Wanneer je met functies werkt zoals f(x) = axb en je differentieert deze functie, krijg je de afgeleide van f(x), die wordt weergegeven als f'(x). De exponent (b) komt naar voren en vermenigvuldigt met de bestaande coëfficiënt (a). De exponent wordt dan een minder. Een voorbeeld f(x) = 3x4, dan verkrijgen we f'(x) = 12x³.
Regels van differentiëren: som-, product- en quotiëntregel
Er zijn drie belangrijke regels die je kan gebruiken bij differentiëren: de somregel, de productregel en de quotiëntregel.
Somregel
Als we de som van twee functies hebben, bijvoorbeeld f(x) = g(x) + h(x), wordt de afgeleide f'(x) = g'(x) + h'(x). Dit werkt op een soortgelijke manier voor de verschilfunctie waarbij als y(x) = g(x) - h(x), de afgeleide y'(x) = g'(x) - h'(x) is.
Productregel
De productregel wordt gebruikt wanneer we het product van twee functies differentiëren. Hier is de formule iets ingewikkelder: de afgeleide van f(x) = g(x) · h(x) is f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x).
Quotiëntregel
Een quotiënt is het resultaat van een deling. De quotiëntregel bij differentiëren, gedefinieerd als de afgeleide van
Helling van de raaklijn
Wat berekenen we eigenlijk met de afgeleide? De afgeleide berekent de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Deze coëfficiënt geeft de helling weer van de raaklijn op de grafiek van een functie.
Als de richtingscoëfficiënt of de afgeleide positief is, dan is de grafiek van de functie stijgend. Als de afgeleide groter is dan 0, dan is de richtingscoëfficiënt groter dan 0, wat betekent dat de grafiek stijgt.
Als de richtingscoëfficiënt of afgeleide negatief is, is de grafiek dalend.
Hellinggrafiek en gewone grafiek
De hellinggrafiek of grafiek van de afgeleide laat de helling van de grafiek op verschillende x-punten zien. In onderstaande afbeelding is in de onderste grafiek de hellinggrafiek van de bovenste grafiek te zien. Je ziet dat de grafiek eerst afnemend stijgend is en daarna een toenemende dalende grafiek is. Op de overgang hiervan is de afgeleide gelijk aan 0.
Praktijkvoorbeeld
In een praktijkvoorbeeld wordt de populatie aangegeven door de formule N = 0,0004t³ + 170 + ln(4t). Deze kan worden gedifferentieerd en we kunnen de hellinggrafiek tekenen om de stijging of daling in de eerste 30 dagen te bepalen. Als eerste gaan we de formule differentiëren. We krijgen dan
