De cosinusregel

De cosinusregel

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 12:30
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Oefenen (10)Oefen de bijbehorende opgaven
Begrippen (10)Leer de bijbehorende begrippen
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt met behulp van de cosinusregel een onbekende zijde berekenen in een willekeurige driehoek als twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn.

•Je kunt met behulp van de cosinusregel een onbekende hoek berekenen in een willekeurige driehoek als alle drie de zijden gegeven zijn.

•Je kunt de cosinusregel toepassen om zijden en hoeken in complexe meetkundige problemen (zoals het berekenen van hoogtes) te vinden.

De cosinusregel

In elke driehoek geldt de cosinusregel. Deze regel verbindt de lengte van een zijde met de lengtes van de andere twee zijden en de cosinus van de tegenoverliggende hoek. Er zijn drie varianten van de cosinusregel, afhankelijk van welke zijde of hoek je wilt berekenen:

•a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)

•b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)

•c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)

Voor het toepassen van de cosinusregel werken we met een willekeurige\triangle ABC. Dit betekent dat de driehoek niet per se rechthoekig hoeft te zijn. De hoekpunten van de driehoek worden aangegeven met hoofdletters (A,B,C) en de zijden met kleine letters (a,b,c). Hierbij is het belangrijk om te onthouden dat kleineade overstaande zijde is van\angle A,bde overstaande zijde van\angle B, encde overstaande zijde van\angle C.

Algemene driehoek ABC met de hoeken A, B, C en de overstaande zijden a, b, c duidelijk aangegeven.
Algemene driehoek ABC met de hoeken A, B, C en de overstaande zijden a, b, c duidelijk aangegeven.

Wanneer gebruik je de cosinusregel?

De cosinusregel is een krachtig hulpmiddel dat je in twee specifieke situaties gebruikt, vooral wanneer de sinusregel niet toereikend is:

1.Als je twee zijden en de ingesloten hoek weet, en je de derde zijde wilt berekenen (ook wel zijde-hoek-zijde, ZHZ).

2.Als je alle drie de zijden weet, en je een van de hoeken wilt berekenen (ook wel zijde-zijde-zijde, ZZZ).

In situaties waarin je een paar (een zijde en de overstaande hoek) kent, en nog een losse zijde of hoek, is de sinusregel vaak handiger. De cosinusregel komt dus in beeld wanneer je niet zo’n compleet paar hebt.

Een zijde berekenen

Gegeven is\triangle ABCmetAB = 6,BC = 8en\angle B = 72 \degree. BerekenACen rond af op twee decimalen.

Schets van driehoek ABC met AB=6, BC=8 en ∠B=72°.
Schets van driehoek ABC met AB=6, BC=8 en ∠B=72°.

Waarom de sinusregel hier niet werkt

Laten we proberen de sinusregel te gebruiken. De sinusregel stelt:\frac{ a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}. We kennen zijdea\, (BC=8)en zijdec \,(AB=6). Ook kennen we\angle B\, (72\degree). We willen zijdeb \,(AC)berekenen.

Als we de combinatie\frac{b}{\sin(B)}pakken, willen webberekenen. We hebben\sin(B) = \sin(72\degree), maar als we\frac{b}{\sin(B)}gelijkstellen aan\frac{a}{\sin(A)}, hebben we twee onbekenden:ben\angle A. Hetzelfde geldt als we\frac{b}{\sin(B)}gelijkstellen aan\frac{c}{\sin(C)}; dan hebben weben\angle Conbekend. Daarom werkt de sinusregel hier niet.

Toepassen van de cosinusregel

Omdat we\angle Bweten en de twee zijden die deze hoek insluiten (aenc), kiezen we de variant van de cosinusregel die\angle Bgebruikt:b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B).

Nu vullen we de bekende waarden in:

•a = BC = 8

•c = AB = 6

•\angle B=72\degree

Dit geeftb^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(72\degree).

Je kunt de rechterkant van de vergelijking in één keer invoeren in je rekenmachine. Dit geeftb^2=70{,}334\ldots.

Let op: rond tussendoor niet af. Bewaar dit getal op je rekenmachine.

OmAC(dusb) te vinden, nemen we de wortel van dit getal:

•b=\sqrt{70{,}334\ldots}

•b = 8{,}386…

Nu ronden we af op twee decimalen, zoals gevraagd:AC \approx 8{,}39.

