Leerdoelen
•Je kunt bij verschillende vlakke figuren omtrek, oppervlakte en zijden berekenen.
•Je kunt de verhouding 1:1:\sqrt21:1:\sqrt{\placeholder{}}1:1:1:1:\surd gebruiken bij berekeningen in een gelijkbenige rechthoekige driehoek.
•Je kunt de verhouding 1:2:\sqrt31:2:\sqrt{\placeholder{}}1:2:1:2:\surd gebruiken bij berekeningen in een rechthoekige driehoek met scherpe hoeken van 30^{\circ}en 60^{\circ}6060\circ6066060\circ.
Welke basisformules gebruik je voor omtrek en oppervlakte?
De omtrek is de totale lengte van de buitenrand van een vlak figuur. De oppervlakte is de grootte van het gebied binnen een vlak figuur. Voor verschillende vlakke figuren gelden specifieke formules voor de omtrek en oppervlakte. Hieronder staan de formules die worden herhaald in de les.
Figuur | Omschrijving | Formule omtrek | Formule oppervlakte | Tekening |
|---|---|---|---|---|
Cirkel | Een verzameling van alle punten die even ver van een vast punt (het middelpunt) liggen. De straal (r) is de afstand van het middelpunt tot de rand van de cirkel. | 2\cdot\pi\cdot r2\cdot\pi\cdot2\cdot\pi\cdot R2\cdot\pi R2\cdot\pi *R2\pi *R 2 * π * R | \pi\cdot r^2\pi\cdot r\pi\cdot r^\pi\cdot r^{2}\pi\cdot^{2}\pi\cdot R^{2}\pi R^{2}π * R² | |
Driehoek | Een vlak figuur met drie zijden en drie hoeken. De basis van een driehoek is een gekozen zijde waarop de hoogte loodrecht staat. De hoogte is de loodrechte afstand van een hoekpunt tot de tegenoverliggende basis. | Som van de zijden | \frac12\cdot basis\cdot hoogte\frac12\cdot basis\cdot hoogt\frac12\cdot basis\cdot hoog\frac12\cdot basis\cdot hoo\frac12\cdot basis\cdot hoo>\frac12\cdot basis\cdot hoog\frac12\cdot basis\cdot hoo\frac12\cdot basis\cdot hoo>\frac12\cdot basis\cdot hoo>e\frac12\cdot basis\cdot hoo>\frac12\cdot basis\cdot hoog\frac12\cdot basis\cdot hoo\frac12\cdot basis\cdot hoo>\frac12\cdot basis\cdot hoo>e\frac12\cdot basis\cdot hoo>\frac12\cdot basis\cdot hoog\frac12\cdot basis\cdot hooge\frac12\cdot basis\cdot hooget\frac12\cdot basis\cdot hooge\frac12\cdot basis\cdot hoog\frac12\cdot basis\cdot hoo\frac12\cdot basis\cdot hoo>\frac12\cdot basis\cdot hoo>e\frac12\cdot basis\cdot hoo>\frac12\cdot basis\cdot hoog\frac12\cdot basis\cdot hoo\frac12\cdot basis\cdot ho\frac12\cdot basis\cdot h\frac12\cdot basis\cdot\frac12\cdot basis\frac12\cdot basi\frac12\cdot bas\frac12\cdot ba\frac12\cdot b\frac12\cdot\frac12\frac{1}{\placeholder{}}1 | |
Parallelogram | Een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn. De basis van een parallellogram is een van de zijden en de hoogte is de loodrechte afstand tussen twee evenwijdige zijden. | 2\cdot(zijde_1+zijde_2)2\cdot(zijde_1+zijde)2\cdot(zijde_1+zijde2)2\cdot(zijde+zijde2)2\cdot(zijde1+zijde2)2(zijde1+zijde2)2 * (zijde 1 + zijde 2) | basis\cdot hoogtebasishoogtebasis * hoogte | |
Trapezium | Een vierhoek met ten minste één paar evenwijdige zijden. De evenwijdige zijden zijn de zijden die parallel aan elkaar lopen. De hoogte is de loodrechte afstand tussen de evenwijdige zijden. | Som van de zijden | \frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoogte\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoogt\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoog\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoo\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoo>\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoo>e\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoo>\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoog\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot hoo\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot ho\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot H\frac{1}{2}\cdot(a+)\cdot H\frac{1}{2}\cdot(a+B)\cdot H\frac{1}{2}\cdot(+B)\cdot H\frac{1}{2}\cdot(A+B)\cdot H\frac{1}{2}\cdot(A+B)H\frac{1}{2}\cdot(A+B)*H\frac{1}{2}(A+B)*H( en zijn de evenwijdige zijden) |
Wanneer gebruik je speciale driehoeksverhoudingen?
