Leerdoelen
•Je kunt exponentiële vergelijkingen oplossen door deze te herleiden tot hetzelfde grondtal.
•Je kunt exponentiële vergelijkingen oplossen met behulp van logaritmes.
•Je kunt een logaritmische vergelijking omschrijven naar een exponentiële vergelijking.
Rekenregels van machten
•a^1=a
•a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}
•\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}
•\left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq}
•\left(a\cdot b\right)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}
•\left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}
•a^{\left(\frac{p}{r}\right)}=\sqrt[r]{a^{p}}
•\frac{1}{a^p}=a^{-p}
•a^0=1
Hetzelfde grondtal
Voor het oplossen met hetzelfde grondtal, maken we eerst een 'spiekbriefje'. Dit spiekbriefje is in onderstaande afbeelding te zien. De tabel toont machten van de grondtallen 2, 3, 4 en 5. De eerste kolom geeft de exponent weer, en de daaropvolgende kolommen tonen de uitkomst van het grondtal tot die exponent. Dus in de tweede rij staan de grondtallen tot de macht twee.
Exponenten | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|
x² | 4 | 9 | 16 | 25 |
x³ | 8 | 27 | 64 | 125 |
x⁴ | 16 | 81 | 256 | 625 |
x⁵ | 32 | 243 | 1024 | 3125 |
x⁶ | 64 | 729 | 4096 |
|
x⁷ | 128 | 2187 |
|
|
x⁸ | 256 | 6561 |
|
|
x⁹ | 512 |
|
|
|
Met dit spiekbriefje kunnen we gemakkelijk onderstaande opgaven oplossen.
•Los op32^{x}=256. We zien in de kolom van het getal2dat daar32en256in staan. Dit betekent dat beide getallen als macht van2te schrijven zijn. Dus(2^5)^{x}=2^8. Dit is gelijk aan2^{5x}=2^8. Dit betekent dat5x = 8en dusx=\frac{8}{5}.
•Los op81^{\left(x+2\right)}=729. We zien in de kolom van het getal3dat daar81en729in staan. Dus81^{\left(x+2\right)}=729is ook te schrijven als(3^4)^{\left(x+2\right)}=3^6. Dit is gelijk aan3^{\left(4x+8\right)}=3^6. Dit betekent dat4x + 8 = 6en dusx=-\frac{1}{2}.
Exponentiële en logaritmische vergelijkingen
Een logaritmische vergelijking is in feite omgekeerd aan een exponentiële vergelijking. We hebben de formuleg^{a}=men kunnen dit omzetten naar\log_{g}{m}=a.
Voorbeelden
•3^{c}=81, dusc=\log_3{81}, dit is gelijk aan4, dusc = 4.
•\log_4{m}=5, dusm=4^5=1024, dusm = 1024.
Onthoud dat het grondtal groter moet zijn dan0en dat het grondtal geen1mag zijn.
Een rekenregel voor logaritmes is\log_{g}m=\frac{\log m}{\log g}.
Voorbeelden
•Los op30^{x}=200. We schrijven dit eerst om totx=\log_{30}200. Dan maken we gebruik van de bovengenoemde rekenregel,x=\frac{\log200}{\log30}, dit is ongeveer gelijk aan1{,}558, dusx\approx1{,}558.
•Los op7^{\left(x+4\right)}=315. Omschrijven geeftx+4=\log_7\left(315\right). Het toepassen van de rekenregel geeftx+4=\frac{\log315}{\log7}. Dit is ongeveer gelijk aan2{,}956, dusx+4=2{,}956\rightarrow x=-1{,}044.