Een hoek berekenen

Gegeven is\triangle ABCmetAB = 10,AC = 13enBC = 6. Bereken\angle B. Rond af op één decimaal.

Schets van driehoek ABC met AB=10, AC=13 en BC=6.
Schets van driehoek ABC met AB=10, AC=13 en BC=6.

We weten alle drie de zijden en willen\angle Bberekenen. Een handige tip om de juiste variant van de cosinusregel te kiezen: als\angle Bgevraagd is (of gegeven), dan staat de overstaande zijde van\angle B, namelijk kleineb, voor het is-teken. Dus, we gebruiken opnieuw:b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)

Nu vullen we de bekende waarden in:

•b = AC = 13

•a = BC = 6

•c = AB = 10

Dit geeft:

•13^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(B)

•169 = 36 + 100 - 120 \cdot \cos(B)

•169 = 136 - 120 \cdot \cos(B)

Nu willen we de term met\cos(B)isoleren:

•169 - 136 = -120 \cdot \cos(B)

•33 = -120 \cdot \cos(B)

•Om\cos(B)te isoleren, delen we beide kanten van de vergelijking door-120:\cos(B) = \frac{33}{ -120}

•\cos(B) = -0{,}275

Om\angle Bte vinden, gebruiken we de inverse cosinus:

•\angle B=\cos^{-1}(-0{,}275)

•\angle B=105{,}96\ldots\degree

Nu ronden we af op één decimaal:\angle B \approx 106{,}0\degree.

Een hoogte berekenen

Gegeven is\triangle PQRmetPQ = 14,PR = 9enQR = 12. Bereken de hoogteRS. Rond af op één decimaal. De hoogteRSis de loodlijn vanuit hoekpuntRop zijdePQ. PuntSligt opPQ.

Schets van driehoek PQR met zijden PQ=14, PR=9, QR=12 en de ingetekende hoogte RS.
Schets van driehoek PQR met zijden PQ=14, PR=9, QR=12 en de ingetekende hoogte RS.

Om de hoogteRSte berekenen, volgen we twee stappen:

1.Bereken eerst een hoek in\triangle PQRmet behulp van de cosinusregel.\angle Pis hier een goede keuze, omdatRSdeel uitmaakt van de rechthoekige\triangle PSR.

2.Gebruik vervolgens SOS CAS TOA in de rechthoekige\triangle PSRomRSte berekenen.

Berekenen van\angle Pmet de cosinusregel

We gebruiken de cosinusregel om\angle Pte berekenen. De zijde tegenover\angle PisQR, dus kleinep:p^2 = q^2+ r^2- 2qr \cos(P).

Nu vullen we de bekende waarden in:

•p = QR = 12

•q = PR = 9

•r = PQ = 14

Dit geeft:

•12^2 = 9^2 + 14^2 - 2 \cdot 9 \cdot 14 \cdot \cos(P)

•144 = 81 + 196 - 252 \cdot \cos(P)

•144 = 277 - 252 \cdot \cos(P)

Isoleer de term met\cos(P):

•144 - 277 = -252 \cdot \cos(P)

•-133 = -252 \cdot \cos(P)

•\cos(P) = \frac{-133}{ -252}

•\cos(P) = \frac{133}{ 252}

Bereken\angle P:

•\angle P=\cos^{-1}\left(\frac{133}{252}\right)

•\angle P=58{,}144\ldots\degree

Rond deze waarde nog niet af.

Berekenen van de hoogteRSmet SOS CAS TOA

Nu bekijken we de rechthoekige\triangle PSR.

•\angle P=58{,}144\ldots\degreekennen we.

•PR=9is de schuine zijde.

•RSis de overstaande zijde van\angle P.

Volgens SOS CAS TOA geldt:\sin(\text{hoek}) = \frac{\text{overstaande zijde}}{\text{schuine zijde}}. Dus:\sin(P) = \frac{RS}{PR} RS = PR \cdot \sin(P)

Vul de waarden in (gebruik de exacte waarde vanPvan je rekenmachine):

•RS=9\cdot\sin(58{,}144\ldots\degree)

•RS=7{,}644\ldots

Nu ronden we af op één decimaal:RS \approx 7{,}6.

Bekijk ook

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.