Raaklijnen aan cirkels

Raaklijnen aan cirkels

Wil je hogere cijfers halen in minder tijd?

Met JoJoschool weet je waar je staat, wat je nog moet doen en wanneer het genoeg is. Klaar? Tijd voor leuke dingen.

  • Haal hogere cijfers met uitleg voor elk boek op school
  • Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden
  • Loop je vast? Ainstein, je AI-tutor, kijkt met je mee en helpt je verder
Samenvatting

Leerdoelen

•Je kunt de formule van een raaklijn aan een cirkel opstellen.

Hoe stel je de vergelijking van een raaklijn aan een cirkel op?

Het opstellen van de vergelijking van een raaklijnen aan cirkels, een lijn die de cirkel in precies één punt raakt, vereist verschillende stappen. Je gebruikt de cirkelvergelijking en de coördinaten van het raakpunt. Het is belangrijk te weten dat de straal van de cirkel altijd loodrecht op de raaklijn staat in het raakpunt. Deze eigenschap helpt om de richtingscoëfficiënt\left(rc\right)van de raaklijn te bepalen.

Een cirkel met middelpunt M en een raaklijn k die de cirkel raakt in punt A. De lijn door M en A, die de straal van de cirkel representeert, staat loodrecht op de raaklijn k, toepasbaar bij vergelijking raaklijn cirkel.
Een cirkel met middelpunt M en een raaklijn k die de cirkel raakt in punt A. De lijn door M en A, die de straal van de cirkel representeert, staat loodrecht op de raaklijn k, toepasbaar bij vergelijking raaklijn cirkel.

Voorbeeldvraag: Gegeven is de cirkelC:\ x^2+y^2-10x-4y+16=0.De lijnkraaktCin het puntAmetx = 2eny > 0.Stel de vergelijking vankop.

Hoe vind je de coördinaten van het raakpunt (puntA\textbf{?)}

Het raakpuntAligt op de cirkel. Dex\text{-coördinaat}vanAis gegeven als2.Om dey\text{-coördinaat}te vinden, vul jex = 2in de cirkelvergelijking in: 2^2+y^2-10\cdot2-4y+16=0 4 + y^2 - 20 - 4y + 16 = 0 y^2 - 4y + (4 - 20 + 16) = 0 y^2 - 4y + 0 = 0 y^2 - 4y = 0

Deze vergelijking los je op doorybuiten haakjes te halen: y(y - 4) = 0 Dit geeft twee mogelijke oplossingen voory:

•y = 0

•y - 4 = 0 \implies y = 4

Omdat gegeven is dat dey\text{-coördinaat}vanAgroter moet zijn dan nul(y > 0),is dey\text{-coördinaat}y= 4.De coördinaten van het raakpuntAzijn dus(2, 4).

Hoe bepaal je het middelpunt van de cirkel?

Het middelpunt van een cirkel kan worden afgelezen uit de standaardvorm van de cirkelvergelijking (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2,waarbij(a,b)het middelpunt is enrde straal. Om van de gegeven cirkelvergelijkingx^2 + y^2 - 10x - 4y + 16 = 0naar deze standaardvorm te komen, gebruik je kwadraatafsplitsen. Kwadraatafsplitsen is een methode om een kwadratische uitdrukking te herschrijven door het creëren van een perfect kwadraat.

1.Zet dex\text{-termen}eny\text{-termen}bij elkaar en verplaats de constante term naar de rechterkant: x^2 - 10x + y^2 - 4y = -16

2.Splits de kwadraten af voorxeny:

1.Voorx^2 - 10x:Neem de helft van de coëfficiënt vanx(die is-10),wat-5is. Schrijf(x-5)^2.Dit isx^2 - 10x + 25.Je hebt25toegevoegd, dus trek het ook weer af: (x-5)^2 - 25

2.Voory^2 - 4y:Neem de helft van de coëfficiënt vany(die is-4),wat-2is. Schrijf(y-2)^2.Dit isy^2 - 4y + 4.Je hebt4toegevoegd, dus trek het ook weer af: (y-2)^2 - 4

3.Combineer deze uitdrukkingen in de cirkelvergelijking: (x-5)^2 - 25 + (y-2)^2 - 4 = -16

4.Verplaats de constanten naar de rechterkant van de vergelijking: (x-5)^2 + (y-2)^2 = -16 + 25 + 4 (x-5)^2 + (y-2)^2 = 13

Uit deze standaardvorm lees je het middelpuntMaf:(5, 2).

