Leerdoelen
•Je kunt exponentiële formules omwerken.
•Je kunt machtsformules omwerken.
De belangrijke rekenregels voor het omwerken van formules
Voor het omwerken van exponentiële en machtsformules zijn specifieke rekenregels voor logaritmen en machten cruciaal. Een logaritme (\log) is een wiskundige bewerking die de exponent van een grondtal bepaalt die nodig is om een bepaald getal te krijgen. Machten zijn een manier om herhaalde vermenigvuldiging weer te geven.
Rekenregels van logaritmen
•^{g}\log\left(a\right)+^{g}\log\left(b\right)=^{g}\log\left(ab\right)
•^{g}\log\left(a\right)-^{g}\log\left(b\right)=^{g}\log\left(\frac{a}{b}\right)
•p\cdot^{g}\log\left(a\right)=^{g}\log\left(a^{p}\right)
•^{g}\log\left(a\right)=\frac{^{p}\log\left(a\right)}{^{p}\log\left(g\right)}
Rekenregels van machten
•a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}
•\frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}
•\left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq}
•a^0=1
•\frac{1}{a^{p}}=a^{-p}
Hoe werk je exponentiële formules om naar de vorm \log\left(N\right)=at+b?
Het omwerken van een exponentiële formule naar de vorm \log\left(N\right)=at+b vereist het toepassen van logaritmen aan beide zijden van de formule en vervolgens het gebruik van de rekenregels om de uitdrukking te vereenvoudigen. Hierbij is N de afhankelijke variabele, t de onafhankelijke variabele en a en b constanten.
Voorbeeld 1a
Gegeven de formule N=2400\cdot1{,}36^{t}, moet deze worden omgezet naar $ \log\left(N\right)=at+b $.
1.Neem aan beide zijden de logaritme (standaard de 10-log,^{10}\log\left(x\right), als er geen grondtal is aangegeven):
\log\left(N\right)=\log\left(2400\cdot1{,}36^{t}\right)
2.Splits de rechterzijde met behulp van de regel ^{g}\log\left(a\right)+^{g}\log\left(b\right)=^{g}\log\left(ab\right):
\log\left(N\right)=\log(2400)+\log(1{,}36^{t})
3.Haal de exponent t voor de logaritme met behulp van de regel p\cdot^{g}\log\left(a\right)=^{g}\log\left(a^{p}\right). De factor t komt voor de logaritme:
\log\left(N\right)=\log(2400)+t\cdot\log(1{,}36)
4.Bereken de numerieke waarden. Rond af zoals gevraagd in de opgave:
\log(2400)\thickapprox3{,}38 (afgerond op twee decimalen)
\log(1{,}36)\thickapprox0{,}1335 (afgerond op vier decimalen)
5.Vul de waarden in en herschik de formule naar de gewenste vorm:
\log\left(N\right)=3{,}38+0{,}1335t
\log\left(N\right)=0{,}1335t+3{,}38
Hierbij is a=0{,}1335 en b=3{,}38.
Voorbeeld 1b
Gegeven de formule N=13000\cdot0{,}56^{\left(t-4\right)}, moet deze worden omgezet naar \log\left(N\right)=at+b .
1.Neem aan beide zijden de logaritme:
\log\left(N\right)=\log\left(13000\cdot0{,}56^{\left(t-4\right)}\right)
2.Splits de rechterzijde:
\log\left(N\right)=\log(13000)+log\left(0{,}56^{t-4}\right)
3.Haal de exponent \left(t-4\right) voor de logaritme. Let op de haakjes, de hele term \left(t-4\right) is een factor:
\log\left(N)=\log\left(13000)+(t-4\right)\cdot\log\left(0{,}56\right)\right.
4.Bereken \log(13000) en behoud de volledige waarde voor nu (op de rekenmachine):
\log\left(N\right)\left.\thickapprox4{,}11394...+(t-4\right)\cdot\log(0{,}56)
5.Werk de haakjes uit door \left(t-4\right) te vermenigvuldigen met \log(0{,}56):
\log\left(N\right)\thickapprox4{,}11394...+t\cdot\log\left(0{,}56\right)-4\cdot\log(0{,}56)
6.Bereken t\cdot\log(0{,}56) en -4\cdot\log(0{,}56) en combineer constante termen. \log(0{,}56) wordt de waarde van A, afgerond op vier decimalen:
\log\left(N\right)\left.\thickapprox4{,}11394...+(-0{,}2518\right)t+1.0072...
