Machtsverbanden

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat een machtsverband is

•Je kunt uitleggen hoe de grafiek loopt bij verschillende machtsverbanden

Machtsverband

Een machtsverband wordt beschreven door de basisformuley=ax^{b}y=ax. Hierin zijnenconstanten, die getallen zoals3,-5\text{ of }\frac17$$3, -5 \text{ of } \frac{1}{7}$$.3{,}\,-5\text{ of }\frac173{,}\,-5\text{ of }\frac{71}{7}3{,}\,-5\text{ of }\frac{71}{\placeholder{}}3{,}\,-5\text{ of }713{,}\,-5\text{ of }73{,}\,-5\text{ of }3{,}\,-5\text{ of 1}3{,}\,-5\text{ of }3{,}\,-5\text{ of }73{,}\,-5\text{ of 1}73{,}\,-5\text{ of }73{,}\,-5\text{ of 1}73{,}\,-5\text{ of 1/}73{,}\,-5\text{ of 1/7}73{,}\,-5\text{ of 1/}73{,}\,-5\text{ of 1}73{,}\,-5\text{ of }73{,}\,5\text{ of }73{,}5\text{ of }73{,}5\text{ of }73{,}5\text{ of }735\text{ of }73\,5\text{ of }73\,\,5\text{ of }73\,5\text{ of }73\,5\text{ of }73\,5\text{ of }735\text{ of }735\text{ of }735\text{ of }73,5\text{ of }73,5\text{ of}73,5\text{ of}73,5\text{of}73,573,573,573,573,573,573,573,573,573,573,5o7kunnen zijn.wordt de exponent genoemd enx^{b}xde macht.

Speciale machtsverbanden

Het lineaire verband, waarbijb=1b=1), is een speciaal machtsverband, waarbij de constanteade richtingscoëfficiënt van de lijn is. Wanneera>0a>ageeft dit verband een constante stijging aan en wanneera<0a<ageeft dit verband een constante daling aan.

Een constante functie, waarbijb=0b=0), is ook een speciaal machtsverband. Dit verband is een constante horizontale lijn opy=ay=y.

Kwadratisch verband

De grafiek van een kwadratisch verband (y=ax^2y=ax^{}y=ax^{b}y=axy=ay=y) wordt een parabool genoemd. Wanneeris de grafiek een dalparabool (zoals bij y=x^2y=x^2)y=x)) en wanneeris het een bergparabool (zoals bijy=-x^2y=-x^2)y=-x^2y=-x). Het hoogste punt van een bergparabool of het diepste punt van een dalparabool wordt de top genoemd.

Een handige manier om de grafieken van de parabolen te onthouden, is door middel van smileys. Een lachende smiley hoort bij een positieve constanteen dus bij een dalparabool. Een pruilende smiley hoort bij een negatieve constanteen dus bij een bergparabool.

Hogere-machtsverbanden

Wanneer het exponent een getal hoger danwordt, spreken we van een hogere-machtsverband. Zoals in de formuley=3x^4y=3xy=3y=yg(x)=7x^3+4x-17g(x)=7x+4x-17. De basisformule voor een hogere-machtsverband blijfty=ax^{b}y=ax.

Grafieken bij verschillende exponenten

Exponent groter dan 1

Alsgroter is danen een even getal is, krijg je zoals we net zagen een parabool. Alsoneven is, krijg je echter een andere vorm, een soort slingervorm (in de video wordt hiervoor ook de niet-officiële naam ‘Libramentum’ gebruikt). Dit soort grafieken hebben een buigpunt, een punt waar de kromming van de grafiek verandert.

Negatieve exponent

Er kunnen ook exponenten zijn die kleiner zijn dan, zoalsb=-1,-2\text{ of}-3b=-1,-2\text{ of }-3b=-1,-2\text{ of}-3b=-1,-2\text{ of}-3b=-1,-2\text{of}-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2-3b=-1,-2\left\lbrace\right.-3b=-1,-2\left\lbrace o\right.-3b=-1,-2\left\lbrace of\right.-3b=-1,-2\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2e\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2\left\lbrace of\right\rbrace-3b=-1,-2\left\lbrace of-3\right\rbrace. Indieneven is, zoals-2\text{ of}-4-2\text{ of}-44-2\text{ of}-4-2\text{ of }-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2-4-2o-4, dan krijg je grafieken die doen denken aan walvisstaarten (whale tails), wat weergegeven is in de bovenste grafieken in onderstaande afbeelding.

