De kettingregel deel 1

Leerdoelen

•Je kunt de kettingregel toepassen bij het differentiëren.

Wat is de kettingregel?

De kettingregel is een techniek die we gebruiken bij het differentiëren van samengestelde functies. Wanneer er een functie binnen een andere functie staat, spreken we van de binnenfunctie en de buitenfunctie. Door de kettingregel toe te passen kunnen we eenvoudig de afgeleide van deze functies bepalen zonder de haakjes uit te werken. De kettingregel gaat als volgt:

f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)^{n}f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)^{\placeholder{}}f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)^{}f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)^{n}f\left(x\right)=c\left(ax+b\right)f\left(x\right)=c\left(ax+\right)f\left(x\right)=c\left(ax\right)f\left(x\right)=c\left(a\right)f\left(x\right)=c\left(\right)f\left(x\right)=cf\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(\right)f geeft f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}\cdot af^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}\cdotf^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-1}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n-}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-1}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-1n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{-n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)^{n}f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+b\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax+\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(ax\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(a\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdot\left(\right)f^{\prime}\left(x\right)=c\cdot n\cdotf^{\prime}\left(x\right)=c\cdot nf^{\prime}\left(x\right)=c\cdotf^{\prime}\left(x\right)=cf^{\prime}\left(x\right)=f^{\prime}\left(x\right)f^{\prime}\left(\right)f^{\prime}f

Hierin is \left(ax+b\right)\left(ax+b\right)^{}\left(ax+b\right)^{n}\left(ax+b\right)\left(\right)ax+b\left(\right)ax+\left(\right)ax\left(\right)a\left(\right?ade binnenfunctie en c\cdot\left(binnenfunctie\right)^{n}c\cdot\left(binnenfunctie\right)^{\placeholder{}}c\cdot\left(binnenfunctie\right)c\cdot binnenfunctie)c\cdot binnenfunctiec\cdot binnenfunctie\left.\right)c\cdot binnenfunctie\left(\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfunctie\right)c\cdot\left(bi\bigcap enfunctie\right)c\cdot\left(bienfunctie\right)c\cdot\left(bi\cap enfunctie\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfunctie\right)c\cdot\left(bi\bigcap enfunctie\right)c\cdot\left(bi\bigcap enfunctie\right)c\cdot\left(bi\cap enfunctie\right)c\cdot\left(bienfunctie\right)c\cdot\left(bi\cap enfunctie\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfunctie\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfuncti\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfunct\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfunc\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfun\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfu\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfuc\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enfu\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap enf\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap en\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap e\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap\right)c\cdot\left(b\in\bigcap\right)c\cdot\left(bi\right)c\cdot\left(bi\cap\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap=\right)c\cdot\left(bi\cap\bigcap\right)c\cdot\left(b\in\bigcap\right)c\cdot\left(bi\bigcap\right)c\cdot\left(bi\cap\right)c\cdot\left(b\in\right)c\cdot\left(bi\right)c\cdot\left(b\right)c\cdot\left(bi\right)c\cdot\left(bi\cap\right)c\cdot\left(bi\cap e\right)c\cdot\left(bi\cap en\right)c\cdot\left(bi\cap e\right)c\cdot\left(bi\cap\right)c\cdot\left(b\in\right)c\cdot\left(bi\right)c\cdot\left(b\right)c\cdot\left(bi\right)c\cdot\left(bi\cap\right)c\cdot\left(bi\cap e\right)c\cdot\left(bi\cap en\right)c\cdot\left(bi\cap e\right)c\cdot\left(bi\cap\right)c\cdot\left(b\in\right)c\cdot\left(bi\right)c\cdot\left(b\right)c\cdot\left(\right)c\cdot\left(a\right)c\cdot\left(ax\right)c\cdot\left(ax+\right)c\cdot\left(ax+b\right)c\left(ax+b\right)\left.c\right)\left(ax+b\right)\left(c\right)\left(ax+b\right)\left(\right.\left(c\right)\left(ax+b\right)\left(a\right.\left(c\right)\left(ax+b\right)\left(ax\right.\left(c\right)\left(ax+b\right)\left(ax+\right.\left(c\right)\left(ax+b\right)\left(ax+\right)\left(c\right)\left(ax+b\right)\left(ax+b\right)\left(c\right)\left(ax+b\right)\left(ax+b\right)\left(c\right)\left(c\right)c)de buitenfunctie. En bij vermenigvuldigen met a gebruiken we de afgeleide van de binnenfunctie.

Voorbeeld 1: Differentieer f(x)=5\cdot(3x-1)^2f(x)=5\cdot(3x-1)f(x)=5\cdot(3x-1)^f(x)=5\cdot(3x-1)^{2}f(x)=5(3x-1)^{2}

Neem de functie over:

Verschillende stappen bij differentiatie:

•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent van de binnenfunctie: ( 5\cdot2=1052=10).

