Wat is de kettingregel?
De kettingregel is een techniek die we gebruiken bij het differentiëren van samengestelde functies. Wanneer er een functie binnen een andere functie staat, spreken we van de binnenfunctie en de buitenfunctie. Door de kettingregel toe te passen, kunnen we eenvoudig de afgeleide van deze functies bepalen zonder de haakjes uit te werken. De ketting regel gaat als volgt:
f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)^{n}f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)f\left(x\right)=c\left(ax+\right)f\left(x\right)=c\left(ax\right)f\left(x\right)=c\left(a\right)f\left(x\right)=c\left(\right)f\left(x\right)=cf\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(\right)f geeft f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}\cdot af^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}\cdotf^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-1}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-1n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(a\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdotf^{\prime}\left(x\right)=c\cdot nf^{\prime}\left(x\right)=c\cdotf^{\prime}\left(x\right)=cf^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f
Hierin is \left(ax+b\right)^{n}\left(ax+b\right)\left(\right)ax+b\left(\right)ax+\left(\right)ax\left(\right)a\left(\right?ade binnenfunctie en \left(c\right)c)de buitenfunctie. Als we vermenigvuldigen met gebruiken we de afgeleide van de binnenfunctie.
Voorbeeld met gebroken exponent, Differentieer
Neem de functie over:
•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent van de binnenfunctie: \left(5\cdot\frac35=3\right)5\cdot\frac35=3)5\cdot\frac35=35\cdot\frac35=5\cdot\frac35=15\cdot\frac35=105\cdot\frac{3}{\placeholder{}}=105\cdot3=105\cdot=105\cdot2=1052=10.
•Neem de binnenfunctie over: \left(8x+7\right)\left(\right)8x+7\left(\right)8x+\left(\right)8x++\left(\right)8x+\left(\right)8x\left(\right)8\left(\right?33x3x-.
•Verminder de exponent met : van \frac35\frac{3}{\placeholder{}}3 naar-\frac25-\frac{2}{\placeholder{}}-2-1
•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van 8x+78x+8x8x833x3x- is 8.
De afgeleide van wordt dan: f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8==\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{}=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(\right.=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right.=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac25}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)^{\frac{2}{\placeholder{}}}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)^2}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\frac{\left(8x+7\right)^2}{}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\frac{\left(8x+7\right)^2}{5}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\frac{\left(8x+7\right)^2}{\placeholder{}}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)^2}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+7\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x+\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8x\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(8\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\left(\placeholder{}\right)}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=\frac{24}{\placeholder{}}f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=24f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=2f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left(x\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f(xf^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left((x\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left((\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left(\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=ff^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=f\left(\right)f^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=ff^{\prime}(x)=3\cdot(8x+7)^{-\frac{2}{5}}\cdot8=
Opdracht 1: Differentieer
Neem de functie over en schrijf in de vorm :
•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent van de binnenfunctie: ( 1\cdot\frac12=\frac121\cdot\frac12=\frac{1}{\placeholder{}}1\cdot\frac12=11\cdot\frac12=1\cdot\frac12=21\cdot\frac12=1\cdot\frac12=31\cdot\frac12=311\cdot\frac12=\frac{31}{}1\cdot\frac12=\frac{31}{2}1\cdot\frac12=\frac{31}{\placeholder{}}1\cdot\frac12=311\cdot\frac12=31\cdot\frac{1}{}=31\cdot\frac15=31\cdot\frac{}{5}=31\cdot\frac35=3\cdot\frac35=35\cdot\frac35=35\cdot\frac35=5\cdot\frac35=15\cdot\frac35=105\cdot\frac{3}{\placeholder{}}=105\cdot3=105\cdot=105\cdot2=1052=10).
•Neem de binnenfunctie over: \left(3x+2\right)\left(3x+\right)\left(3x\right)\left(3\right)\left(\right)\left(8\right)\left(8x\right)\left(8x+\right)\left(8x+7\right)\left(\right)8x+7\left(\right)8x+\left(\right)8x++\left(\right)8x+\left(\right)8x\left(\right)8\left(\right?33x3x-.
•Verminder de exponent met : van \frac12\frac{1}{\placeholder{}}13\frac{3}{}\frac35\frac{3}{\placeholder{}}3 naar-\frac12-\frac{1}{\placeholder{}}-1---2-\frac{2}{}-\frac25-\frac{2}{\placeholder{}}-2-1
•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van 3x+23x+3x+73+7+78+78x+78x+8x8x833x3x- is 38.
Dus je krijgt:
Alternatieve uitwerking
De afgeleide van () is: Wanneer je dit toepast op :
Beide aanpakken zijn valide; kies degene die jou het beste ligt.
Opdracht 2: Differentieer
Neem de functie over en schrijf in de vorm :
•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent van de binnenfunctie: ( -1\cdot\frac12=-\frac12-1\cdot\frac12=\frac121\cdot\frac12=\frac121\cdot\frac12=\frac{1}{\placeholder{}}1\cdot\frac12=11\cdot\frac12=1\cdot\frac12=21\cdot\frac12=1\cdot\frac12=31\cdot\frac12=311\cdot\frac12=\frac{31}{}1\cdot\frac12=\frac{31}{2}1\cdot\frac12=\frac{31}{\placeholder{}}1\cdot\frac12=311\cdot\frac12=31\cdot\frac{1}{}=31\cdot\frac15=31\cdot\frac{}{5}=31\cdot\frac35=3\cdot\frac35=35\cdot\frac35=35\cdot\frac35=5\cdot\frac35=15\cdot\frac35=105\cdot\frac{3}{\placeholder{}}=105\cdot3=105\cdot=105\cdot2=1052=10).
•Neem de binnenfunctie over: \left(5-4x\right)\left(5-4\right)\left(5-\right)\left(5\right)\left(\right)\left(3\right)\left(3x\right)\left(3x+\right)\left(3x+2\right)\left(3x+\right)\left(3x\right)\left(3\right)\left(\right)\left(8\right)\left(8x\right)\left(8x+\right)\left(8x+7\right)\left(\right)8x+7\left(\right)8x+\left(\right)8x++\left(\right)8x+\left(\right)8x\left(\right)8\left(\right?33x3x-.
•Verminder de exponent met : van \frac12\frac{1}{\placeholder{}}13\frac{3}{}\frac35\frac{3}{\placeholder{}}3 naar-\frac12-\frac{1}{\placeholder{}}-1---2-\frac{2}{}-\frac25-\frac{2}{\placeholder{}}-2-1
•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van 5-4x5-45-533x3x+3x+23x+3x+73+7+78+78x+78x+8x8x833x3x- is -4-38.
•dit geeft -
•En de afgeleide van 3x^53x3is 15x^415x15133x3.
Dus je krijgt:
