Leerdoelen
•Je kunt uitleggen wat de exacte waardecirkel is.
•Je kunt de coördinaten van punt P op de exacte waardecirkel bepalen voor hoeken van, ,,enradialen.
•Je kunt bij gegeven coördinaten van punt P de bijbehorende hoek, oftewel de afgelegde weg, bepalen binnen één omwenteling.
Bijzondere driehoeken
Gelijkzijdige driehoek
Een gelijkzijdige driehoek heeft drie gelijke zijden en drie gelijke hoeken van60^{\circ}6060g60gr60gra60grad60grade. Laten we een gelijkzijdige driehoek ABC nemen met zijden van lengte 2.
Teken nu een loodlijn vanuit hoek C naar zijde AB. Noem het snijpunt D. Deze lijn is de hoogtelijn, zwaartelijn en bissectrice. Dit betekent dat:
•Hoek ADC is90^{\circ}.
•Hoek C wordt gesplitst in twee hoeken van30^{\circ}(hoek ACD en hoek BCD).
•Zijde AB wordt gesplitst in twee gelijke delen, dus.
Nu hebben we een rechthoekige driehoek ACD. De zijden zijn(schuine zijde),(rechthoekszijde). Met de stelling van Pythagoras kunnen we de lengte van CD berekenen:.
Nu kunnen we de sinus en cosinus van de hoeken in deze driehoek bepalen:
•Sinus van hoek ACD (30^{\circ}): De sinus is de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde. .
•Cosinus van hoek ACD (30^{\circ}): De cosinus is de aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde. .
We kunnen dit ook doen voor hoek A, die60^{\circ}is:
•Sinus van hoek A (60^{\circ}): .
•Cosinus van hoek A (60^{\circ}): .
Hoek | 30^{\circ}30`30^{\circ}3030\degree303030303030303030\circ3030303030 | 60^{\circ} |
|---|---|---|
Sinus | \frac12\frac{1}{\placeholder{}} | \frac12\sqrt3\frac12\sqrt{}\frac12\sqrt2 |
Cosinus | \frac12\sqrt3 | \frac12 |
Gelijkbenige rechthoekige driehoek
De volgende bijzondere driehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Hierbij is één hoek90^{\circ}en de andere twee hoeken zijn45^{\circ}. Laten we de rechthoekszijden de lengte 1 geven.
Met de stelling van Pythagoras berekenen we de lengte van de schuine zijde AC: .
Nu bepalen we de sinus en cosinus van hoek A (45^{\circ}):
•Sinus van hoek A (45^{\circ}): . Om de wortel uit de noemer te verwijderen, vermenigvuldigen we met(een 'slimme één'): .
•Cosinus van hoek A (45^{\circ}): .
Hoek (graden) | 30^{\circ} | 45^{\circ} | 60^{\circ} |
|---|---|---|---|
Sinus | \frac12\frac{1}{\placeholder{}} | \frac12\sqrt2\frac12\sqrt{}\frac12\frac12\frac12\frac12 | \frac12\sqrt3\frac12\sqrt{}\frac12\sqrt2 |
Cosinus | \frac12\sqrt3 | \frac12\sqrt2 | \frac12 |
Hoeken omrekenen naar radialen
In de wiskunde, met name bij de eenheidscirkel, gebruiken we vaak radialen in plaats van graden om hoeken aan te geven. Eén volledige cirkel is360^{\circ}, wat overeenkomt metradialen. Een halve cirkel is180^{\circ}, wat gelijk is aanradialen.
Om graden om te rekenen naar radialen, gebruik je de formule:.
Laten we onze hoeken omrekenen:
•30^{\circ}:radialen.
•45^{\circ}:radialen.
•60^{\circ}:radialen.
•90^{\circ}:radialen.
•0^{\circ}:radialen.
Nu kunnen we de tabel aanvullen met de hoeken in radialen.
Hoek (radialen) | \frac16\pi\frac{1}{\placeholder{}}\pi1\pi\pi | \frac14\pi\frac{1}{}\pi\frac16\pi | \frac13\pi\frac{1}{36}\pi\frac16\pi | \frac12\pi\frac{1}{26}\pi\frac16\pi | |
|---|---|---|---|---|---|
Sinus | \frac12\frac{1}{\placeholder{}} | \frac12\sqrt2\frac12\sqrt{}\frac12\frac12\frac12\frac12 | \frac12\sqrt3\frac12\sqrt{}\frac12\sqrt2 | ||
Cosinus | \frac12\sqrt3 | \frac12\sqrt2 | \frac12 |
De eenheidscirkel en punt P
De eenheidscirkel is een cirkel met een straal van 1 en het middelpunt in de oorsprong (0,0) van een assenstelsel. Een punt P beweegt over deze cirkel. De hoekdie punt P heeft afgelegd, wordt gemeten vanaf de positieve x-as, tegen de klok in.
