Aantonen van extreme waarden

Leerdoelen

•Je kunt met behulp van de afgeleide extreme waarden aantonen.

Aantonen van extreme waarden met de afgeleide

Voorbeeld 1: Functie f(x)

We beginnen met de functief(x)=x^5-2x^3+x-8.f(x)=x^5-2x^3+x-8f(x)=x^5-2x^3+x-8.f(x)=x^5-2x^3+x-8).Het doel is om aan te tonen dat de afgeleide, genoteerd alsf^{\prime}(x),(f^{\prime}(x),gelijk is aanvoorx=-1.x=-1x=-1.(x=-1.

Eerst berekenen we de afgeleide van elk component:

•De afgeleide vanis5x^4.5x^45x^4.(5x^4.

•De afgeleide vanis-6x^2.-6x^2-6x^2.-6x^2).

•De afgeleide vanis1.1

•De afgeleide van een constante, zoalsis0.0

Dus, de afgeleide functie is:f^{\prime}(x)=5x^4-6x^2+1.

Dan vullen wein de afgeleide in:

Reken dit uit:

•

•

•

Dus de helling isbijx=-1,(x=-1,wat betekent dat er een extreme waarde is. In de grafiek vanzien we dat dit een maximum is.

Voorbeeld 2: Functie g(x)

Nu bekijken we de functieg(x)=\frac{1}{7}x^7-1{,}5x^4-16x+12.g(x)=\frac{1}{7}x^7-1{,}5x^4-16x+12g(x)=\frac{1}{7}x^7-1{,}5x^4-16x+12.g(x)=\frac{1}{7}x^7-15x^4-16x+12.g(x)=\frac{1}{7}x^7-1.5x^4-16x+12.g(x)=\frac{1}{7}x^7-1.5x^4-16x+12).We willen aantonen dat er een extreme waarde is voorx=2.x=2x=2.(x=2.

Eerst berekenen we de afgeleide van elk component:

•De afgeleide vanisx^6.x^6x^6.(x^6.

•De afgeleide van-1{,}5x^4-15x^4is-6x^3.-6x^3-6x^3.(-6x^3.

•De afgeleide vanis-16.-16

•De afgeleide vanis0.0

Dus, de afgeleide functie is:g^{\prime}(x)=x^6-6x^3-16.

Dan vullen wein de afgeleide in:g^{\prime}(2)=2^6-6\cdot2^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16g^{\prime}(2)=2^6-62^3-16

Reken dit uit:

•

•6\cdot2^3=6\cdot8=486\cdot2^3=6\cdot=486\cdot2^3=6=486\cdot2^3==486\cdot2^3=4862^3=4862^3=4862^3=4862^3=4862^3=4862^3=48

•

Dus de helling isbijx=2,(x=2,wat betekent dat er een extreme waarde is. In de grafiek vanzien we dat dit een minimum is.