Kwadraatafsplitsen bij cirkels

Leerdoelen

•Je kunt met behulp van kwadraatafsplitsen het middelpunt van een cirkel bepalen.

•Je kunt met behulp van kwadraatafsplitsen de straal van een cirkel bepalen.

Waarom gebruik je kwadraatafsplitsen bij cirkels?

De vergelijking van een cirkel kan in verschillende vormen worden gegeven. Om het middelpunt\left(M\right)M)en de straal\left(r\right)r)van een cirkel direct te kunnen aflezen, is de vergelijking in de standaardvorm van de cirkelvergelijking nodig:Wanneer een cirkelvergelijking in een andere, algemene vorm is gegeven, bijvoorbeeldkan kwadraatafsplitsen worden gebruikt om deze om te zetten naar de standaardvorm.

Kwadraatafsplitsen is een algebraïsche techniek om een kwadratische uitdrukking (zoalste herschrijven naar de vorm(x-a)^2-b,(x-a)-b,waardoor een compleet kwadraat zichtbaar wordt.

Hoe pas je kwadraatafsplitsen toe op dex\textbf{-termen?}xxxxxxxxxxxxxxxxxx

Om de vergelijking om te zetten, groepeer je eerst dex\text{-termen}xxxxxxxxxxxxxxxen dey\text{-termen}.x\text{-termen}.De algemene vormC_1:\ x^2+y^2-8x+10y+32=0C_1:x^2+y^2-8x+10y+32=0C_1:x^2+y^2-8x+10y+32=0wordt dan:

Vervolgens splits je het kwadraat af voor dex\text{-termen}\ (x^2-8x).x\text{-termen}\ x\text{-termen}x\text{-termen}Dit doe je door de coëfficiënt van dex\text{-term}xxxxxxxxxxxxxte halveren.

1.De coëfficiënt van deisHalveer deze:\frac{-8}{2}=-4.\frac{-8}{2}=-4\frac{-8}{2}=-\frac{-8}{2}=\frac{-8}{2}\frac{-8}{\placeholder{}}\frac{-}{\placeholder{}}\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}--8-8/-8/2-8/2=-8/2=--8/2=-4-8 / 2 = -4.-8/-\frac{8}{\placeholder{}}-8-8/-8/2-8/2=-8/2=--8/2=-4

2.Schrijf de uitdrukking als

3.Werkuit om te controleren wat de extra term is: \left(x-4\right)^2=(x-4)(x-4)=x\cdot x+x\cdot(-4)+(-4)\cdot x+(-4)\cdot\left(-4\right)\left(x-4\right)^2=(x-4)(x-4)=x\cdot x+x\cdot(-4)+(-4)\cdot x+(-4)\cdot(-4

4.De uitdrukkingbevatextra ten opzichte vanDezemoet worden afgetrokken om de gelijkheid te behouden. Dus:

Hoe pas je kwadraatafsplitsen toe op dey\textbf{-termen?}

Hetzelfde principe wordt toegepast op dey\text{-termen }(y^2+10y).y\text{-termen}(y^2+10y).y\text{-termen\textbackslash}(y^2+10y).y\text{-termen}(y^2+10y).y\text{-termen\textbackslash}(y^2+10y).y\text{-termen\textbackslash }(y^2+10y).y\text{-termen\textbackslash }(y^2+10y).y\text{-termen\textbackslash }(y^2+10y).y\text{-termen\textbackslash}(y^2+10y).y\text{-termen}(y^2+10y).y\text{-termen}.(y^2+10y).

1.De coëfficiënt van dey\text{-term}y\text{-terme}y\text{-termen}isHalveer deze:\frac{10}{2}=5.\frac{10}{2}=5\frac{10}{2}=\frac{10}{2}\frac{10}{\placeholder{}}101\text{1}\text{10}\text{10/}\text{10/2}\text{10/}\text{10}\text{1}

2.Schrijf de uitdrukking als

3.Werkuit om te controleren wat de extra term is:

4.De uitdrukkingbevatextra ten opzichte vanDezemoet worden afgetrokken om de gelijkheid te behouden. Dus:

Hoe bepaal je het middelpunt en de straal na afsplitsen?

Nu kunnen de afgesplitste kwadraten worden teruggeplaatst in de cirkelvergelijking.

De oorspronkelijke vergelijking was:

Vervang dex\text{-termen}x\text{-termen}.eny\text{-termen:}y\text{-termen}y\text{-terme}y\text{-termen}

Combineer de constante termen:

De vergelijking wordt:

Verplaats de constante term naar de rechterkant van het is-teken:

Deze vergelijking is nu in de standaardvorm

Aflezen van het middelpunt en de straal:

•Het middelpuntis(x_{m},y_{m}).(x_{},y_{m}).(x_{M},y_{m}).(x,y_{m}).(xM,y_{m}).UitvolgtUitwat gelijk is aanvolgt Dus de coördinaten vanM(4,-5).

•De straalDe rechterkant van de vergelijking isHier is De straal r is de wortel vandus

Lijst van stappen voor kwadraatafsplitsen:

1.Groepeer dex\text{-termen}x\text{-termen}.\text{-termen}.en de

2.Halveer de coëfficiënt van dex\text{-term}x\text{-terme}en vorm(x\ \pm\text{ getal})^2.(x\pm\text{ getal})^2.(x\pm\text{ getal})^2.(x\pm\text{ getal})^2.(x\pm\text{ getal})^2.(x\pm\text{getal})^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm)^2.(x\pm g)^2.(x\pm ge)^2.(x\pm get)^2.(x\pm geta)^2.

3.Werk dit kwadraat uit en bepaal de extra constante term.

4.Trek deze extra constante term af.

5.Herhaal stap 2 t/m 4 voor de

6.Combineer alle constante termen.

7.Verplaats de gecombineerde constante term naar de rechterkant van de vergelijking.

8.Lees het middelpunt\left(x_{m},y_{m}\right)x_{m},y_{m})en de straalaf.