De sinusregel

De sinusregel

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 09:17
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Oefenen (10)Oefen de bijbehorende opgaven
Begrippen (9)Leer de bijbehorende begrippen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt hoeken berekenen in een willekeurige driehoek met behulp van de sinusregel.

•Je kunt zijden berekenen in een willekeurige driehoek met behulp van de sinusregel.

•Je kunt de notatie van hoeken en zijden in een driehoek correct toepassen in de sinusregel.

•Je kunt het dubbelzinnige geval van de sinusregel herkennen en de juiste hoek bepalen.

De sinusregel

De sinusregel is een handige wiskundige formule die je kunt gebruiken om onbekende hoeken of zijden te berekenen in elke willekeurige driehoek. Dit betekent dat de driehoek niet per se een rechte hoek hoeft te hebben. Voor rechthoekige driehoeken kun je vaak de goniometrische regels zoals SOS CAS TOA (sinus, cosinus, tangens) gebruiken. De sinusregel komt juist goed van pas wanneer er geen rechte hoek in het spel is.

De formule van de sinusregel luidt: \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}

Algemene driehoek ABC met de hoeken A, B, C en de overstaande zijden a, b, c duidelijk aangegeven.
Algemene driehoek ABC met de hoeken A, B, C en de overstaande zijden a, b, c duidelijk aangegeven.

Binnen de sinusregel, en in de geometrie van driehoeken in het algemeen, is er een specifieke manier om hoeken en zijden aan te duiden:

•De hoofdlettersA,BenCstaan voor de hoeken van de driehoek.

•De kleine lettersa,bencstaan voor de zijden van de driehoek. Het is belangrijk te weten dat een kleine letter altijd de zijde aanduidt die tegenover de gelijknamige hoofdletter (hoek) ligt.

•ais de zijde tegenover\angle A.

•bis de zijde tegenover\angle B.

•cis de zijde tegenover\angle C.

De sinusregel toepassen

1.Maak een schets: Als er geen afbeelding van de driehoek is gegeven, teken dan zelf een schets en noteer alle bekende gegevens (zijden en hoeken). Dit helpt je om de overstaande zijden en hoeken correct te identificeren.

2.Noteer de sinusregel: Schrijf de volledige regel op:\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}.

3.Vul de bekende gegevens in: Vervang de letters door de waarden die je weet.

4.Selecteer het relevante deel: Omdat je meestal slechts één onbekende hebt, gebruik je maar twee delen van de formule, bijvoorbeeld\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}. Het derde deel gebruik je niet.

5.Los de vergelijking op: Gebruik kruiselings vermenigvuldigen om de onbekende zijde of de sinus van de onbekende hoek te vinden.

6.Bereken de hoek of zijde: Als je de sinus van een hoek hebt gevonden, gebruik dan de inverse sinusfunctie\left(\sin^{-1}\right)op je rekenmachine om de hoek te bepalen.

7.Rond af: Rond je antwoord af op het gevraagde aantal decimalen (vaak één decimaal). Rond niet tussentijds af.

Een hoek berekenen

Stel, gegeven is\triangle ABCmetAB = 5,AC = 7en\angle B=68\degree. Bereken\angle Cen rond af op één decimaal.

Schets van driehoek ABC met AB=5, AC=7 en hoek B=68 graden.
Schets van driehoek ABC met AB=5, AC=7 en hoek B=68 graden.

Oplossing:

1.Schets maken: Maak een schets van\triangle ABC.

2.Identificeer gegevens:

•ZijdeABis de overstaande zijde van\angle C, dusc = 5.

•ZijdeACis de overstaande zijde van\angle B, dusb = 7.

•\angle B=68\degree.

•\angle Cis onbekend.

•De gegevens voor zijdeaen\angle Azijn niet nodig voor deze berekening, dus dat deel van de formule gebruiken we niet.

3.Relevant deel van de sinusregel: We gebruiken\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)}.

4.Invullen: \frac{7}{\sin(68\degree)}=\frac{ 5}{ \sin(C)}

5.Kruiselings vermenigvuldigen: 7\cdot\sin(C)=5\cdot\sin(68\degree)

6.Oplossen voor\sin(C): \sin(C)=\frac{5\cdot\sin(68\degree)}{7} \sin(C)=0{,}662\ldots(gebruik op je rekenmachine het volledige antwoord)

7.\angle Cberekenen: C=\sin^{-1}(0{,}662\ldots) C=41{,}47\ldots\degree

8.Afronden: \angle C\thickapprox41{,}5\degree.

Een zijde berekenen

Stel, gegeven is \triangle ABCmetBC = 11,\angle A=65\degreeen\angle B = 72 \degree. Bereken zijdeACen rond af op één decimaal.

Schets van driehoek ABC met BC=11, hoek A=65 graden en hoek B=72 graden.
Schets van driehoek ABC met BC=11, hoek A=65 graden en hoek B=72 graden.

Oplossing:

1.Schets maken: Maak een schets van\triangle ABC.

2.Identificeer gegevens:

•Zijde BC is de overstaande zijde van\angle A, dusa = 11.

•\angle A = 65 \degree.

•\angle B = 72 \degree.

•ZijdeACis de overstaande zijde van\angle B, dusb = ACis onbekend.

•De gegevens voor zijdecen\angle Czijn niet relevant voor deze berekening, dus die laten we weg.

3.Relevant deel van de sinusregel: We gebruiken\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}.

4.Invullen: \frac{11}{\sin(65\degree)}=\frac{AC}{\sin(72\degree)}

5.Oplossen voorAC: AC=\frac{11\cdot\sin(72\degree)}{\sin(65\degree)} AC=11{,}54\ldots

6.Afronden: AC \approx 11{,}5.

Het dubbelzinnige geval

Soms krijg je bij het berekenen van een hoek met de sinusregel een antwoord van je rekenmachine dat niet lijkt te kloppen met de tekening van de driehoek. Dit komt doordat voor de sinus de volgende regel geldt:\sin⁡(x)=\sin⁡(180\degree−x). Je rekenmachine geeft altijd de kleinste (scherpe) hoek terug. Dit fenomeen wordt het dubbelzinnige geval genoemd. Het is cruciaal om dit te controleren, vooral als de tekening in de opgave een stompe hoek suggereert.

Een stompe hoek berekenen

Stel, gegeven is\triangle ABCmetBC = 5,AC = 13en\angle A = 21 \degree. Bereken\angle Ben rond af op één decimaal. Op de bijbehorende afbeelding is te zien dat\angle Been stompe hoek is.

Schets van driehoek ABC met BC=5, AC=13 en hoek A=21 graden, waarbij hoek B duidelijk stomp is (> 90 graden)
Schets van driehoek ABC met BC=5, AC=13 en hoek A=21 graden, waarbij hoek B duidelijk stomp is (> 90 graden)

Oplossing:

1.Identificeer gegevens:

•ZijdeBCisa = 5.

•ZijdeACisb = 13.

•\angle A = 21 \degree.

•\angle Bis onbekend.

2.Relevant deel van de sinusregel: We gebruiken\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}.

3.Invullen: \frac{5}{\sin(21\degree)}=\frac{13}{\sin(B)}

4.Kruiselings vermenigvuldigen: 5\cdot\sin(B)=13\cdot\sin(21\degree)

5.Oplossen voor\sin(B): \sin(B)=\frac{13\cdot\sin(21\degree)}{5} \sin(B)=0{,}931\ldots(gebruik op je rekenmachine het volledige antwoord)

6.\angle Bberekenen (rekenmachine): \angle B=\sin^{-1}(0{{,}931\ldots)} \angle B=68{,}71\ldots\degree

Controleren met de tekening: Je rekenmachine geeft68{,}71\ldots\degree, wat een scherpe hoek is. Echter, de gegeven tekening toont een stompe\angle B. Dit is het dubbelzinnige geval.

Een tweede schets die laat zien hoe er een alternatieve driehoek kan bestaan met dezelfde zijden BC en AC en dezelfde hoek A, maar met een scherpe hoek B. Dit kan door zijde AB te verlengen en punt C te verbinden, zodat BC nog steeds 5 is
Een tweede schets die laat zien hoe er een alternatieve driehoek kan bestaan met dezelfde zijden BC en AC en dezelfde hoek A, maar met een scherpe hoek B. Dit kan door zijde AB te verlengen en punt C te verbinden, zodat BC nog steeds 5 is

De correcte, stompe hoek bereken je door de uitkomst van de rekenmachine af te trekken van180\degree: \angle B=180-68{,}71\ldots \angle B\approx111{,}28\ldots Afronden: \angle B\thickapprox111{,}3\degree.

Soms wordt er in een vraag expliciet gevraagd naar "twee mogelijke opties voor hoek B". In zo'n geval geef je zowel de scherpe als de stompe hoek op.

Veelgestelde vragen
Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.