Leerdoelen
•Je kunt een cirkelvergelijking van de algemene vorm c:x^2+y^2+ax+by+c=0c:x^2+y^2+ax+by+c=c:x^2+y^2+ax+by+cc:x^2+y^2+ax+by+c:x^2+y^2+ax+bycx^2+y^2+ax+byc=x^2+y^2+ax+byc=x^2+y^2+ax+by=c=x^2+y^2+ax+by=0c=x^2+y^2+ax+by+=0c=x^2+y^2+ax+by+c=0c=x^2+y^2+ax+b+c=0c=x^2+y^2+ax+bY+c=0c=x^2+y^2+a+bY+c=0c=x^2+y^2+aa+bY+c=0c=x^2+y^2+a+bY+c=0c=x^2+y^2+aX+bY+c=0c=x^2+^2+aX+bY+c=0c=x^2+Y^2+aX+bY+c=0c=^2+Y^2+aX+bY+c=0c=X^2+Y^2+aX+bY+c=0cX^2+Y^2+aX+bY+c=0 omzetten naar de standaardvorm c:(x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=r^2c(x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=r^2c=(x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=r^2c=(x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=^2c=(x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=R^2c=(x-x_{m})^2+(y-_{m})^2=R^2c=(x-x_{m})^2+(y-Y_{m})^2=R^2c=(x-x_{m})^2+(y-Yy_{m})^2=R^2c=(x-x_{m})^2+(y-Y_{m})^2=R^2c=(x-x_{m})^2+(-Y_{m})^2=R^2c=(x-x_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2c=(x-_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2c=(x-X_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2c=(-X_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2c=(X-X_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2c(X-X_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2.
Hoe zet je een algemene cirkelvergelijking om naar de standaardvorm?
Om een algemene cirkelvergelijking om te zetten naar de standaardvorm, gebruik je de techniek van kwadraatafsplitsen. De algemene vorm is x^2+y^2+ax+by+c=0. De standaardvorm is (x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=r^2. Uit de standaardvorm kun je de straal (r) en de coördinaten van het middelpunt (M) (x_{m},y_{m})(x_{m},_{m})(x_{m},Y_{m})(_{m},Y_{m})direct aflezen. r^2^2e^2^2 is hierbij het kwadraat van de straal.
Kwadraatafsplitsen
Kwadraatafsplitsen is een algebraïsche techniek om een deel van een vergelijking, zoals x^2+bxx^2+bx^2+bX^2+bX, om te zetten naar de vorm (x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{\placeholder{}})^2(x+\frac{b}{2})^2-(b)^2(x+\frac{b}{2})^2-(b/)^2(x+\frac{b}{2})^2-(b/2)^2(x+\frac{b}{\placeholder{}})^2-(b/2)^2(x+b)^2-(b/2)^2(x+b/)^2-(b/2)^2(x+b/2)^2-(b/2)^2(+b/2)^2-(b/2)^2. Dit doe je als volgt:
1.Halveer de coëfficiënt van de x-term (of y-term) en plaats deze in een kwadraat, bijvoorbeeld (x+\frac{b}{2})^2(x+\frac{b}{\placeholder{}})^2(x+b)^2(x+b/)^2(x+b/2)^2(+b/2)^2.
2.Trek het kwadraat van de gehalveerde coëfficiënt hiervan af. Zo compenseer je het deel dat te veel is.
Voorbeeld kwadraatafsplitsen:
•x^2-8xx^2-8x^2-8X^2-8X wordt (x-4)^2-(-4)^2=(x-4)^2-16(x-4)^2-(-4)^2=(-4)^2-16(x-4)^2-(-4)^2=(X-4)^2-16(-4)^2-(-4)^2=(X-4)^2-16.
•De wordt gehalveerd tot .
•Vervolgens wordt eraf gehaald.
•y^2+10yy^2+10y^2+10Y^2+10Y wordt (y+5)^2-(5)^2=(y+5)^2-25(y+5)^2-(5)^2=(+5)^2-25(y+5)^2-(5)^2=(Y+5)^2-25(+5)^2-(5)^2=(Y+5)^2-25.
•De wordt gehalveerd tot .
•Vervolgens wordt eraf gehaald.
Hoe bereken je het middelpunt en de straal van een cirkel?
Om het middelpunt en de straal te berekenen, herschrijf je de algemene cirkelvergelijking naar de standaardvorm met behulp van kwadraatafsplitsen.
Voorbeeldberekening 1: Gegeven is de cirkel C_1C met de vergelijking x^2+y^2-8x+10y+31=0x^2+y^2-8x+10+31=0x^2+y^2-8x+10Y+31=0x^2+y^2-8+10Y+31=0x^2+y^2-8X+10Y+31=0x^2+^2-8X+10Y+31=0x^2+Y^2-8X+10Y+31=0^2+Y^2-8X+10Y+31=0. Bereken de coördinaten van het middelpunt en de straal.