Alsoneven is, zoals-1,-3\text{ of}-17-1,-3\text{ of }-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3-17-1,-3o-17, krijgen we een hyperbool. Dit is in de onderste grafieken in onderstaande afbeelding te zien. De lijnen(de y-as) en(de x-as) zijn de asymptoten van de grafiek voor zowel negatieve even als negatieve oneven exponenten. Dit komt doordat een negatieve exponent een breuk impliceert, zoalsx^{-2}=\frac{1}{x^2}x^{-2}=\frac{1}{x^2}1x^{-2}=\frac{1}{x^2}1xx^{-2}=\frac{1}{x^2}1x2x^{-2}=\frac{1}{x^2}1x2xx^{-2}=\frac{1}{x^2}1x2x-x^{-2}=\frac{1}{x^2}1x2x-2x^{-2}=\frac{1}{x^2}1x2x-2=x^{-2}=\frac{1}{x^2}1x2x-2=xx^{-2}=\frac{1}{x^2}1x2x-2=x2x^{-2}=\frac{1}{x^2}1x2x-2=x21x^{-2}=\frac{1}{x}1x2x-2=x21x^{-2}=\frac{1}{\placeholder{}}1x2x-2=x21x^{-2}=11x2x-2=x21x^{-2}=1x2x-2=x21x^{-2}1x2x-2=x21x^{-2}-1x2x-2=x21x^{-2}-21x2x-2=x21x^{-2}-2=1x2x-2=x21x^{-}-2=1x2x-2=x21. De noemer\left(x^2\right)\left(x\right)\left(x2x2\right)mag nooit nul zijn, dusx\ne0x\ne0xx\ne0xx\ne0x=. Omdat de telleris, kan de breuk zelf ook nooit nul worden, dusy\ne0.

Gebroken exponent

Als de exponenteen breuk is die groter is dan 1, krijgt de grafiek de vorm van een halve parabool. De grafiek is toenemend stijgend of dalend, afhankelijk van de waarde van. Vooris de grafiek toenemend stijgend en vooris deze toenemend dalend. Dit is weergegeven in de bovenste grafieken van onderstaande afbeelding.

Als de breuk tussen0en1ligt, krijgt de grafiek de vorm van een wortelgrafiek, zoalsx^{\frac12}=\sqrt{x}x^{\frac12}=\sqrt{x}xx^{\frac12}=\sqrt{x}xxx^{\frac12}=\sqrt{x}xx1x^{\frac12}=\sqrt{x}xx1/x^{\frac12}=\sqrt{x}xx1/2x^{\frac12}=\sqrt{x}xx1/2=x^{\frac12}=\sqrt{x}xx1/2=xx^{\frac12}=\sqrt{}xx1/2=xx^{\frac12}=xx1/2=xx^{\frac12}=xx1/2=xx^{\frac12}=xx1/2=xx^{\frac12}=xx1/2=xx^{\frac{1}{\placeholder{}}}=xx1/2=xx^1=xx1/2=xx=xx1/2=xx1=xx1/2=xx1/=xx1/2=x. De grafiek is afnemend stijgend of dalend, afhankelijk van de waarde van. Vooris de grafiek afnemend stijgend en vooris deze afnemend dalend.

Omdat de wortel van een negatief getal niet is gedefinieerd binnen de reële getallen, moetgroter dan of gelijk aan nul zijn. Daarom hebben beide soorten grafieken een randpunt, wat het beginpunt van de grafiek is.

Het oplossen van machtsverbanden

Het oplossen van een machtsverband zoalsx^{b}=cx^{}=cx^{n}=cx=cis afhankelijk van de waarde vanbb\text{ }b\text{ e}b\text{ en}b\text{ en }b\text{ en }c\text{ en }cn\text{ en }cn\text{ en}cn\text{ en}cn\text{en}cncncncncncncncncncncnecenc.

•Wanneerbeven is enc>0c>c, zijn er twee mogelijke oplossingen. De oplossingen zijn danx=c^{\frac{1}{b}}\text{ en }x=-c^{\frac{1}{b}}x=c^{\frac{1}{b}}\text{ en }x=-c^{\frac{1}{}}x=c^{\frac{1}{b}}\text{ en }x=-c^{\frac{1}{n}}x=c^{\frac{1}{}}\text{ en }x=-c^{\frac{1}{n}}x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x=-c^{\frac{1}{n}}\left.x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x=-c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x=-c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x=-c^{\frac{1}{\placeholder{}}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x=-c^1\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x=-c\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x=-\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x=\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }x\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\text{ en }\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{n}}\right)\left(x=c^{\frac{1}{\placeholder{}}}\right)\left(x=c^1\right)\left(x=\frac{c^1}{\placeholder{}}\right)\left(x=c^1\right)\left(x=c\right)\left(x=\right)\left(x\right)\left(x\right)xc\text{(x=)}\text{(x)}\text{()}\text{(}.

•Wanneerbeven is enc<0c<, zijn er geen oplossingen.

•Wanneerboneven is, is er altijd één oplossing, ongeacht de waarde van. De oplossing is danx=c^{\frac{1}{b}}x=c^{\frac{1}{}}x=c^{\frac{1}{n}}xc^{\frac{1}{n}}c^{\frac{1}{n}}.