Goniometrie
\begin{aligned} & \sin (t+u)=\sin (t) \cos (u)+\cos (t) \sin (u) \\ & \sin (t-u)=\sin (t) \cos (u)-\cos (t) \sin (u) \\ & \cos (t+u)=\cos (t) \cos (u)-\sin (t) \sin (u) \\ & \cos (t-u)=\cos (t) \cos (u)+\sin (t) \sin (u) \\ & \sin (2 t)=2 \sin (t) \cos (t) \\ & \cos (2 t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)=2 \cos ^{2}(t)-1=1-2 \sin ^{2}(t) \end{aligned}
Een wachttijd is de tijd die je op een dienst moet wachten. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de tijd die nodig is om een medewerker van een klantenservice aan de telefoon te krijgen of de tijd die nodig is voordat je wordt geholpen bij de bakker.
In 1909 ontwikkelde de Deense wiskundige Agner Erlang een wiskundig model om te berekenen in hoeveel procent van de gevallen bepaalde wachttijden voorkomen. Dit percentage komt overeen met de oppervlakte onder een grafiek.
In deze opgave gaan we uit van een dienst waarbij het volgende model van Erlang hoort:
f(t)=50 \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} t} \text { met } t \geq 0
Hierbij is$tde tijd in minuten.
Stel dat je wilt weten in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd tussen 3 en 4 minuten ligt. Je bepaalt dan de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van$f, de$tas en de lijnen met vergelijking$t=3en$t=4. Deze oppervalakte blijkt (afgerond) 8,8 te zijn.
Dit wil zeggen dat in$8{,}8 \%van alle gevallen de wachttijd tussen 3 en 4 minuten ligt. Zie de figuur.
Een wachttijd van meer dan twintig minuten komt in dit voorbeeld zelden voor. Daarom wordt de gemiddelde wachttijd berekend met:
\frac{1}{100} \cdot \int_{0}^{20} t \cdot f(t) \mathrm{d} t
Om de gemiddelde wachttijd te kunnen berekenen, maakt iemand gebruik van het gegeven dat$y=(\frac{1}{a} t-\frac{1}{a^{2}}) \mathrm{e}^{a t}een primitieve is van$y=t \mathrm{e}^{a t}(met$a \neq 0).
Bewijs dat$y=(\frac{1}{a} t-\frac{1}{a^{2}}) \mathrm{e}^{a t}inderdaad een juiste primitieve is van$y=t \mathrm{e}^{a t}voor elke waarde van$a(met$a \neq 0).
Op deze pagina behandelen we vraag 4 van het centraal examen wiskunde B vwo 2024 – tijdvak 1. Deze vraag is onderdeel van Wachttijden, en is 3 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