Voor berekeningen in bepaalde rechthoekige driehoeken kun je gebruikmaken van vaste verhoudingen tussen de zijden. Er zijn twee typen speciale driehoeken die hierbij van pas komen.
Gelijkbenige rechthoekige driehoek
Een gelijkbenige rechthoekige driehoek is een driehoek met een rechte hoek en twee gelijke zijden, waardoor de twee andere hoeken 45^{\circ}zijn. In deze driehoek geldt de verhouding 1:1:\sqrt21:1:\sqrt{\placeholder{}}1:1:1:1:\surd, die de lengtes van de rechthoekszijden en de schuine zijde beschrijft. De twee rechthoekszijden hebben een verhouding van , en de schuine zijde heeft een verhouding van \sqrt2\sqrt{\placeholder{}}\surd ten opzichte van een rechthoekszijde.
Rechthoekige driehoek met hoeken van en60^{\circ}0^{\circ}
Een rechthoekige driehoek met hoeken van en60^{\circ}0^{\circ}is een speciale driehoek waarbij de scherpe hoekenen60^{\circ}0^{\circ}zijn. In deze driehoek geldt de verhouding 1:2:\sqrt31:2:\sqrt{\placeholder{}}1:2:1:2:\surd. Deze verhouding beschrijft de lengtes van de zijden als volgt:
•de kortste rechthoekszijde heeft verhouding
•de schuine zijde heeft verhouding
•de langste rechthoekszijde heeft verhouding \sqrt3\sqrt{\placeholder{}}3.
De oppervlakte van een trapezium met speciale driehoeken berekenen
Gegeven is het trapezium met , , \angle A=45\degree\angle=45\degree\angle\alpha=45\degree\angle=45\degree=45\degreeh=45\degreeho=45\degreehoe=45\degreehoek=45\degree en \angle B=30\degreeB=30\degreehB=30\degreehoB=30\degreehoeB=30\degree. Bereken exact de oppervlakte van het trapezium. De formule voor de oppervlakte van een trapezium is: O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdot CEO\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdot CO\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdotO\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+CD\right.O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+C\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB+\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB=\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(AB\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(A\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdot\left(\right)O\left(ABCD\right)=\frac12\cdotO\left(ABCD\right)=\frac12O\left(ABCD\right)=\frac{1}{\placeholder{}}O\left(ABCD\right)=1O\left(ABCD\right)=O\left(ABCD\right)O\left(ABCD\right)O\left(ABC\right)O\left(AB\right)O\left(A\right)O\left(AS\right)O\left(ASV\right)O\left(ASVC\right)O\left(ASVC\right)O\left(ASVC\right)O\left(ASVC\right)O\left(ASV\right)O\left(ASV\right)O\left(AS\right)O\left(A\right)O\left(\right)O
Bereken de hoogte CE en zijde BE
Teken een loodlijn vanuit loodrecht op . De loodlijn is een lijn die loodrecht op een andere lijn staat en daarmee een hoek van 90°vormt. In driehoek BCE is\angle E=90\degreeen \angle B=30\degree. Dit betekent dat \angle C (in\Delta BCE) . Dit is een speciale 30-60-90-driehoek met verhoudingen 1:2:\sqrt31:2:\sqrt{\placeholder{}}1:2:1:2:\surd (kortste rechthoekszijde : schuine zijde : langste rechthoekszijde).
• is de schuine zijde met verhouding .
• is de kortste rechthoekszijde met verhouding .