1.Groeperen van termen: Zet de x-termen bij elkaar en de y-termen bij elkaar: x^2-8x+y^2+10y+31=0x^2-8x+y^2+10+31=0x^2-8x+y^2+10Y+31=0x^2-8x+^2+10Y+31=0x^2-8x+Y^2+10Y+31=0x^2-8+Y^2+10Y+31=0x^2-8X+Y^2+10Y+31=0^2-8X+Y^2+10Y+31=0
2.Kwadraatafsplitsen voor de -termen: x^2-8x=(x-4)^2-16x^2-8x=(-4)^2-16x^2-8x=(X-4)^2-16x^2-8=(X-4)^2-16x^2-8X=(X-4)^2-16^2-8X=(X-4)^2-16
3.Kwadraatafsplitsen voor de Y-termen: y^2+10y=(y+5)^2-25y^2+10y=(+5)^2-25y^2+10y=(Y+5)^2-25y^2+10=(Y+5)^2-25y^2+10Y=(Y+5)^2-25^2+10Y=(Y+5)^2-25
4.Substitueren en vereenvoudigen: Vervang de afgesplitste delen in de vergelijking: (x-4)^2-16+(y+5)^2-25+31=0(x-4)^2-16+(+5)^2-25+31=0(x-4)^2-16+(Y+5)^2-25+31=0(-4)^2-16+(Y+5)^2-25+31=0 (x-4)^2+(y+5)^2-16-25+31=0(x-4)^2+(+5)^2-16-25+31=0(x-4)^2+(Y+5)^2-16-25+31=0(-4)^2+(Y+5)^2-16-25+31=0 (x-4)^2+(y+5)^2-41+31=0(x-4)^2+(+5)^2-41+31=0(x-4)^2+(Y+5)^2-41+31=0(-4)^2+(Y+5)^2-41+31=0 (x-4)^2+(y+5)^2-10=0(x-4)^2+(+5)^2-10=0(x-4)^2+(Y+5)^2-10=0(-4)^2+(Y+5)^2-10=0
5.Constanten naar de rechterkant verplaatsen: (x-4)^2+(y+5)^2=10(x-4)^2+(+5)^2=10(x-4)^2+(Y+5)^2=10(-4)^2+(Y+5)^2=10
Nu is de vergelijking in de standaardvorm (x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=r^2(x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=^2(x-x_{m})^2+(y-y_{m})^2=R^2(x-x_{m})^2+(y-_{m})^2=R^2(x-x_{m})^2+(y-Y_{m})^2=R^2(x-x_{m})^2+(y-Yy_{m})^2=R^2(x-x_{m})^2+(y-Y_{m})^2=R^2(x-x_{m})^2+(-Y_{m})^2=R^2(x-x_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2(x-_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2(x-X_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2(-X_{m})^2+(Y-Y_{m})^2=R^2. Het middelpunt is (x_{m},y_{m})(x_{m},_{m})(x_{m},Y_{m})(_{m},Y_{m}). Let op de mintekens in de formule. x_{m}_{m} is 4 en y_{m}_{m} is -5 (want y+5y55+5+y5+5 is y-(-5)-(-5)). De straal r is de wortel van de rechterkant van de vergelijking.
•Middelpunt :
•Straal r:
Voorbeeldberekening 2: Gegeven is de cirkel x^2+y^2+6x-10y-2=0x^2+y^2+6x-10-2=0x^2+y^2+6x-10Y-2=0x^2+y^2+6-10Y-2=0x^2+y^2+6X-10Y-2=0x^2+^2+6X-10Y-2=0x^2+Y^2+6X-10Y-2=0^2+Y^2+6X-10Y-2=0. Bereken exact de afstand van het middelpunt tot de X-as en tot de Y-as.
1.Groeperen van termen: x^2+6x+y^2-10y-2=0x^2+6x+y^2-10-2=0x^2+6x+y^2-10Y-2=0x^2+6x+^2-10Y-2=0x^2+6x+Y^2-10Y-2=0x^2+6+Y^2-10Y-2=0x^2+6X+Y^2-10Y-2=0^2+6X+Y^2-10Y-2=0
2.Kwadraatafsplitsen voor de x-termen: x^2+6x=(x+3)^2-9x^2+6x=(+3)^2-9x^2+6x=(X+3)^2-9x^2+6=(X+3)^2-9x^2+6X=(X+3)^2-9^2+6X=(X+3)^2-9
3.Kwadraatafsplitsen voor de Y-termen: y^2-10y=(y-5)^2-25y^2-10y=(-5)^2-25y^2-10y=(Y-5)^2-25y^2-10=(Y-5)^2-25y^2-10Y=(Y-5)^2-25
4.Substitueren en vereenvoudigen: (x+3)^2-9+(y-5)^2-25-2=0(x+3)^2-9+(-5)^2-25-2=0(x+3)^2-9+(Y-5)^2-25-2=0(+3)^2-9+(Y-5)^2-25-2=0 (x+3)^2+(y-5)^2-36=0(x+3)^2+(-5)^2-36=0(x+3)^2+(Y-5)^2-36=0(+3)^2+(Y-5)^2-36=0
5.Constanten naar de rechterkant verplaatsen: (x+3)^2+(y-5)^2=36(x+3)^2+(-5)^2=36(x+3)^2+(Y-5)^2=36(+3)^2+(Y-5)^2=36
Uit deze standaardvorm kunnen we het middelpunt en de straal aflezen:
•Middelpunt :
•Straal r:
Hoe bereken je de afstand van het middelpunt tot de assen?
De afstand van het middelpunt tot de assen bereken je aan de hand van de coördinaten van het middelpunt.
•De afstand tot de X-as is de verticale afstand van het middelpunt tot de X-as. Deze is gelijk aan de absolute waarde van de Y-coördinaat van het middelpunt.
•De afstand tot de Y-as is de horizontale afstand van het middelpunt tot de Y-as. Deze is gelijk aan de absolute waarde van de X-coördinaat van het middelpunt.
Voor middelpunt :
•Afstand van tot de X-as: De Y-coördinaat van is 5. De absolute waarde van 5 is 5. De afstand van tot de X-as is 5.
•Afstand van M tot de Y-as: De X-coördinaat van is -3. De absolute waarde van -3 is 3. De afstand van tot de Y-as is 3.