Hoe bepaal je de richtingscoëfficiënt van de raaklijnk\textbf{?}

De straal van de cirkel staat loodrecht op de raaklijnkin het raakpuntA.De lijnMdie door het middelpuntMen het raakpuntAgaat, is onderdeel van de straal. Eerst bepaal je de richtingscoëfficiënt\left(rc\right)van lijnM(doorM(5,2)enA(2,4)).De richtingscoëfficiënt bereken je met de formulerc\ =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. rc_{M}\ =\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}.

Twee loodrechte lijnen hebben een product van richtingscoëfficiënten dat gelijk is aan-1.Dus: rc_{M}\cdot rc_{k}=-1 -\frac{2}{3} \cdot rc_k = -1 rc_k = \frac{-1}{-\frac{2}{3}} = -1 \cdot -\frac{3}{2} = \frac{3}{2}

De richtingscoëfficiënt van de raaklijnkis\frac{3}{2}(of1,5).

Hoe stel je de vergelijking van de raaklijnkop?

De algemene vergelijking van een rechte lijn (een lineaire vergelijking) isy = ax + b,waarbijade richtingscoëfficiënt is enbhet snijpunt met dey\text{-as.} Je weet nu de richtingscoëfficiënt vank:\ a=\frac{3}{2}.De vergelijking vankis dus: y = \frac{3}{2}x + b

De raaklijnkgaat door het puntA(2,4).Vul de coördinaten vanAin ombte vinden: 4=\frac{3}{2}\cdot2+b 4 = 3 + b b = 4 - 3 b = 1

De vergelijking van raaklijnkis dus: y=\frac{3}{2}x+1\ \left(\text{of }y=1,5x+1\right).

Verberg docent
Afspelen
Geluid uitzetten
Afspeelsnelheid
00:00 / 07:26
Ondertiteling/CC
Instellingen
Volledig scherm
Oefenen
Bekijk ook

Raaklijnen aan cirkels: uitleg, samenvatting en oefenen

Krijg de beste uitleg over cirkel, cirkels, formule, formules, raaklijn, raaklijnen, vergelijking en vergelijkingen. Op deze pagina vind je:

  • Uitleg: stap-voor-stap uitleg over de theorie, voorbeelden, tips en veelgemaakte fouten.
  • Een samenvatting: leerdoelen, kernbegrippen, stappen en voorbeelden over Raaklijnen aan cirkels.
  • Oefenen: meerkeuze & open vragen met feedback, passend bij havo 4 - 5.

Ondersteund door Ainstein, onze AI-hulp die je vragen stap voor stap beantwoordt.

Voor elk vak alles wat je nodig hebt

Vind uitleg, oefeningen en oefentoetsen voor elk vak dat je volgt. Zo heb je school op een rijtje en meer vrijheid voor andere dingen.