• is de langste rechthoekszijde met verhouding . Gegeven is . CE=(\frac{BC}{2})\cdot1=(\frac62)\cdot1=3CE=(\frac{BC}{2})\cdot1=(\frac62)1=3CE=(\frac{BC}{2})\cdot1=(\frac62)*1=3CE=(\frac{BC}{2})\cdot1=(\frac{6}{\placeholder{}})*1=3CE=(\frac{BC}{2})\cdot1=(6)*1=3CE=(\frac{BC}{2})\cdot1=(6/)*1=3CE=(\frac{BC}{2})\cdot1=(6/2)*1=3CE=(\frac{BC}{2})1=(6/2)*1=3CE=(\frac{BC}{2})*1=(6/2)*1=3CE=(\frac{BC}{\placeholder{}})*1=(6/2)*1=3CE=(BC)*1=(6/2)*1=3CE=(BC/)*1=(6/2)*1=3. BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\sqrt3=3\sqrt3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\sqrt3=3\sqrt{\placeholder{}}BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\sqrt3=3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\sqrt3=3\surdBE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\sqrt3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\sqrt{\placeholder{}}=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\surd=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\cdot\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\&\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\&\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac62)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{6}{\placeholder{}})*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(6)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(6/)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt3=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\sqrt{\placeholder{}}=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\surd=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\cdot\surd3=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})\surd3=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{2})*\surd3=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(\frac{BC}{\placeholder{}})*\surd3=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(BC)*\surd3=(6/2)*\surd3=3\surd3BE=(BC/)*\surd3=(6/2)*\surd3=3\surd3. Dus, de hoogte CE=3CE3CEi3.
Bereken zijde
Teken een loodlijn vanuit loodrecht op . is gelijk aan , dus . In \Delta AFDAFDdAFDdrAFDdriAFDdrieAFDdrieAFDdriehoAFDdriehoeAFD is \angle F=90\degreeF=90\degree en \angle A=45\degreeA=45\degreehA=45\degreehoA=45\degreehoeA=45\degree. Dit betekent dat \angle DDDhoDhoeD (in\Delta AFD) . Dit is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met verhoudingen 1:1:\sqrt21:1:\sqrt{\placeholder{}}1:1:1:1:\surd.
• is een rechthoekszijde met verhouding .
• is de andere rechthoekszijde met verhouding . Omdat en de verhoudingen zijn, is .
Bereken zijde
is gelijk aan . kan berekend worden door . CD=AB-AF-BE=11-3-3\sqrt3=8-3\sqrt3CD=AB-AF-BE=11-3-3\sqrt{\placeholder{}}=8-3\sqrt3CD=AB-AF-BE=11-3-3=8-3\sqrt3CD=AB-AF-BE=11-3-33=8-3\sqrt3CD=AB-AF-BE=11-3-3=8-3\sqrt3CD=AB-AF-BE=11-3-3\surd=8-3\sqrt3CD=AB-AF-BE=11-3-3\surd3=8-3\sqrt3CD=AB-AF-BE=11-3-3\surd3=8-3\sqrt{\placeholder{}}CD=AB-AF-BE=11-3-3\surd3=8-3CD=AB-AF-BE=11-3-3\surd3=8-3\surd.
