Als\log_5(x)=2,(\log_5(x)=2,wat is de waarde vanx?(x?
Om het rekenen met logaritmes makkelijker te maken zijn er een aantal rekenregels afgeleid. Hier zijn de belangrijkste rekenregels die je moet kennen:
\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\cdot b\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\cdot b\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\cdot b\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\cdot\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(\right)\log_{g}\log_{g}a\log_g
\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\frac{a}{\placeholder{}}\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(\right)\log_g
p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a^{p}\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a^{p}\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a^{p}\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}p\cdot\log_{g}\left(a\right)=p\cdot\log_{g}\left(a\right)=p\cdot\log_{g}\left(a\right)=p\cdot\log_{g}\left(a\right)=p\cdot\log_{g}\left(a\right)=p\cdot\log_{g}\left(a\right)=p\cdot\log_{g}\left(a\right)=p\cdot\log_{g}\left(a\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)p\cdot\log_{g}\left(\right)p\cdot\log_{g}p\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotpppppp
\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{\log_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{l_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{lo_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{log_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{log_{p}\left(g\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{log_{p}\left(\right)}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{log_{p}}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{}\log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{\placeholder{}}\log_{g}\left(a\right)=\frac{}{\placeholder{}}\log_{g}\left(a\right)=\frac{}{\placeholder{}}\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)/\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(\right)\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(\right)\log_g
Toepassing van de rekenregels
Als je bijvoorbeeld de logaritme met een bepaald grondtal, zoals\log_2van iets, wilt omrekenen naar een ander grondtal zoals\log_3of\log_5,\log_5kun je de vierde rekenregel toepassen.
Bewijzen van de rekenregels
Eerste regel bewijzen
Begin meten schrijf dit in de exponent van g tot de macht: g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}.\left(g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}\right..\left(g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}\right).(g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}.(g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)).(g\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)).
Volgens de rekenregel voor machten heb je: g^{p}\cdot g^{q}=g^{p+q}.(g^{p}\cdot g^{q}=g^{p+q}.(g^{p}\cdot g^{q}=g^{p+q}).(g^{p}g^{q}=g^{p+q}).(g^{p}g^{q}=g^{p+q}).(g^{p}g^{q}=g^{p+q}).(g^{p}g^{q}=g^{p+q}).(g^{p}g^{q}=g^{p+q}).(g^{p}g^{q}=g^{p+q}).
Dit leidt tot: g^{\log_{g}(a)}\cdot g^{\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}(a)}g^{\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}(a)}g^{\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}(a)}g^{\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}(a)}g^{\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}(a)}g^{\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}(a)}g^{\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(b\right)}.(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(b\right)}.(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(b\right)}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(b\right)g}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(b\right)gl}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(b\right)glo}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(b\right)glog}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(b\right)glogb}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(bglogb\right)}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(glogb\right)}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(aglogb\right)}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}\left(glogb\right)}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{\log_{g}glogb}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)g}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)gl}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)glo}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)glog}\times g^{glogb}).(g^{\log_{g}(a)gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).(g^{gloga}\times g^{glogb}).( g^{g log a} \times g^{g log b} ).(g^{}\times g^{glogb}).(g^{g}\times g^{glogb}).(g^{gl}\times g^{glogb}).(g^{glo}\times g^{glogb}).(g^{glog}\times g^{glogb}).
Omdatg^{\log_{g}\left(a\right)}=ag^{\log_{g}\left(a\right)g}=ag^{\log_{g}\left(a\right)gl}=ag^{\log_{g}\left(a\right)glo}=ag^{\log_{g}\left(a\right)glog}=ag^{\log_{g}\left(a\right)gloga}=ag^{\log_{g}\left(agloga\right)}=ag^{\log_{g}\left(gloga\right)}=ag^{\log_{g}gloga}=ag^{gloga}=ag^{gloga}=ag^{gloga}=ag^{gloga}=ag^{gloga}=ag^{gloga}=ag^{gloga}=ag^{gloga}=aeng^{\log_{g}\left(b\right)}=b,g^{\log_{g}\left(b\right)g}=b,g^{\log_{g}\left(b\right)gl}=b,g^{\log_{g}\left(b\right)glo}=b,g^{\log_{g}\left(b\right)glog}=b,g^{\log_{g}\left(b\right)glogb}=b,g^{\log_{g}\left(bglogb\right)}=b,g^{\log_{g}\left(glogb\right)}=b,g^{\log_{g}\left(aglogb\right)}=b,g^{\log_{g}\left(glogb\right)}=b,g^{\log_{g}glogb}=b,g^{glogb}=b,g^{glogb}=b,g^{glogb}=b,g^{glogb}=b,g^{glogb}=b,g^{glogb}=b,g^{glogb}=b,g^{glogb}=b,g^{glogb}=b,krijg je: a\cdot b.a\cdot bababababababa\times b
Schrijf dit als: g^{\log_{g}(a\cdot b)}.g^{\log_{g}(ab)}.g^{\log_{g}(ab)}.g^{\log_{g}(ab)}.g^{\log_{g}(ab)}.g^{\log_{g}(ab)}.g^{\log_{g}(ab)}.g^{\log_{g}(a\times b)}.g^{\log_{g}g(a\times b)}.g^{\log_{g}gl(a\times b)}.g^{\log_{g}glo(a\times b)}.g^{\log_{g}glog(a\times b)}.g^{glog(a\times b)}.g^{glog(a\times b)}.g^{glog(a\times b)}.g^{glog(a\times b)}.g^{glog(a\times b)}.g^{glog(a\times b)}.g^{glog(a\times b)}.(g^{glog(a\times b)}.