De coördinaten van punt P op de eenheidscirkel zijn\left(x,y\right)x,y\cdot x,y. Deze coördinaten zijn direct gerelateerd aan de cosinus en sinus van de hoek:
•De van P is gelijk aan.
•Devan P is gelijk aan. Dus.
Het eerste kwadrant
Laten we kijken naar de punten P in het eerste kwadrant (hoeken vantot).
•Hoek 0 radialen (0^{\circ}): Punt P start op de positieve x-as. De coördinaten zijn (1, 0). Dus,en.
•Hoekradialen (30^{\circ}): Uit onze tabel weten we:en. De coördinaten zijn\left(\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)\frac{1}{2}\sqrt{3},\frac{1}{2}).
•Hoekradialen (45^{\circ}): Uit onze tabel weten we:en. De coördinaten zijn\left(\frac{1}{2}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\frac{1}{2}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2}).
•Hoekradialen (60^{\circ}): Uit onze tabel weten we:en. De coördinaten zijn\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\frac{1}{2},\frac{1}{2}\sqrt{3}).
•Hoekradialen (90^{\circ}): Punt P bevindt zich op de positieve y-as. De coördinaten zijn\left(0,1\right). Dus,en.
Symmetrie in de eenheidscirkel
Door gebruik te maken van symmetrie kunnen we de coördinaten van P voor hoeken in de andere kwadranten afleiden.
De eenheidscirkel is symmetrisch. Dit betekent dat de absolute waarden van de x- en y-coördinaten in de andere kwadranten gelijk zijn aan die in het eerste kwadrant, maar de tekens (+ of -) kunnen verschillen.
Tweede kwadrant (vantot):is negatief,y\text{-coördinaat}y-\text{-coördinaat}y-\text{c-coördinaat}y-\text{c-oördinaat}is positief.
•Hoek:is,is(symmetrisch met).
•Hoek:is,is(symmetrisch met).
•Hoek:is,is(symmetrisch met).
•Hoek:.
Derde kwadrant (vantot): Zowelalszijn negatief.
•Hoek():is,is(symmetrisch met, beide negatief).
•Hoek():is,is(symmetrisch met, beide negatief).
•Hoek():is,is(symmetrisch met, beide negatief).
•Hoek():.
Vierde kwadrant (vantot):is positief,is negatief.
•Hoek():is,is(symmetrisch met, y negatief).
•Hoek():is,is(symmetrisch met, y negatief).
•Hoek():is,is(symmetrisch met, y negatief).
•Hoek(of):, een volledige omwenteling.
Exacte waarden van sinus en cosinus bepalen
Je kunt de exacte waarde vanofbepalen door de hoekop de cirkel op te zoeken en vervolgens de bijbehorende(voor sinus) of(voor cosinus) af te lezen.
•Voorbeeld 1: Zoekop de exacte waardecirkel. Debij dit punt is. Dus,.
•Voorbeeld 2: Zoekop de exacte waardecirkel. Debij dit punt is. Dus,.
•Voorbeeld 3: Een negatieve hoek betekent dat je met de klok mee draait.is gelijk aan een hoek vantegen de klok in. Zoekop de cirkel. Deis. Dus,.
•Voorbeeld 4: is gelijk aan. Zoekop de cirkel. Deis. Dus,.
Hoek bepalen bij gegeven exacte waarde
Omgekeerd kun je ook de hoek(en)bepalen als de sinus- of cosinuswaarde gegeven is, binnen het intervaltot(één volledige omwenteling).
•Voorbeeld 1:met Zoek op de eenheidscirkel waar deis. Je vindt twee hoeken: en.
•Voorbeeld 2:met Zoek op de eenheidscirkel waar deis. Je vindt twee hoeken: en.
•Voorbeeld 3:met0\le\alpha\le2\pi Zoek op de eenheidscirkel waar deis. Je vindt twee hoeken: en.
