu willen we weten met hoeveel procent de hoeveelheid per week afneemt.
De groeifactor per week is gebaseerd op de groeifactor per dag, die is. Voor een week, diedagen heeft, reken je als volgt:
Om het percentage afname te berekenen, trek jevan de groeifactor af en vermenigvuldig je met 100\%:100\%
0,37725-1=-0,62275\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275a\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275af\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275a\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275f\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275ff\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275fff\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275ffff\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275fff\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275ff\quad\text{(Afname)}0,37725-1=-0,62275f\quad\text{(Afname)}
Vermenigvuldig dit met 100\%:100\%
-0,62275\times100\%\approx-62,3\%-0,62275\times100\%\approx-62,3-0,62275\times100\%\%\approx-62,3-0,62275\times100\%\approx-62,3
Het min-teken voor deze waarde geeft aan dat het om een afname gaat. Dus we zeggen dat de afname per week62,3\%is. Het min-teken vervalt en we vervangen het door het woord “afname”.