7.Tel de constante termen bij elkaar op en rond B af op twee decimalen:
\log\left(N\right)=-0{,}2518t+5{,}12
Hierbij isa=-0{,}2518 en b=5{,}12.
Alternatieve uitwerking:
1.Herschrijf eerst de macht 0{,}56^{\left(t-4\right)} met de machtsregel a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}
N=13000\cdot0{,}56^{t}\cdot0{,}56^{-4}
2.Vermenigvuldig de constante factoren met elkaar:
N=(13000\cdot0{,}56^{-4})\cdot0{,}56^{t}
N\thickapprox132193{,}84...\cdot0{,}56^{t}
3.Neem nu de logaritme aan beide zijden en splits op:
\log\left(N\right)=\log\left(132193{,}84...\right)+\log(0{,}56^{t})
\log\left(N\right)=\log\left(132193{,}84...\right)+t\cdot\log\left(0{,}56\right)
4.Bereken de waarden en rond af:
\log(132193.84...)\thickapprox5{,}12 (b, afgerond op twee decimalen)
\log(0{,}56)\thickapprox-0{,}2518 (a, afgerond op vier decimalen)
\log\left(N\right)\left.=5{,}12+(-0{,}2518\right)t
\log\left(N\right)=-0{,}2518t+5{,}12
Voorbeeld 1c
Gegeven de formule \log\left(N\right)=5200\cdot1{,}65^{2t-3}, moet deze worden omgezet naar \log\left(N\right)=at+b.
1.Neem aan beide zijden de logaritme:
\log\left(N\right)=\log\left(5200\cdot1{,}65^{2t-3}\right)
2.Splits de rechterzijde:
\log\left(N\right)=\log\left(5200\right)+\log(1{,}65^{2t-3})
3.Haal de exponent (2t-3) voor de logaritme:
\log\left(N)=\log(5200)\right.+(2t-3)\cdot\log(1{,}65)
4.Bereken \log(5200) en behoud de volledige waarde:
\log\left(N\right)\left.\thickapprox3{,}71600...+(2t-3\right)\cdot\log(1{,}65)
5.Werk de haakjes uit:
\log\left(N)\thickapprox3{,}71600...+2t\cdot\log\left(1{,}65\right)-3\cdot\log\left(1{,}65\right)\right.
6.Bereken de numerieke waarden en rond af waar nodig:
2\cdot\log(1{,}65)\thickapprox2\cdot0{,}21748...\thickapprox0{,}4350 (a, afgerond op vier decimalen)-3\cdot log(1{,}65)\thickapprox-3\cdot0{,}21748...\thickapprox-0{,}65244...
7.Combineer de constante termen en rond B af op twee decimalen:
\log\left(N\right)\thickapprox3{,}71600...-0{,}65244...+0{,}4350t
\log\left(N\right)=0{,}4350t+3{,}06
Hierbij is a=0{,}4350en b=3{,}06.
Alternatieve uitwerking:
1.Herschrijf eerst de macht 1{,}65^{(2t-3)} met machtsregels:
N=5200\cdot1.65^{(2t)}\cdot1{,}65^{\left(-3\right)}
N=5200\cdot(1{,}65^2)^{t}\cdot1{,}65^{\left(-3\right)}
N=(5200\cdot1{,}65^{\left(-3\right)})\cdot(1{,}65^2)^{t}
2.Bereken de constante factor en het nieuwe grondtal:
5200\cdot1{,}65^{\left(-3\right)}\thickapprox1155{,}97...
1{,}65^2=2{,}7225
N\thickapprox1155{,}97...\cdot2{,}7225^{t}
3.Neem nu de logaritme aan beide zijden:
\log\left(N)=\log\left(1155{,}97...\right)\right.+\log(2{,}7225^{t})
\log\left(N)=\log\left(1155{,}97...\right)\right.+t\cdot\log(2{,}7225)
4.Bereken de waarden en rond af:
\log(1155{,}97...)\thickapprox3{,}06 (b, afgerond op twee decimalen)
\log(2{,}7225)\thickapprox0{,}4350 (a, afgerond op vier decimalen)
\log\left(N\right)=0{,}4350t+3{,}06
Hoe werk je machtsformules om naar de vorm\log\left(y\right)=a+b\cdot\log\left(x\right)?