JuliaLeerling
Trustpilot
Ik vind JoJoschool echt heel fijn en het heeft mij dit schooljaar erg geholpen. Ik vind de uitleg filmpjes heel duidelijk en ze helpen je de stof beter te begrijpen. Ook kun je goed oefenen met de woordenlijsten voor taalvakken, waardoor het stampen een stuk makkelijker wordt. Zeker een aanrader!
Roemer O.Leerling
Trustpilot
Heel handige uitleg filmpjes met opdrachten die ook echt horen bij dat onderwerp. Echt handig voor bij het leren van toetsen!
TeddyLeerling
Google
Extreem goede school, duidelijke uitleg, behulpzame en geduldige docenten. Zeker een aanrader van een H4 leerling!
Lourdes S.Leerling
Trustpilot
Jojoschool heeft mij onwijs goed geholpen. Het heeft een goede chatbot die je helpt bij alles, waardoor je 24/7 een "docent" bij je hebt. Ook kan je met oude examens oefenen en veel oefenopdrachten maken onder uitleg videos waardoor je de stof nog beter begrijpt.
MaramLeerling
Google
ik gebruik het om te leren en het helpt oprecht je zult altijd wel onderwerpen vinden waar je naar opzoek bent met uitleg filmpjes en opdrachten waarmee je de antwoorden erbij krijgt zodat je kunt kijken wat je fout hebt gemaakt en waarom, ook handige ai bot die je vragen kunt stellen
SallyLeerling
Trustpilot
Ik vond het heel fijn om te gebruiken, vooral voor de vakken bio en Nask. Door de uitleg (filmpjes) ben ik een heel eind gekomen. Ik vond het heel duidelijk en kon overal makkelijk bij komen. Volgend jaar zeker ga ik het zeker weer gebruiken,en door dit allemaal geef ik het ook 5 sterren!
LianneLeerling
Google
Jojoschool heeft me echt door mijn examenperiode heen geholpen toen ik het niet meer zag zitten. Als ik geen overzicht meer had, gaf jojoschool mij die weer terug. Door alle duidelijke filmpjes en oefeningen ben ik nu met vlag en wimpel geslaagd!
Saathiya S.Leerling
Trustpilot
Mijn ervaring met JoJo School is heel goed. Ik heb veel geleerd en voelde me altijd goed geholpen. Met Jojo school kan je makkelijk leren en als ik het niet begreep was er altijd duidelijke uitleg om mij te helpen. Daarnaast is de sfeer prettig en motiverend. Ik raad JoJo School zeker aan!
Noella W.Leerling
Google
heeft me heel erg geholpen met voorbereiden voor me eindexamens!
Emma B.Leerling
Trustpilot
Ik ben super tevreden! JoJoschool heeft me super goed geholpen met mijn toetsen en huiswerk! Aanrader!
EvaLeerling
Trustpilot
Mijn school heeft jojoschool aangeschaft voor de hele school en ik ben zeer tevreden. Ik kan al mijn boeken er vinden die ik bijvoorbeeld bij StudyGo niet kan vinden. Ik gebruik het nu voor een half jaar en het werk super goed en voor de vakken waar ik eerst een 6 haalde haal ik nu een 8! Vooral de oefen opdrachten en filmpjes helpen mij super veel en ben er erg tevreden over en ga het zeker blijven gebruiken! (Havo 4)
Lucas L.Leerling
Google
heel handig, vooral voor de middelbare school
LotteLeerling
Trustpilot
het werkt heel goed en helpt je ook echt om het te begrijpen
Ela T.Leerling
Google
Goed
Julian Z.Leerling
Trustpilot
Heel goed om te gebruiken voor school mijn cijfers gingen omhoog.
Jason T.Leerling
Google
Echt goede website om te leren, die tamara kocken kan niet uitleggen tho
Nubia P.Leerling
Trustpilot
Het is een goede website om te leren voor toetsen ze hebben goede uitleg video’s en bijna elk boek
Cira J.J.Leerling
Google
Jojo school heeft mij veel ondersteuning gegeven tijdens de examenperiode en is één van de beste hulpmiddelen geweest
Julia H.Leerling
Trustpilot
Ideale website om op te leren voor je toetsen! Er zijn woordenlijsten, uitleg videos, (ai) tutor’s en als er toch iets mis is is het heel makkelijk om contact op te nemen en krijg je bijna meteen hulp. 5/5 website!
KyraLeerling
Google
Jojo schools aas echt heel handig, heb waarschijnlijk echt niet mijn examens kunnen slagen zonder!!
leerlingen gebruiken JoJoschool
85.000
leert beter
94%
heeft meer zelfvertrouwen
86%
haalt hogere cijfers
90%

Leer jezelf vrij met deze functies

Uitleg

Haal hogere cijfers met uitleg via samenvattingen en uitlegvideo’s.

Lees meer

Oefenen

Oefen gericht waar jij nog beter in wilt worden. Gaat het goed? Dan kun je verder.

Lees meer

Oefentoetsen

Ga met een gerust gevoel je toets in door oefentoetsen te maken.

Lees meer

Woordjes leren

Superefficiënt alle woordjes in je hoofd krijgen. Even testen, en door.

Lees meer

Ainstein

Loop je vast? Ainstein kijkt met je mee en helpt je verder.

Lees meer

Examentraining

Met opgeheven hoofd je examens in met examentraining.

Lees meer

Leer jezelf vrij

School gefixt, hoofd weer vrij.

Leer op jouw niveau, in jouw tempo en voor jouw doel. JoJoschool helpt je precies met wat jij nog nodig hebt. Zodat je verder komt, meer vertrouwen krijgt en daarna ook gewoon weer tijd hebt voor leuke dingen.