Bereken de oppervlakte van het trapezium
Nu alle benodigde waarden bekend zijn, kan de oppervlakte berekend worden: O=\frac{1}{2}\cdot(AB+CD)\cdot CEO=\frac{1}{2}\cdot(AB+CD)CEO=\frac{1}{2}\cdot(AB+CD)*CEO=\frac{1}{2}(AB+CD)*CE
O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3\sqrt3)\cdot3O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3\sqrt{\placeholder{}})\cdot3O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3)\cdot3O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3\surd)\cdot3O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3\surd3)\cdot3O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3\surd3))\cdot3O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3\surd3))3O=\frac{1}{2}\cdot(11+(8-3\surd3))*3O=\frac{1}{2}(11+(8-3\surd3))*3
=\frac{1}{2}\cdot(19-3\sqrt3)\cdot3=\frac{1}{2}\cdot(19-3\sqrt3)3=\frac{1}{2}\cdot(19-3\sqrt3)*3=\frac{1}{2}\cdot(19-3\sqrt{\placeholder{}})*3=\frac{1}{2}\cdot(19-3)*3=\frac{1}{2}\cdot(19-3\surd)*3=\frac{1}{2}\cdot(19-3\surd3)*3=\frac{1}{2}(19-3\surd3)*3
=(\frac32)\cdot(19-3\sqrt3)=(\frac32)\cdot(19-3\sqrt{\placeholder{}})=(\frac32)\cdot(19-3)=(\frac32)\cdot(19-3\surd)=(\frac32)\cdot(19-3\surd3)=(\frac32)(19-3\surd3)=(\frac32)*(19-3\surd3)=(\frac{3}{\placeholder{}})*(19-3\surd3)=(3)*(19-3\surd3)=()*(19-3\surd3)=(3)*(19-3\surd3)=(3/)*(19-3\surd3) =\frac{(3\cdot19)}{2}-\frac{(3\cdot3\sqrt3)}{2}=\frac{(3\cdot19)}{2}-\frac{(3\cdot3\sqrt3)}{\placeholder{}}=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3\sqrt3)=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3\sqrt3).=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3\sqrt3)=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3\sqrt3)2=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3\sqrt3)/2=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3\sqrt{\placeholder{}})/2=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3)/2=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3\surd)/2=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3\cdot3\surd3)/2=\frac{(3\cdot19)}{2}-(33\surd3)/2=\frac{(3\cdot19)}{2}-(3*3\surd3)/2=\frac{(3\cdot19)}{\placeholder{}}-(3*3\surd3)/2=(3\cdot19)-(3*3\surd3)/2=(3\cdot19)/-(3*3\surd3)/2=(3\cdot19)/2-(3*3\surd3)/2=(319)/2-(3*3\surd3)/2 =\frac{57}{2}-\frac{9\sqrt3}{2}=\frac{57}{2}-\frac{9\sqrt3}{}=\frac{57}{2}-\frac{9\sqrt3}{3}=\frac{57}{2}-\frac{9\sqrt3}{\placeholder{}}=\frac{57}{2}-9\sqrt3=\frac{57}{2}-9\sqrt3/=\frac{57}{2}-9\sqrt3/2=\frac{57}{2}-9\sqrt{\placeholder{}}/2=\frac{57}{2}-9/2=\frac{57}{2}-9\surd/2=\frac{57}{2}-9\surd3/2=\frac{57}{\placeholder{}}-9\surd3/2=57-9\surd3/2=57/-9\surd3/2 = 28\frac{1}{2}-4\frac{1}{2}\sqrt328\frac{1}{2}-4\frac{1}{2}\sqrt{\placeholder{}}28\frac{1}{2}-4\frac{1}{2}28\frac{1}{2}-4\frac{1}{2}\surd
De straal van een ingeschreven cirkel in een rechthoekige driehoek berekenen
Gegeven is \Delta ABC met ,\angle A=90\degree en \angle B=60\degree. De ingeschreven cirkel van de driehoek is getekend. Een ingeschreven cirkel is een cirkel die alle zijden van een veelhoek raakt. Bereken exact de straal r van deze ingeschreven cirkel. Het middelpunt van een cirkel is het centrale punt waaruit alle punten op de cirkel even ver verwijderd zijn.
Hulplijnen tekenen en gelijke driehoeken identificeren
Teken een hulplijn van middelpunt naar . Teken een lijn vanuit loodrecht op de zijde . Noem dit punt . Punt is het raakpunt van de cirkel met de zijde . De afstand is de straal r. Teken een lijn vanuit loodrecht op de zijde . Noem dit punt . Punt is het raakpunt van de cirkel met de zijde . De afstand is de straal r. \Delta DBMen\Delta EBM zijn congruent (gelijk). Ze hebben beide een rechte hoek (bij en ), een gemeenschappelijke schuine zijde en gelijke rechthoekszijden (MD=ME=RMD=ME=R)). Dit betekent dat de lijn hoek van \Delta ABC doormidden deelt. Omdat \angle B=60\degreeB=60\degreehB=60\degreehoB=60\degreehoeB=60\degree, zijn \angle DBM\angle BMen \angle EBM beide . In \Delta DBM geldt: \angle D=90\degree, \angle B=30\degree. Dus \angle M=180\degree-90\degree-30\degree=60\degree. Dit is een speciale 30-60-90-driehoek met verhoudingen 1:2:\sqrt31:2:\sqrt{\placeholder{}}1:2:1:2:\surd.
