Redeneren met behulp van de afgeleide

Wanneer je met functies werkt zoals f(x) = ax^b en je differentieert deze functie, krijg je de afgeleide van f(x), die wordt weergegeven als f'(x). De exponent (b) komt naar voren en vermenigvuldigt met de bestaande coëfficiënt (a). De exponent wordt dan een minder. Een voorbeeld f(x) = 3x⁴, dan verkrijgen we f'(x) = 12x³.

Regels van differentiëren: som-, product- en quotiëntregel

Er zijn drie belangrijke regels die je kan gebruiken bij differentiëren: de somregel, de productregel en de quotiëntregel.

Somregel

Als we de som van twee functies hebben, bijvoorbeeld f(x) = g(x) + h(x), wordt de afgeleide f'(x) = g'(x) + h'(x). Dit werkt op een soortgelijke manier voor de verschilfunctie waarbij als y(x) = g(x) - h(x), de afgeleide y'(x) = g'(x) - h'(x) is.

Productregel

De productregel wordt gebruikt wanneer we het product van twee functies differentiëren. Hier is de formule iets ingewikkelder: de afgeleide van f(x) = g(x) · h(x) is f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x).

Quotiëntregel

Een quotiënt is het resultaat van een deling. De quotiëntregel bij differentiëren, gedefinieerd als de afgeleide vanf\left(x\right)=\frac{g(x)}{h(x)}f\left(x\right)\frac{g(x)}{h(x)}f\left(x\frac{g(x)}{h(x)}\right)f\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right)f\frac{g(x)}{h(x)}f\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right.f\left(x\frac{g(x)}{h(x)}\right.f\left(x_{}\frac{g(x)}{h(x)}\right.f\left(x_{}\frac{g(x)}{h(x)}\right)f\left(x\frac{g(x)}{h(x)}\right)f\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right)f\frac{g(x)}{h(x)}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g(x)}{h(x)}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\frac{g(x)}{h(x)}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}\large{\frac{g(x)}{h(x)}}wordt gegeven doorf^{\prime}\left(x\right)=\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}f^{\prime}\left(x\right)\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}f^{\prime}\left(x\right)-\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}f^{\prime}\left(x\right)\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}f^{\prime}\left(x\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\right)f^{\prime}\left(\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\right)f^{\prime}\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}f\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg^{\prime}(x)-g(x)\cdot h^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg^{\prime}(x)-g(x)^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg^{\prime}(x)-g(x)^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg^{\prime}(x)-g(x)^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg^{\prime}(x)-g(x)^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg^{\prime}(x)-g(x)^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg^{\prime}(x)-g(x)^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg^{\prime}(x)-g(x)^{\prime}(x)}{h(x)^2}\frac{h(x)\cdotg'(x)-g(x)\cdoth'(x)}{h(x)^2. Dit is een ingewikkelde formule, dus hier is een ezelsbruggetje voor! Namelijk\frac{NAT-TAN}{N^2}\large{\frac{NAT - TAN}{N^{2}}}. NAT staat voor noemer keer de afgeleide van de teller en TAN staat voor teller keer de afgeleide van de noemer. Dit deel je dan door N2 wat de noemer in het kwadraat is.

Helling van de raaklijn

Wat berekenen we eigenlijk met de afgeleide? De afgeleide berekent de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Deze coëfficiënt geeft de helling weer van de raaklijn op de grafiek van een functie.

Als de richtingscoëfficiënt of de afgeleide positief is, dan is de grafiek van de functie stijgend. Als de afgeleide groter is dan 0, dan is de richtingscoëfficiënt groter dan 0, wat betekent dat de grafiek stijgt.

Als de richtingscoëfficiënt of afgeleide negatief is, is de grafiek dalend.

Hellinggrafiek en gewone grafiek

De hellinggrafiek of grafiek van de afgeleide laat de helling van de grafiek op verschillende x-punten zien. In onderstaande afbeelding is in de onderste grafiek de hellinggrafiek van de bovenste grafiek te zien. Je ziet dat de grafiek eerst afnemend stijgend is en daarna een toenemende dalende grafiek is. Op de overgang hiervan is de afgeleide gelijk aan 0.

Praktijkvoorbeeld

In een praktijkvoorbeeld wordt de populatie aangegeven door de formule N = 0,0004t³ + 170 + ln(4t). Deze kan worden gedifferentieerd en we kunnen de hellinggrafiek tekenen om de stijging of daling in de eerste 30 dagen te bepalen. Als eerste gaan we de formule differentiëren. We krijgen danN^{\prime}=0,0012t^2+\frac{4}{4t}N^{\prime}=0,0012t^2\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}N\frac{4}{4t}\frac{4}{4t}\large{\frac{4}{4t}}\frac{4}{4t}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}\large{\frac{4}{4t}}. Dit is ook te schrijven alsN^{\prime}=0,0012t^2+\frac{1}{t}N^{\prime}=0,0012t+\frac{1}{t}. Deze grafiek kunnen we plotten, wat te zien is in onderstaande afbeelding. In deze hellinggrafiek liggen alle waarden boven de t-as, dus is de hoeveelheid stijgend gedurende de eerste 30 dagen. Eerst is de hellinggrafiek dalend (tot ongeveer 8 dagen) en daarna stijgend. Dus de populatie is eerst afnemend stijgend en vanaf de 8e of 9e dag toenemend stijgend.