Dit mag omdat de exponent van de logaritme vangelijk is aan
Dit kun je gelijk stellen aang^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}:g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}
g^{\log_{g}(a\cdot b)}=g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}(a\cdot b)}=g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}g^{\log_{g}(a\cdot b)}=g^{\log_{g}\left(a\right)+\log_{g}\left(b\right)}:g^{\log_{g}(a\cdot b)}=g^{\log_{g}(a\cdot b)}
Als de grondtallen gelijk zijn, dan zijn ook de exponenten gelijk, wat betekent dat: \log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(a\cdot b\right).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(a\cdot b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(ab\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(ab\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(ab\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(ab\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(ab\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(ab\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=g(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=gl(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=glo(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)g=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)gl=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)glo=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)glog=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)gloga=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)gloga+=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)gloga+g=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)gloga+gl=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)gloga+glo=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)gloga+glog=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(b\right)gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(bgloga+glogb=glog(a\times b\right)\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}\left(gloga+glogb=glog(a\times b\right)\right)).\log_{g}\left(a)+\log_{g}gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)+gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(a)gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(agloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{ag}\left(gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\left(gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{ag}\left(gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}\left(gloga+glogb=glog(a\times b\right)).\log_{g}gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).gloga+glogb=glog(a\times b)).
En dat is de eerste regel.
Tweede regel bewijzen
Begin met\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}b\log_{g}\left(a\right)-b\log_{g}\left(a\right)-b\log_{g}\left(a\right)-b\log_{g}\left(a\right)-b\log_{g}\left(a\right)-b\log_{g}\left(a\right)-b\log_{g}\left(a\right)-b\log_{g}\left(a\right)-gb\log_{g}\left(a\right)-glb\log_{g}\left(a\right)-glob\log_{g}\left(a\right)-glogb\log_{g}\left(a-glogb\right)\log_{g}a-glogba-glogba-glogba-glogba-glogba-glogba-glogba-glogba-glogba-glogbga-glogbgla-glogbgloa-glogben schrijf dit in de exponent van g: g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}.(g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}.(g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-b}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-gb}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-glb}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-glob}).(g^{\log_{g}\left(a\right)-glogb}).(g^{\log_{g}\left(a-glogb\right)}).(g^{\log_{g}a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{a-glogb}).(g^{ga-glogb}).(g^{gla-glogb}).(g^{gloa-glogb}).
Toepassing van de rekenregel voor het delen van machten: g^{p-q}=\frac{g^{p}}{g^{q}}.(g^{p-q}=\frac{g^{p}}{g^{q}}.(g^{p-q}=\frac{g^{p}}{g^{q}}).(g^{p-q}=\frac{g^{p}}{g^{q}}g).(g^{p-q}=\frac{g^{p}}{g^{q}}g^{}).(g^{p-q}=\frac{g^{p}}{g^{q}}g^{q}).(g^{p-q}=\frac{g^{p}}{g}g^{q}).(g^{p-q}=\frac{g^{p}}{\placeholder{}}g^{q}).(g^{p-q}=g^{p}g^{q}).(g^{p-q}=g^{p}/g^{q}).(g^{p-q}=g^{p}/=g^{q}).