•Neem de binnenfunctie over: ().

•Verminder de exponent met : van naar

•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van is .

De afgeleide van wordt dan: f^{\prime}(x)=10\cdot(3x-1)^1\cdot3=30(3x-1)f^{\prime}(x)=10\cdot(3x-1)^1\cdot3=30\cdot(3x-1)f^{\prime}(x)=10\cdot(3x-1)^1\cdot3=30(3x-1)f^{\prime}(x)=10\cdot(3x-1)^1\cdot3=30\times(3x-1)f^{\prime}(x)=10\cdot(3x-1)^13=30\times(3x-1)f^{\prime}(x)=10\cdot(3x-1)^1\times3=30\times(3x-1)f^{\prime}(x)=10(3x-1)^1\times3=30\times(3x-1)

Voorbeeld 2: Toepassing van de kettingregel

Stel dat je de functie f(x)=2(5x-6)^8f(x)=2(5x-6)f(x)=2(5x-6)^f(x)=2(5x-6)^{8}wilt differentiëren. Hier zijn de stappen:

Neem de functie over: f(x)=2(5x-6)^8f(x)=2\times(5x-6)^8f(x)=2\times(5x-6)^8f(x)=2\times(5x-6)^8f(x)=2\times(5x-6)^8f(x)=2\times(5x-6)^8f(x)=2\times(5x-6)^8{8}f(x)=2\times(5x-6){8}.

Verschillende stappen:

•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent: ( 2\cdot8=1628=16 ).

•Neem de binnenfunctie over: ().

•Verminder de exponent met : van naar .

•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van is .

De afgeleide van wordt dan: f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^7\cdot5=80(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^7\cdot5=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^7\cdot=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^7=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^7=\cdot80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^7=\cdot580\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^7=\cdot80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^7=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^{7}=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^{7}\times=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16\cdot(5x-6)^{7}\times5=80\times(5x-6)^{7}f^{\prime}(x)=16(5x-6)^{7}\times5=80\times(5x-6)^{7}

Voorbeeld 3: Ketting regel bij een breuk

Laten we nu de functie g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}^{}g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}^5g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}1^5g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}1)^5g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}(1)^5g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}(-1)^5g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}(x-1)^5g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}(4x-1)^5g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)}(4x-1)^5g(x)=\frac{3}{\left(4x-\right)}(4x-1)^5g(x)=\frac{3}{\left(4x\right)}(4x-1)^5g(x)=\frac{3}{\left(4\right)}(4x-1)^5g(x)=\frac{3}{\left(\placeholder{}\right)}(4x-1)^5g(x)=\frac{3}{\placeholder{}}(4x-1)^5g(x)=3(4x-1)^5g(x)=3/(4x-1)^5g(x)=3/(4x-1)g(x)=3/(4x-1)^ differentiëren:

Neem de functie over: g(x)=\frac{3}{\left(4x-1\right)^5}^{}

We willen de functie herschrijven: g(x)=3\cdot(4x-1)^{-5}g(x)=3\cdot(4x-1)^{-}g(x)=3\cdot(4x-1)g(x)=3\cdot(4x-1)^g(x)=3\cdot(4x-1)^{-}g(x)=3\cdot(4x-1)^{-}^g(x)=3\cdot(4x-1)^{-}^{5}g(x)=3\cdot(4x-1)^{-}^{5}g(x)=3\cdot(4x-1)^{-}^{5}g(x)=3\cdot(4x-1)^{-}^{5}g(x)=3\cdot(4x-1)^{-}^{5}g(x)=3(4x-1)^{-}^{5}.

Verschillende stappen:

•Vermenigvuldig de buitenfunctie met de exponent: (3\cdot(-5)=-153(-5)=-15 ).

•Neem de binnenfunctie over: ().

•Verminder de exponent met : van naar .

•Vermeld de afgeleide van de binnenfunctie: de afgeleide van 4x-1=44x-1=4x-14x-4x4.

Nu krijgen we: g^{\prime}(x)=-15\cdot(4x-1)^{-6}\cdot4=-60(4x-1)^{-6}g^{\prime}(x)=-15\cdot(4x-1)^{-6}\cdot4=-60\times(4x-1)^{-6}g^{\prime}(x)=-15\cdot(4x-1)^{-6}4=-60\times(4x-1)^{-6}g^{\prime}(x)=-15\cdot(4x-1)^{-6}\times4=-60\times(4x-1)^{-6}g^{\prime}(x)=-15(4x-1)^{-6}\times4=-60\times(4x-1)^{-6}

Uitschrijven zonder negatieve exponent

Aangezien we de functie in een positieve exponentvorm willen, herschrijven we g^{\prime}\left(x\right)g^{\prime}\left(\right)g^{\prime}g als