• is de kortste rechthoekszijde met verhouding .
• is de schuine zijde met verhouding .
• is de langste rechthoekszijde met verhouding \sqrt3\sqrt{\placeholder{}}\surd.
Druk en uit in r
is de straalr, wat overeenkomt met verhouding . Dan is (verhouding \sqrt3\sqrt{\placeholder{}}\surd) =r\cdot\sqrt3=r\sqrt3=r\cdot\sqrt3=r\sqrt{\placeholder{}}=r\cdot\sqrt3=r=r\cdot\sqrt3==r\cdot\sqrt3=\surd=r\cdot\sqrt3=\surd3=r\cdot\sqrt3=R\surd3=r\cdot\sqrt{\placeholder{}}=R\surd3=r\cdot=R\surd3=r\cdot\surd=R\surd3=r\cdot\surd3=R\surd3=r\surd3=R\surd3=r*\surd3=R\surd3=*\surd3=R\surd3. Teken een loodlijn vanuit op zijde . Noem dit punt . is de straal r, want is het raakpunt van de cirkel met . Omdat\angle A=90\degreeen en beide loodrecht staan op de zijden en , vormt het vierkant AFMDeen vierkant met zijden r. Dus AD=rAD=. De zijde kan geschreven worden als . We weten dat . Dus, 8=AD+DB=r+r\sqrt38=AD+DB=r+r\sqrt38=AD+DB=R+r\sqrt38=AD+DB=Rr+r\sqrt38=AD+DB=R+r\sqrt38=AD+DB=R+\sqrt38=AD+DB=R+R\sqrt38=AD+DB=R+R\sqrt{\placeholder{}}8=AD+DB=R+R8=AD+DB=R+R\surd.
Los de vergelijking op voor r
De vergelijking is r+r\sqrt3=8r+r\sqrt{\placeholder{}}=8r+r=8r+r\surd=8r+r\surd3=8r+\surd3=8r+R\surd3=8+R\surd3=8. Haal buiten haakjes: r(1+\sqrt3)=8r(1+\sqrt{\placeholder{}})=8r(1+)=8r(1+\surd)=8r(1+\surd3)=8(1+\surd3)=8. Deel door (1+\sqrt31+\sqrt{\placeholder{}}1+1+\surd): r=\frac{8}{1+\sqrt3}r=\frac{8}{1+\sqrt3}(r=\frac{8}{1+\sqrt3}(r=\frac{8}{1+\sqrt3}(r=\frac{8}{1+\sqrt3}(1+r=\frac{8}{1+\sqrt3}(1+\surdr=\frac{8}{1+\sqrt3}(1+\surd3r=\frac{8}{1+\sqrt3}(1+\surd3)r=\frac{8}{1+\sqrt{\placeholder{}}}(1+\surd3)r=\frac{8}{1+}(1+\surd3)r=\frac81(1+\surd3)r=\frac{8}{\placeholder{}}(1+\surd3)r=8(1+\surd3)r=8/(1+\surd3)=8/(1+\surd3). Dit is de exacte straal r van de ingeschreven cirkel.
De verhouding van oppervlakten van twee snijdende cirkels berekenen
Twee cirkels met middelpunt en snijden elkaar in de punten en . \angle EKF=90\degree en \angle ELF=120\degree. Bereken de verhouding van de oppervlakte van de cirkels. Noem de straal van de cirkel met middelpunt : r_{K}r_{}r_{k}rrkk. Dus KE=KF=r_{K}KE=KF=r_{K}.KE=KF=r_{}.KE=KF=r_{L}.KE=KF=r_{}.KE=KF=r_{k}.KE=KF=r.KE=KF=rk.KE=KF=k. Noem de straal van de cirkel met middelpunt : r_{L}rR. Dus LE=LF=r_{L}LE=LF=rLE=LF=LE=LF=RLE=LF=Rl De vierhoek is een vlieger, een vierhoek met twee paar gelijke aanliggende zijden. De diagonalen van een vlieger snijden elkaar loodrecht.
