Goniometrie
\begin{aligned} & \sin (t+u)=\sin (t) \cos (u)+\cos (t) \sin (u) \\ & \sin (t-u)=\sin (t) \cos (u)-\cos (t) \sin (u) \\ & \cos (t+u)=\cos (t) \cos (u)-\sin (t) \sin (u) \\ & \cos (t-u)=\cos (t) \cos (u)+\sin (t) \sin (u) \\ & \sin (2 t)=2 \sin (t) \cos (t) \\ & \cos (2 t)=\cos ^{2}(t)-\sin ^{2}(t)=2 \cos ^{2}(t)-1=1-2 \sin ^{2}(t) \end{aligned}
Op een spaarrekening wordt een bedrag gestort. Het jaarlijkse rentepercentage op deze spaarrekening is constant. Hierdoor groeit het bedrag op de spaarrekening exponentieel. Voor de spaarder is het interessant om te weten na hoeveel jaar het bedrag is verdubbeld.
De verdubbelingstijd is exact te berekenen met de formule$T=\frac{\ln (2)}{\ln (1+\frac{p}{100})}.
Hierin is$Tde verdubbelingstijd in jaren en$phet jaarlijkse rentepercentage.
Voor kleine positieve waarden van$xligt lijn$kdicht bij de grafiek van$N.
Je kunt dus zeggen dat voor kleine positieve waarden van$pgeldt dat$\ln (1+\frac{p}{100})ongeveer gelijk is aan$\frac{1}{100} p. Dan geldt dus:
T \approx \frac{\ln (2)}{\frac{1}{100} p} \text { ofwel } T \approx \frac{100 \cdot \ln (2)}{p} \approx \frac{70}{p}
Daarmee is een voorbeeld gevonden van een bankenformule: de exacte verdubbelingstijd$Tkan voor kleine positieve waarden van$pbenaderd worden door$\frac{70}{p}te berekenen. Deze benadering noemen we$T_{1}.
De benadering met de formule$T_{1}=\frac{70}{p}verschilt voor toenemende waarden van$psteeds meer van de waarde volgens de exacte formule, waarmee de benadering dus steeds slechter wordt. Daarom wordt in de praktijk het getal 70 in de teller aangepast als$pgroter wordt, bijvoorbeeld naar 72.
Deze benadering noemen we$T_{2}.
In de tabel wordt voor twee waarden van$pde verdubbelingstijd in jaren volgens de bankenformules$T_{1}=\frac{70}{p}en$T_{2}=\frac{72}{p}vergeleken met de verdubbelingstijd volgens de exacte formule.
tabel
rentepercentage | ||
$p=1{,}5 | $p=5{,}5 | |
exacte formule$T=\frac{\ln (2)}{\ln (1+\frac{p}{100})} | 46,56 | 12,95 |
bankenformule$T_{1}=\frac{70}{p} | 46,67 | 12,73 |
bankenformule$T_{2}=\frac{72}{p} | 48,00 | 13,09 |
In de tabel is te zien dat voor$p=1{,}5de bankenformule$T_{1}=\frac{70}{p}een betere benadering geeft dan de bankenformule$T_{2}=\frac{72}{p}. In de tabel is ook te zien dat voor$p=5{,}5de benadering met$T_{2}=\frac{72}{p}beter is dan met$T_{1}=\frac{70}{p}.
Vanaf een bepaald rentepercentage$pgeeft de formule$T_{2}=\frac{72}{p}een betere benadering van de exacte verdubbelingstijd dan de formule$T_{1}=\frac{70}{p}.
Bereken dit rentepercentage$p. Geef je eindantwoord in één decimaal.
Op deze pagina behandelen we vraag 10 van het centraal examen wiskunde B vwo 2021 – tijdvak 2. Deze vraag is onderdeel van Bankenformules, en is 5 punten waard.
Je kunt hier zelf het antwoord invullen en vervolgens direct de uitwerking en uitleg bekijken.
Daarnaast kun je:
