Machten met gebroken exponenten

Leerdoelen

•Je weet wat een macht met een gebroken exponent is.

•Je kunt een macht met een gebroken exponent herleiden tot een (hogeremachts)wortel.

•Je kunt de bijbehorende rekenregels toepassen.

Rekenregels voor machten met gebroken exponenten

•Macht van een macht: Als je een macht hebt en die moet je weer tot een andere macht verheffen, dan vermenigvuldig je de exponenten. Bijvoorbeeld,\left(a^{p}\right)^{q}=a^{p\cdot q}.\left(a^{p}\right)=a^{p\cdot q}.\left(a^{p}=a^{p\cdot q}.\right)\left(a^{p^{}}=a^{p\cdot q}.\right)\left(a^{p^{q}}=a^{p\cdot q}.\right)\left(a^{p)^{q}}=a^{p\cdot q}.\right)\left(a^{p^{q}}=a^{p\cdot q}.\right)a^{p^{q}}=a^{p\cdot q}.(a^{p^{q}}=a^{p\cdot q}.

•Wortel als macht: De q-de machtswortel van een getal kan worden geschreven als dat getal tot de macht\frac{1}{q}.(\frac{1}{q}.Dusis hetzelfde als de q-de machtswortel van,\sqrt[q]{x}.

Voorbeelden van herleiden

Voorbeeld 1: Herleid\left(x^{\frac15}\right)^5.\left(x^{\frac15}\right)^5\left(x^{\frac15}\right)x^{\frac15}\left(x^{\frac15}\right)x^{\frac15}\left(x^{\frac{1}{\placeholder{}}}\right)x^{\frac15}\left(x^1\right)x^{\frac15}\left(\frac{x^1}{}\right)x^{\frac15}\left(\frac{x^1}{5}\right)x^{\frac15}\left(\frac{x^1}{\placeholder{}}\right)x^{\frac15}\left(x^1\right)x^{\frac15}\left(x\right)x^{\frac15}\left(\right)\left(x^{\frac15}\right.\left(\right)\left(x^{\frac15}\right)\left(\right)\left(x^{\frac15}\right))\left(x^{\frac15}\right)\left(x^{\frac15}\right)\left(\left(x^{\frac15}\right)\right)\left(f\left(x^{\frac15}\right)\right)\left(\left(x^{\frac15}\right)\right)\left(x^{\frac15}\right)x^{\frac15}\left(x^{\frac15}\right)\left(\left(x^{\frac15}\right)\right)\left(x^{\frac15}\right)x^{\frac15}\left(x^{\frac15}\right.\left(x^{\frac15}\right)\left(x^{\frac15}\right)^{}\left(x^{\frac15}\right)^5\left(x^{\frac15}\right)^5.\left(x^{\frac15}\right)^{}.\left(x^{\frac15}\right)^2.\left(x^{\frac15}\right).x^{\frac15}).x^{\frac15}.x^{\frac{1}{5)}}.x^{\frac{1}{5}}.x^{\frac{1}{5}5}.(x^{\frac{1}{5}5}.

Gebruik de regel van macht van een macht:\left(x^{\frac{1}{5}}\right)^5=x^{\frac{1}{5}\cdot5}=x^1=x.\left(x^{\frac{1}{5}}\right)^5=x^{\frac{1}{5}\cdot5}=x^1=x).

Voorbeeld 2: Schrijf de vijfde machtswortel vanals een macht.

De vijfde machtswortel en tot de macht vijf zijn tegengestelde bewerkingen, dus\sqrt[5]{x^5}=x.(\sqrt[5]{x^5}=x.

Breuken in exponenten

Wat als de exponent geen 1 is, maar een ander getal? Bijvoorbeeld,x^{\frac{p}{q}}.(x^{\frac{p}{q}}.

Dit kan worden herschreven alsx^{p\cdot\frac{1}{q}},(x^{p\cdot\frac{1}{q}},wat weer kan worden geschreven als\left(x^{p}\right)^{\frac{1}{q}}.(\left(x^{p}\right)^{\frac{1}{q}}.