Dit leidt tot: \frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{\log_{g}\left(b\right)}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{\log_{g}\left(b\right)}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{\log_{g}b}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{b}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{b}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{b}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{b}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{b}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{b}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{b}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{gb}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{glb}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{glob}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{glogb}}.\frac{g^{\log_{g}\left(a\right)}}{g^{glogb}}.\frac{g^{\log_{g}a}}{g^{glogb}}.\frac{g^{a}}{g^{glogb}}.\frac{g^{a}}{g^{glogb}}.\frac{g^{a}}{g^{glogb}}.\frac{g^{a}}{g^{glogb}}.\frac{g^{a}}{g^{glogb}}.\frac{g^{a}}{g^{glogb}}.\frac{g^{a}}{g^{glogb}}.\frac{g^{ga}}{g^{glogb}}.\frac{g^{gla}}{g^{glogb}}.\frac{g^{gloa}}{g^{glogb}}.\frac{g^{gloga}}{g^{glogb}}.\frac{g^{gloga}}{\placeholder{}}.\frac{g^{gloga}}{\placeholder{}}g^{glogb}.g^{gloga}g^{glogb}.g^{gloga}/g^{glogb}.g^{gloga}/g^{glogb}).
Dit geeft \frac{a}{b}.\frac{a}{b}b.\frac{a}{\placeholder{}}b.ab.
Schrijf dit als:
g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}g^{\log_{g}\left(\frac{a}{\placeholder{}}\right)}g^{\log_{g}\left(a\right)}g^{\log_{g}\left(\right)}g^{\log_{g}}g^{}g^{}g^{}g^{}g^{}g^{}g
Stel dit gelijk aang^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)},g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}waar we mee begonnen:
g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}=g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}.g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}=g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)}g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}=g^{\log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)},g^{\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right)}=
Als de grondtallen weer gelijk zijn, dan zijn de exponenten ook gelijk, dus: \log_{g}\left(a\right)-\log_{g}\left(b\right)=\log_{g}\left(\frac{a}{b}\right).
Zo hebben we de tweede regel bewezen.
Derde regel bewijzen
Zetp\cdot\log_{g}\left(a\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)p\cdot\log_{g}\left(ab\right)p\cdot\log_{g}\left(ab`\right)p\cdot\log_{g}\left(ab\right)p\cdot\log_{g}\left(a\right)p\cdot\log_{g}\left(\right)p\cdot\log_{g}p\cdot\log_{g})p\cdot\log_{g})ap\cdot\log_{g})p\cdot\log_{g}p\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotp\cdotppppppin de exponent: g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}.(g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}.(g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}).(g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}).(g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}).(g^{p\cdot\log_{g}a}).(g^{p\cdot a}).(g^{p\cdot a}).(g^{p\cdot a}).(g^{p\cdot a}).(g^{p\cdot a}).(g^{p\cdot a}).(g^{p\cdot a}).(g^{p\cdot ga}).(g^{p\cdot gla}).(g^{p\cdot gloa}).(g^{p\cdot gloga}).(g^{pgloga}).(g^{pgloga}).(g^{pgloga}).(g^{pgloga}).(g^{pgloga}).(g^{pgloga}).
Volg de rekenregel voor machten: a^{pq}=(a^{p})^{q}.a^{pq}=(a^{p})^{q}).
Hierdoor krijg je:
\left(g^{\log_{g}\left(a\right)}\right)^{p}.\left(g^{\log_{g}\left(a\right)}\right)^{p}\left(g^{\log_{g}\left(a\right)}\right)\left(g^{\log_{g}\left(a\right)}\right)g^{\log_{g}\left(a\right)}g^{\left(\log_{g}\left(a\right)\right)}g^{\left(\log_{g}\left(a\right)\right)}g^{\left(\log_{g}\left(a\right)\right)}g^{\left(\log_{g}\left(\right)\right)}g^{\left(\log_{g}\right)}g^{\left(\right)}g^{\left(\right)}g^{\left(\right)}g^{\left(\right)}g^{\left(\right)}g^{\left(\right)}g^{\left(\right)}g^{\left(g\right)}g^{\left(\right)}g^{}g^0g
Omdatg^{^{}\log_{g}a}gg\log_{g}a\log_{g}agelijk is aana, krijg je: a^{p}.(a^{p}.
Schrijf dit dan weer als:
g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}.g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}g^{\log_{g}\left(a\right)}g^{\log_{g}\left(\right)}g^{\log_{g}}g^{\log_{g})}g^{\log_{g}}g^{}g^{}g^{}g^{}g^{}g^{}g
En stel het gelijk aan g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}:g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}
g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}=g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}.g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}=g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}=.g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}=.g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}.g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}=g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}.g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}=g^{p\cdot\log_{g}\left(a\right)}g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}=g^{\log_{g}\left(a^{p}\right)}
De grondtallen zijn gelijk, dus de exponenten zijn ook gelijk, dus:
p\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{g}\left(a^{p}\right).
Vierde regel bewijzen
Begin met \log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)\log_{g}\left(a\right)\log_{g}aaaaaaaagaglagloa en vermenigvuldig aan beide zijden met\log_{p}\left(g\right):\log_{p}\left(g\right)p:\log_{p}\left(g\right)pl:\log_{p}\left(g\right)plo:\log_{p}\left(g\right)plog:\log_{p}\left(g\right)plogg:\log_{p}\left(gplogg:\right)\log_{p}\left(plogg:\right)\log_{p}plogg:plogg:plogg:plogg:plogg:plogg:plogg: \log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right..\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)g\right..\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)gl\right..\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)glo\right..\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)glog\right..\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)gloga\right..\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(agloga\right).\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot\log_{g}gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\cdot\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left.\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left(\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left(p\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left(pl\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left(plo\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left(plog\times gloga\right).\log_{p}\left(g\right)\left(plogg\times gloga\right).\log_{p}\left(g\left(plogg\times gloga\right).\right)\log_{p}\left(\left(plogg\times gloga\right).\right)\log_{p}\left(plogg\times gloga\right).(\log_{p}\left(plogg\times gloga\right).(a\log_{p}\left(plogg\times gloga\right).(ag\log_{p}\left(plogg\times gloga\right).(a\log_{p}\left(plogg\times gloga\right).(\log_{p}\left(plogg\times gloga\right).(\log_{p}plogg\times gloga).(plogg\times gloga).(plogg\times gloga).(plogg\times gloga).(plogg\times gloga).(plogg\times gloga).(plogg\times gloga).
Stop dit in een exponent met grondtal:
p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}.p..
Volg de rekenregel voor machten:
Hierdoor krijg je:
\left(p^{\log_{p}\left(g\right)}\right)^{\log_{g}\left(a\right)}.\left(p^{\log_{p}\left(g\right)}\right)^{\log_{g}\left(a\right)}.\left(p^{\log_{p}\left(g\right)}\right)^{\log_{g}\left(a\right)}.\left(p^{\log_{p}\left(g\right)}\right)^{\log_{g}a}.\left(p^{\log_{p}\left(g\right)}\right)^{\log_{g}a)}.\left(p^{\log_{p}\left(g\right)}\right).\left(p^{\log_{p}\left(g\right)}.\right)\left(p^{\log_{p}\left(g\right)\left(\right.}.\right)\left(p^{\log_{p}\left(g\right)\log_{g}\left(a)\right.}.\right)\left(p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}.\right)
Hieruit volgt:
p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{\log_{p}\left(a\right)}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{\log_{p}\left(a\right)}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{\log_{p}\left(a\right)}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{\log_{p}\left(\right)}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{\log_{p}}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=pp^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=a=p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=ap^{^{\log_{g\left(a\right)}}}=p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}p^{^{\log_{g\left(a\right)}}}p^{^{\log_{g\left(\right)}}}p^{^{\log_{g}}}p^{^{\prime\log_{g}}}p^{^{\prime}}p^{^{\prime}}p^{^{\prime}}p^{^{\prime}}p^{^{\prime}}p^{^{\prime}}p^{^{\prime}}p^{}p^{l}pP
Stel dit gelijk aanp^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}:p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}
p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}=p^{\log_{p}\left(a\right)}.p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}=p^{\log_{p}\left(a\right)}p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}=p^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}
De grondtallen zijn gelijk, dus de exponenten moeten ook gelijk zijn:
\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a\right)=\log_{p}\left(a\right).\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}a)=\log_{p}\left(a\right).\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}a)=\log_{p}a).\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}a)=\log_{p}a.\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}a)=.\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}a)=^{\log_{p}\left(a\right)}.\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}a)=.\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}a)=p.\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}a)=p^{\log_{p}\left(a\right)}.=p^{\log_{p}\left(a\right)}.^{\log_{p}\left(g\right)\cdot\log_{g}\left(a)\right.}=p^{\log_{p}\left(a\right)}.
Deel\log_{p}\left(a\right)\log_{p}\left(a\right)\log_{p}\left(a\right)\log_{p}\left(\right)\log_ppplploplogdoor\log_{p}\left(g\right):\log_{p}\left(g\right):\log_{p}\left(g:\right)\log_{p}\left(g:\right)\log_{p}\left(:\right)\log_{p}\left(a:\right)\log_{p}\left(:\right)\log_{p}::::::::p:pl:plo:plog: \log_{g}\left(a\right)=\frac{\log_{p}\left(a\right)}{\log_{p}\left(g\right)}.
Zo zijn alle vier de regels bewezen.
