Raaklijnen aan cirkels

Leerdoelen

•Je kunt de formule van een raaklijn aan een cirkel opstellen.

Hoe stel je de vergelijking van een raaklijn aan een cirkel op?

Het opstellen van de vergelijking van een raaklijnen aan cirkels, een lijn die de cirkel in precies één punt raakt, vereist verschillende stappen. Je gebruikt de cirkelvergelijking en de coördinaten van het raakpunt. Het is belangrijk te weten dat de straal van de cirkel altijd loodrecht op de raaklijn staat in het raakpunt. Deze eigenschap helpt om de richtingscoëfficiënt\left(rc\right)\left(r\right)\left(\right)\left(\right)\left(r\right)\left(\right)van de raaklijn te bepalen.

Voorbeeldvraag: Gegeven is de cirkelC:\ x^2+y^2-10x-4y+16=0.C:x^2+y^2-10x-4y+16=0.C:x^2+y^2-10x-4y+16=0.De lijnkraaktin het puntmetenStel de vergelijking vanop.

Hoe vind je de coördinaten van het raakpunt (puntA\textbf{?)}AAAAAAAAAAAAAAA?AA\textbf{(}A\textbf{(?}AAAAAAAAAAAAAAA)

Het raakpuntligt op de cirkel. Dex\text{-coördinaat}x\text{-coördinaat}x\text{-coordinaat}xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxvanis gegeven alsOm dey\text{-coördinaat}\text{-coördinaat}u\text{-coördinaat}uy\text{-coördinaat}uy\text{-coördinaat}te vinden, vul jein de cirkelvergelijking in: 2^2+y^2-10\cdot2-4y+16=02^2+y^2-102-4y+16=02^2+y^2-102-4y+16=02^2+y^2-102-4y+16=02^2+y^2-102-4y+16=02^2+y^2-102-4y+16=02^2+y^2-102-4y+16=02^2+y^2-102)-4y+16=0

Deze vergelijking los je op doorbuiten haakjes te halen: Dit geeft twee mogelijke oplossingen voor

•

•

Omdat gegeven is dat devangroter moet zijn dan nulis deDe coördinaten van het raakpuntzijn dus

Hoe bepaal je het middelpunt van de cirkel?

Het middelpunt van een cirkel kan worden afgelezen uit de standaardvorm van de cirkelvergelijking waarbijhet middelpunt is ende straal. Om van de gegeven cirkelvergelijkingnaar deze standaardvorm te komen, gebruik je kwadraatafsplitsen. Kwadraatafsplitsen is een methode om een kwadratische uitdrukking te herschrijven door het creëren van een perfect kwadraat.

1.Zet dex\text{-termen}xxxxxxxxxxxxxxxeny\text{-termen}bij elkaar en verplaats de constante term naar de rechterkant:

2.Splits de kwadraten af vooren

1.VoorNeem de helft van de coëfficiënt van(die iswatis. SchrijfDit isJe hebttoegevoegd, dus trek het ook weer af:

2.VoorNeem de helft van de coëfficiënt van(die iswatis. SchrijfDit isJe hebttoegevoegd, dus trek het ook weer af:

3.Combineer deze uitdrukkingen in de cirkelvergelijking:

4.Verplaats de constanten naar de rechterkant van de vergelijking:

Uit deze standaardvorm lees je het middelpuntaf:

Hoe bepaal je de richtingscoëfficiënt van de raaklijnk\textbf{?}kkkkkkkkkkk

De straal van de cirkel staat loodrecht op de raaklijnin het raakpuntDe lijndie door het middelpunten het raakpuntgaat, is onderdeel van de straal. Eerst bepaal je de richtingscoëfficiënt\left(rc\right)rc)van lijn(doorenDe richtingscoëfficiënt bereken je met de formulerc\ =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.rc=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.rc=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.rc=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.r=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\text{r}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\text{rc}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\text{r}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\text{rc }=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. rc_{M}\ =\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}.rc_{M}\ =\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}r_{M}\ =\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}rx_{M}\ =\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}r_{M}\ =\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}_{M}\ =\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}\text{rc}_{M}\ =\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}\text{rc}_{M}=\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}\text{rc}_{M}=\frac{4 - 2}{2 - 5}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}

Twee loodrechte lijnen hebben een product van richtingscoëfficiënten dat gelijk is aanDus: rc_{M}\cdot rc_{k}=-1rc_{M}\cdot r_{k}=-1rc_{M}\cdot_{k}=-1rc_{M}\cdot\text{r}_{k}=-1rc_{M}\cdot\text{rc}_{k}=-1rc_{M}\text{rc}_{k}=-1rc_{M}\text{rc}_{k}=-1rc_{M}\text{rc}_{k}=-1rc_{M}\text{rc}_{k}=-1rc_{M}\text{rc}_{k}=-1rc_{M}\text{rc}_{k}=-1

De richtingscoëfficiënt van de raaklijnis(of

Hoe stel je de vergelijking van de raaklijnop?

De algemene vergelijking van een rechte lijn (een lineaire vergelijking) iswaarbijde richtingscoëfficiënt is enhet snijpunt met de Je weet nu de richtingscoëfficiënt vank:\ a=\frac{3}{2}.k:a=\frac{3}{2}.k:a=\frac{3}{2}.De vergelijking vanis dus:

De raaklijngaat door het puntVul de coördinaten vanin omte vinden: 4=\frac{3}{2}\cdot2+b4=\frac{3}{2}\cdot+b4=\frac{3}{2}+b4=\frac{3}{2}+b4=\frac{3}{2}+b4=\frac{3}{2}+b4=\frac{3}{2}+b4=\frac{3}{2}+b4=\frac{3}{2}(+b4=\frac{3}{2}(2+b

De vergelijking van raaklijnis dus: y=\frac{3}{2}x+1\ \left(\text{of }y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(\text{of }y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(\text{of}y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\ \left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1\left(y=1,5x+1\right).y=\frac{3}{2}x+1y=1,5x+1).y=\frac{3}{2}x+1(y=1,5x+1).y=\frac{3}{2}x+1(oy=1,5x+1).