Analyseren van de figuur en speciale driehoeken vinden
De diagonaal deelt\angle EKF en \angle ELF doormidden. Laat het snijpunt zijn van de diagonalen en . De diagonalen snijden elkaar loodrecht, dus\angle KSE en \angle LSE zijn . In \angle ESL geldt:
•\angle ELS=\frac12\cdot\angle ELF=\frac12\cdot120=60\degree\angle ELS=\frac12\cdot\angle ELF=\frac12\cdot120=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot\angle ELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot ELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot hELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot=\frac12*hoekELF=\frac12*120\degree=60\degree.ELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot ELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot hELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot hoELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot hoeELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12\cdot hoekELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12hoekELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12*hoekELF=\frac12\cdot120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12*hoekELF=\frac12120\degree=60\degree.\angle ELS=\frac12*hoekELF=\frac12*120\degree=60\degree.\angle ELS
•\angle LSE=90\degree.
•\angle SEL=180\degree-90\degree-60\degree=30\degreeSEL=180\degree-90\degree-60\degree=30\degreeSE\angle L=180\degree-90\degree-60\degree=30\degree. Dit is een speciale 30-60-90-driehoek met verhoudingen 1:2:\sqrt31:2:\sqrt{\placeholder{}}1:2:1:2:\surd.
• is de kortste rechthoekszijde (tegenover ) met verhouding .
• is de schuine zijde (tegenover ) met verhouding .
• is de langste rechthoekszijde (tegenover ) met verhouding \sqrt3\sqrt{\placeholder{}}\surd.
Druk uit in
is de straal r_{L}rR van cirkel . ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt{\placeholder{}}ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}r_{L}ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}r_{L}\surdES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}r_{L}\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}r\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}R\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\sqrt{\placeholder{}}=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\surd=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\cdot\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{2})*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(\frac{r_{L}}{\placeholder{}})*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(r_{L})*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(r_{L}/)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(r_{L}/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(r/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(R/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(R/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(R/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt3=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\sqrt{\placeholder{}}=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\surd=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\cdot\surd3=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})\surd3=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{2})*\surd3=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(\frac{EL}{\placeholder{}})*\surd3=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(EL)*\surd3=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(EL/)*\surd3=(Rl/2)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES = (EL / 2) * √3 = (Rl / 2) * √3 = ½Rl√3ES=(EL/2)*\surd3=(Rl)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3ES=(EL/2)*\surd3=(Rl/)*\surd3=\frac{1}{2}Rl\surd3.
Druk uit in
In \Delta ESK geldt:
•\angle KES=\frac12\cdot\angle EKF=\frac12\cdot90\degree=45\degree\angle KES=\frac12\cdot\angle EKF=\frac1290\degree=45\degree\angle KES=\frac12\cdot\angle EKF=\frac12*90\degree=45\degree\angle KES=\frac12\cdot EKF=\frac12*90\degree=45\degree\angle KES=\frac12EKF=\frac12*90\degree=45\degree\angle KES=\frac12*EKF=\frac12*90\degree=45\degree\angle KES=\frac12*hEKF=\frac12*90\degree=45\degree\angle KES=\frac12*hoEKF=\frac12*90\degree=45\degree\angle KES=\frac12*hoeEKF=\frac12*90\degree=45\degree\angle KES=\frac12*hoekEKF=\frac12*90\degree=45\degree\angle KES
•\angle ESK=90\degree=90\degree ESK=90\degree\angle ESK=90\degree\angle ESK
•\angle SKE=180\degree-90\degree-45\degree=45\degree\angle SKE Dit is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met verhoudingen .
• is een rechthoekszijde met verhouding .
• is de andere rechthoekszijde met verhouding .
• is de schuine zijde met verhouding \sqrt2\sqrt{\placeholder{}}\surd. is de straal r_{K}rR van cirkel . ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=\frac{r_{K}}{\sqrt2}ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=\frac{r_{K}}{\sqrt{\placeholder{}}}ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=\frac{r_{K}}{\placeholder{}}ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=r_{K}ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=r_{K}/ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=r_{K}/\surdES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=r_{K}/\surd2ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=r/\surd2ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=/\surd2ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=R/\surd2ES=(\frac{EK}{\sqrt2})\cdot1=Rk/\surd2ES=(\frac{EK}{\sqrt2})1=Rk/\surd2ES=(\frac{EK}{\sqrt2})*1=Rk/\surd2ES=(\frac{EK}{\sqrt{\placeholder{}}})*1=Rk/\surd2ES=(\frac{EK}{\placeholder{}})*1=Rk/\surd2ES=(EK)*1=Rk/\surd2ES=(EK/)*1=Rk/\surd2ES=(EK/\surd)*1=Rk/\surd2.