Dit betekent datgelijk is aan de q-de machtswortel van,\sqrt[q]{x^{p}}\sqrt[q]{x}\sqrt[q]{}\sqrt[q]{p}.

Oefeningen

Opdracht 1: Schrijfals een macht vanx.(x.

De wortel vanx,x\sqrt{x},\sqrt{x}isx^{\frac{1}{2}}.(x^{\frac{1}{2}}.

Vermenigvuldig de machten:x^3\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{3+\frac{1}{2}}=x^{3.5}.(x^3\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{3+\frac{1}{2}}=x^{3.5}.

Opdracht 2: Schrijf\sqrt[7]{x^4}\cdot x^5\sqrt[7]{x^4}x^5\sqrt[7]{x^4}*x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5x^5\cdot x^5\cdot x^5\cdot x^5\\cdot x^5\cdot x^5\cdot x^5\cdot x^5x\cdot x^5x^{}\cdot x^5als een macht vanx.(x.

De zevende machtswortel vanisx^{\frac{4}{7}}.x^{\frac{4}{7}}.x^{\frac{4}{7}}.(x^{\frac{4}{7}}.

Vermenigvuldig de machten:x^{\frac{4}{7}}\cdot x^5=x^{\frac{4}{7}+5}.x^{\frac{4}{7}}\cdot x^5=x^{\frac{4}{7}+5}).

Negatieve en gebroken exponenten

Soms moet je negatieve en gebroken exponenten omzetten naar wortels:

Opdracht 3: Schrijf\frac{\sqrt[3]{x}}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{}{x^5}\frac{x}{x^5}\frac{x}{x^5}x\frac{x}{x^5}x^{}\frac{x}{x^5}x^5\frac{x}{x}x^5\frac{x}{\placeholder{}}x^5xx^5als een macht vanx.(x.

De derde machtswortel vanisx^{\frac{1}{3}}.(x^{\frac{1}{3}}.

Deel de machten:\frac{x^{\frac13}}{x^5}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-4\frac23}.\frac{x^{\frac13}}{x^5}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac23}.\frac{x^{\frac13}}{x^5}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{}{3}}.\frac{x^{\frac13}}{x^5}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac13}.\frac{x^{\frac13}}{x^5}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.\frac{x^{\frac13}}{x}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.\frac{x^{\frac13}}{\placeholder{}}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.x^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.x^{\frac{1}{3}}\div=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.x^{\frac{1}{3}}\div x=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.x^{\frac{1}{3}}\div x^{}=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.x^{\frac{1}{3}}\div x^5=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.(x^{\frac{1}{3}}\div x^5=x^{\frac{1}{3}-5}=x^{-\frac{14}{3}}.

Opdracht 4: Schrijf\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\sqrt[4]{x}}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{s}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{sq}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{sqr}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{sqrt}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{sqrt[}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{sqrt[4}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{sqrt[4]}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{sqrt[4]{x}}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{}\frac{\sqrt[5]{x^2}}{\placeholder{}}\sqrt[5]{x^2}als een macht vanx.(x.

De vijfde machtswortel vanisx^{\frac{2}{5}}.(x^{\frac{2}{5}}.

De vierde machtswortel vanisx^{\frac{1}{4}}.(x^{\frac{1}{4}}.

Deel de machten:x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=x^{\frac{3}{20}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=x^{\frac32}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=x^{\frac{3}{}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=x^{\frac31}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=x^{\frac{3}{\placeholder{}}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=x^3.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=x.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}=.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{20}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac52}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{2-}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac52}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-\frac{5}{\placeholder{}}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-5}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}-}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{20}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac82}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^{\frac{8}{\placeholder{}}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^8.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=\frac{x^8}{}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=\frac{x^8}{2}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=\frac{x^8}{\placeholder{}}.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x^8.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=x.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}=.x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}.(x^{\frac{2}{5}}\div x^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}.