Goniometrie
\begin{aligned} & \sin (t+u)=\sin (t) \cos (u)+\cos (t) \sin (u) \\ & \sin (t-u)=\sin (t) \cos (u)-\cos (t) \sin (u) \\ & \cos (t+u)=\cos (t) \cos (u)-\sin (t) \sin (u) \\ & \cos (t-u)=\cos (t) \cos (u)+\sin (t) \sin (u) \\ & \sin (2 t)=2 \sin (t) \cos (t) \\ & \cos (2 t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)=2 \cos ^{2}(t)-1=1-2 \sin ^{2}(t) \end{aligned}
In deze opgave kijken we naar de baan van een basketbal, wanneer een speler deze mikt op de basket, het cirkelvormige doel. We gebruiken hiervoor een wiskundig model, waarbij we de bal als een punt beschouwen.
We nemen aan dat de bal vanafmeter hoogte wordt losgelaten.
Voor de baan van de bal geldt:
\left\{\begin{array}{l} x(t)=v \cdot \cos (\alpha) \cdot t \\ y(t)=v \cdot \sin (\alpha) \cdot t-4,9 t^{2}+2,55 \end{array}\right.
Hierbij geldt:
•$tis de tijd in seconden vanaf het moment van loslaten;
•x$\quad xis de horizontale afstand van de bal tot de speler in meters;
•$yis de hoogte van de bal in meters;
•v$\quad vis de snelheid in meters per seconde van de bal op het moment van loslaten;
•\alpha$\quad \alphais de grootte van de hoek in graden tussen de werprichting en een horizontale lijn op het moment van loslaten.
De vorm van de baan is afhankelijk van de parameters$ven$\alpha.
Zie figuur 1, waarin een deel van de baan is getekend.
Een basketballer staat op een horizontale afstand vanmeter van het midden van de basket. De basket hangt op een hoogte van meter.
De basketballer gooit de bal met een bepaalde snelheid onder een hoekvan60\degree60606060606. In deze situatie geldt: \left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(60\degree)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(6\degree)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\degree)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin()\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin()\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin()\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin()\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin()\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60\degree)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(60)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(6)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos()\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x(t)=v\cdot\cos(\alpha)\cdot t\\ y(t)=v\cdot\sin(\alpha)\cdot t-4,9t^2+2,55\end{array}\right.
Als de bal op een horizontale afstand vanmeter vanaf de speler een hoogte vanmeter heeft, scoort hij.
Bereken in deze situatie algebraïsch de snelheid$vvan de bal op het moment van loslaten. Geef je eindantwoord in meters per seconde in één decimaal.
Op deze pagina behandelen we vraag 10 van het centraal examen wiskunde B vwo 2023 – tijdvak 2. Deze vraag is onderdeel van Basketbal, en is 5 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