Druk uit in
Nu we op twee manieren hebben uitgedrukt, kunnen we ze aan elkaar gelijkstellen: \frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=\frac{r_{K}}{\sqrt2}\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=\frac{r_{K}}{\sqrt{\placeholder{}}}\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=\frac{r_{K}}{}\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=\frac{r_{K}}{/}\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=\frac{r_{K}}{/}\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=r_{K}\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=r_{K}/\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=r_{K}/\surd\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=r_{K}/\surd2\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=r/\surd2\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=/\surd2\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=R/\surd2\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3=Rk/\surd2\frac{1}{2}r_{L}\sqrt{\placeholder{}}=Rk/\surd2\frac{1}{2}r_{L}=Rk/\surd2\frac{1}{2}r_{L}\surd=Rk/\surd2\frac{1}{2}r_{L}\surd3=Rk/\surd2\frac{1}{2}r\surd3=Rk/\surd2\frac{1}{2}\surd3=Rk/\surd2\frac{1}{2}R\surd3=Rk/\surd2 Vermenigvuldig beide kanten met \sqrt2\sqrt{\placeholder{}}\surd: r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3\cdot\sqrt2r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3\cdot\sqrt2r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3\cdotr_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3\cdot\surdr_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3\cdot\surd2r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3\surd2r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt3*\surd2r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt{\placeholder{}}*\surd2r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}*\surd2r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\surd *\surd2r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\surd3*\surd2r_{K}=\frac{1}{2}r\surd3*\surd2r_{K}=\frac{1}{2}\surd3*\surd2r_{K}=\frac{1}{2}R\surd3*\surd2r_{K}=\frac{1}{2}Rl\surd3*\surd2r=\frac{1}{2}Rl\surd3*\surd2=\frac{1}{2}Rl\surd3*\surd2R=\frac{1}{2}Rl\surd3*\surd2 r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt6r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\sqrt{\placeholder{}}r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}r_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\surdr_{K}=\frac{1}{2}r_{L}\surd6r_{K}=\frac{1}{2}r\surd6r_{K}=\frac{1}{2}\surd6r_{K}=\frac{1}{2}R\surd6r_{K}=\frac{1}{2}Rl\surd6r=\frac{1}{2}Rl\surd6=\frac{1}{2}Rl\surd6R=\frac{1}{2}Rl\surd6. De straal van cirkel is dus \frac{1}{2}\sqrt6\frac{1}{2}\sqrt{\placeholder{}}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\surd keer de straal van cirkel .
Bereken de oppervlakte van cirkel
De oppervlakte van cirkel K=\pi\cdot(r_{K})^2K=\pi(r_{K})^2K=\pi *(r_{K})^2K=\pi *(r)^2K=\pi *()^2K=\pi *(R)^2K=\pi *(Rk)^2K=\pi *(Rk)K=\pi *(Rk)^ =\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L}\sqrt6)^2=\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L}\sqrt6)=\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L}\sqrt6)^=\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L}\sqrt6)^{2}=\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L}\sqrt{\placeholder{}})^{2}=\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L})^{2}=\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L}\surd)^{2}=\pi\cdot(\frac{1}{2}r_{L}\surd6)^{2}=\pi\cdot(\frac{1}{2}r\surd6)^{2}=\pi\cdot(\frac{1}{2}\surd6)^{2}=\pi\cdot(\frac{1}{2}R\surd6)^{2}=\pi\cdot(\frac{1}{2}Rl\surd6)^{2}=\pi(\frac{1}{2}Rl\surd6)^{2} =\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot r_{L}^2\cdot6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot r_{L}^26)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot r_{L}^2*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot r_{L}*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot r_{L}^*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot r_{L}^{2}*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot r^{2}*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot^{2}*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot R^{2}*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}\cdot Rl^{2}*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}Rl^{2}*6)=\pi\cdot(\frac{1}{4}*Rl^{2}*6)=\pi(\frac{1}{4}*Rl^{2}*6) =\pi\cdot(\frac64\cdot r_{L}^2)=\pi\cdot(\frac64\cdot r_{L}^2^)=\pi\cdot(\frac64\cdot r_{L}^2^{2})=\pi\cdot(\frac64\cdot r_{L}^{2})=\pi\cdot(\frac64\cdot r^{2})=\pi\cdot(\frac64\cdot^{2})=\pi\cdot(\frac64\cdot R^{2})=\pi\cdot(\frac64\cdot Rl^{2})=\pi\cdot(\frac64Rl^{2})=\pi\cdot(\frac64*Rl^{2})=\pi\cdot(\frac{6}{\placeholder{}}*Rl^{2})=\pi\cdot(6*Rl^{2})=\pi\cdot(*Rl^{2})=\pi\cdot(6*Rl^{2})=\pi\cdot(6/*Rl^{2})=\pi\cdot(6/4*Rl^{2})=\pi(6/4*Rl^{2}) =\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi r_{L}^2=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi r_{L}^2.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi r_{L}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi r_{L}^.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi r_{L}^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi r^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi R^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^2)=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^)=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r_{L}^{2})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot r^{2})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot^{2})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot R^{2})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}\cdot Rl^{2})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}Rl^{2})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi\cdot(1\frac{1}{2}*Rl^{2})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.=\pi(1\frac{1}{2}*Rl^{2})=1\frac{1}{2}\pi Rl^{2}.
Bereken de oppervlakte van cirkel
De oppervlakte van cirkel L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi r_{L}^2L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi r_{L}L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi r_{L}^L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi r_{L}^{2}L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi r^{2}L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi^{2}L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi R^{2}L=\pi\cdot(r_{L})^2=\pi Rl^{2}L=\pi\cdot(r_{L})=\pi Rl^{2}L=\pi\cdot(r_{L})^=\pi Rl^{2}L=\pi\cdot(r_{L})^{2}=\pi Rl^{2}L=\pi\cdot(r)^{2}=\pi Rl^{2}L=\pi\cdot()^{2}=\pi Rl^{2}L=\pi\cdot(R)^{2}=\pi Rl^{2}L=\pi\cdot(Rl)^{2}=\pi Rl^{2}L=\pi(Rl)^{2}=\pi Rl^{2}.
Bepaal de verhouding van de oppervlakten
De verhouding van de oppervlakte van cirkel tot de oppervlakte van cirkel is: Oppervlakte : Oppervlakte LL=L=1\frac12\pi r_{L}^2:\pi r_{L^2}L=1\frac12\pi r_{L}^2:\pi r_{L^2}^L=1\frac12\pi r_{L}^2:\pi r_{L^2}^{2}L=1\frac12\pi r_{L}^2:\pi r_{L}^{2}L=1\frac12\pi r_{L}^2:\pi r^{2}L=1\frac12\pi r_{L}^2:\pi^{2}L=1\frac12\pi r_{L}^2:\pi R^{2}L=1\frac12\pi r_{L}^2:\pi Rl^{2}L=1\frac12\pi r_{L}:\pi Rl^{2}L=1\frac12\pi r_{L}^:\pi Rl^{2}L=1\frac12\pi r_{L}^{2}:\pi Rl^{2}L=1\frac12\pi r^{2}:\pi Rl^{2}L=1\frac12\pi^{2}:\pi Rl^{2}L=1\frac12\pi R^{2}:\pi Rl^{2}L=1\frac12\pi Rl^{2}:\pi Rl^{2} = 1\frac12\pi r_{L}^2:\pi r_{L^2} Deel beide zijden door \pi r_{L}^2\pi r_{L}\pi r_{L}^\pi r_{L}^{2}\pi r^{2}\pi^{2}\pi R^{2}:
Oppervlakte : Oppervlakte = 1\frac{1}{2}:1 Om de verhouding in gehele getallen uit te drukken, vermenigvuldig je beide kanten met 2: Oppervlakte : Oppervlakte = De verhouding van de oppervlakten van de cirkels is 3 staat tot 2.
