Telproblemen 1

Leerdoelen

•Je kunt een stappenplan gebruiken om telproblemen op te lossen

•Je kunt een diagram tekenen en gebruiken bij een telprobleem

•Je kunt faculteit, permutaties en combinaties toepassen om berekeningen uit te voeren

Stappenplan voor telproblemen

Telproblemen kunnen we systematisch aanpakken aan de hand van drie stappen.

1.Als eerste kijken we naar de volgorde. Als de volgorde belangrijk is in het probleem, dan kunnen we systematisch noteren en kijken we of het een machtsboom of een faculteitsboom betreft. Bij een machtsboom hebben we te maken met a^m, bij een faculteitsboom rekenen we uit met nPr, wat we ook wel permutaties noemen. Als de volgorde niet van belang is, is er sprake van\small{\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)}wegen in een rooster. Hier hebben we te maken met nCr, wat we ook wel combinaties noemen.

2.De tweede stap is kijken of er sprake is van terugleggen. Bij telproblemen komt dit vaak voor in de vorm van een vaasmodel. Dit is wanneer je bepaalde items eruit haalt, kijkt welke je hebt en vervolgens beslist of je deze teruglegt of niet voordat je het volgende item pakt. Als er sprake is van terugleggen, heb je te maken met een machtsboom a^m. Hierbij is a het aantal keuzes per moment en m het aantal keuzemomenten. Als er geen sprake is van terugleggen, heb je te maken met een faculteitsboom\frac{n!}{(n - m)!}frac{n!}{(n - m)!}}\large{\frac{n!}{(n - m)!}}. Hierbij is n het totaal aantal keuzes en m het aantal keuzemomenten.

3.De derde stap is optellen of vermenigvuldigen om het aantal combinaties te berekenen. Het hangt af van de situatie of we moeten optellen of vermenigvuldigen. Blijft het dezelfde situatie, dan vermenigvuldigen we. Verandert de situatie, dan tellen we op.

Boomdiagrammen en tafels

Boomdiagrammen en tabellen van uitkomsten zijn ook zeer nuttige tools voor het oplossen van telproblemen. In een boomdiagram teken je alle mogelijkheden uit, zie onderstaande afbeelding.

In een tabel van uitkomsten worden alle mogelijke uitkomsten bij elkaar gezet. Zo kun je gemakkelijk het aantal mogelijkheden zien voor bepaalde uitkomsten. Een voorbeeld van gooien met twee dobbelstenen wordt weergegeven in onderstaande tabel met uitkomsten.

Faculteit begrijpen

Bij het oplossen van telproblemen komen we ook het begrip faculteit tegen. Faculteit is een manier om het product van een serie getallen te berekenen. Het uitroepteken (!) dat we gebruiken om een faculteit aan te geven, betekent 'vermenigvuldig alle getallen vanaf dat getal tot en met 1'. Bijvoorbeeld, 5! betekent 5 · 4 · 3 · 2 · 1, wat neerkomt op 120.