Voor het omwerken van een machtsformuley=cx^{n}naar de vorm\log\left(y\right)=a+b\cdot\log\left(x\right), neem je de logaritme van beide zijden en pas je de rekenregels toe. Hierbij is y de afhankelijke variabele, x de onafhankelijke variabele en a en b constanten.
Voorbeeld 2a
Gegeven de formuley=20x^{1{,}6}, moet deze worden omgezet naar \log\left(y\right)=a+b\cdot\log\left(x\right).
1.Neem aan beide zijden de logaritme:
\log\left(y\right)=\log\left(20x^{1{,}6}\right)
2.Splits de rechterzijde:
\log\left(y\right)=\log(20)+\log\left(x^{1{,}6})\right.
Belangrijk: De exponent 1,6 staat alleen bij x, niet bij 20. Splits daarom eerst en haal de exponent daarna pas naar voren.
3.Haal de exponent 1,6 voor de logaritme:
\log\left(y)=\log(20)+1{,}6\log\left(x\right)\right.
4.Bereken \log(20) en rond af op twee decimalen:
\log(20)\thickapprox1{,}30(dit wordt a)
5.Vul de waarden in:
\log\left(y\right)=1{,}30+1{,}6\cdot\log\left(x\right)
Hierbij is a=1{,}30 en b=1{,}6.
Voorbeeld 2b
Gegeven de formule y=78\cdot x^{-3{,}9}, moet deze worden omgezet naar \log\left(y\right)=a+b\cdot\log\left(x\right).
1.Neem aan beide zijden de logaritme:
\log\left(y)=\log\left(78\cdot x^{-3{,}9}\right)\right.
2.Splits de rechterzijde:
\log\left(y)=\log(78)+\log\left(x^{-3{,}9}\right)\right.
3.Haal de exponent -3,9 voor de logaritme:
\log\left(y\right)=\log(78)+(-3{,}9)\cdot\log(x)
\log\left(y\right)=\log(78)-3{,}9\cdot\log(x)
4.Bereken \log(78) en rond af op twee decimalen:
\log(78)\thickapprox1{,}89 (dit wordt a)
5.Vul de waarden in:
\log\left(y\right)=1{,}89-3{,}9\cdot\log\left(x\right)
Hierbij is a=1{,}89 en b=-3{,}9.
Voorbeeld 2c
Gegeven de formule y=\frac{320}{x^3\sqrt{x}}, moet deze worden omgezet naar \log\left(y\right)=a+b\cdot\log\left(x\right).
1.Herschrijf de formule eerst naar de vorm y=cx^{n}. Dit betekent dat de breuk moet worden vereenvoudigd en de noemer als een negatieve exponent moet worden geschreven.
\sqrt{x} is hetzelfde als x^{\frac12}of x^{0{,}5}.
Combineer de machten van x in de noemer: x^3\cdot x^{0{,}5}=x^{\left(3+0{,}5\right)}=x^{3{,}5} (met de regel a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}).
De formule wordt y=\frac{320}{x^{3{,}5}}
1.Haal de x uit de noemer door de exponent van teken te veranderen (met de regel \frac{1}{a^{p}}=a^{-p}):
y=320\cdot x^{-3{,}5}
2.Neem aan beide zijden de logaritme:
\log\left(y)=\log\left(320\cdot x^{-3{,}5}\right)\right.
3.Splits de rechterzijde:
\log\left(y\right)=\log(320)+\log\left(x^{-3{,}5}\right)
4.Haal de exponent -3,5 voor de logaritme:
\log\left(y\right)=\log(320)+(-3{,}5)\cdot\log(x)
\log\left(y\right)=\log(320)-3{,}5\cdot\log(x)
5.Bereken \log(320) en rond af op twee decimalen:
\log(320)\thickapprox2{,}51 (dit wordt a)
6.Vul de waarden in:
\log\left(y\right)=2{,}51-3{,}5\cdot\log\left(x\right)
Hierbij is a=2{,}51 en b=-3{,}5.
