Eenheidscirkel

Leerdoelen

•Je kunt uitleggen wat een eenheidscirkel is.

•Je kunt de sinus en cosinus in de eenheidscirkel uitrekenen.

•Je kunt werken met radialen.

•Je kunt uitleggen wat het periodieke verschijnsel is.

Sinus en cosinus in de driehoek

Stel dat we een rechthoekige driehoek ABC hebben, waarbij B de rechte hoek is. Voor hoek A, die we alfa\left(\alpha\right)\left(\alpha\right)noemen, gelden de volgende definities:

•De sinus van hoek A\left(\alpha\right)\left(\alpha\right)\alpha\frac{}{\placeholder{}}\frac{a}{\placeholder{}}\frac{al}{\placeholder{}}\frac{alp}{\placeholder{}}\frac{alpj}{\placeholder{}}\frac{alpja}{\placeholder{}}\frac{alpj}{\placeholder{}}\frac{alp}{\placeholder{}}\frac{al}{\placeholder{}}\frac{a}{\placeholder{}}\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}is de overstaande rechthoekzijde gedeeld door de schuine zijde\sin\left(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\sin(\alpha=\frac{BC}{AC}\left.\sin(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.s(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.si(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.sin(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}\left.sin(\alpha\right)=\frac{BC}{AC})\left(sin(\alpha\right)=\frac{BC}{AC})\left(sin(\alpha\right)=\frac{BC}{AC}sin(\alpha)=\frac{BC}{AC}sin(\alpha)=\frac{BC}{A}sin(\alpha)=\frac{BC}{AD}sin(\alpha)=\frac{BC}{ADC}sin(\alpha)=\frac{BC}{AD}sin(\alpha)=\frac{BC}{AD}sin(\alpha)=\frac{BC}{A}sin(\alpha)=\frac{BC}{\placeholder{}}sin(\alpha)=\frac{B}{\placeholder{}}sin(\alpha)=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}sin(\alpha)=sin(\alpha)=\large{\frac{bc}{AC}}sin(\alpha)=\large{\frac{b}{AC}}sin(α) = $$\large{\frac{BC}{AC}}$$.

•De cosinus van hoek Ais de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de schuine zijde\cos\left(\alpha\right)=\frac{AB}{AC}\cos(\alpha=\frac{AB}{AC}\left.\cos(\alpha\right)=\frac{AB}{AC}\left.\cos(\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left(\cos(\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left((\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left((\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left((\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left((\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left((\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left(c(\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left(co(\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left(cos(\alpha\right)=\frac{AB}{AC})\left(cos(\alpha\right)=\frac{AB}{AC}cos(\alpha)=\frac{AB}{AC}cos(\alpha)=\frac{AB}{A}cos(\alpha)=\frac{AB}{\placeholder{}}cos(\alpha)=\frac{A}{\placeholder{}}cos(\alpha)=\frac{\placeholder{}}{\placeholder{}}cos(\alpha)=cos(α) = $$\large{\frac{AB}{AC}}$$.

Van driehoeken naar de eenheidscirkel

In de eenheidscirkel merk je op dat er ook een rechthoekig driehoekje kan worden gevormd. Doordat de lengte van de straal (de schuine zijde in dit geval) 1 is, worden de berekeningen van de sinus en de cosinus veel eenvoudiger.

•De sinus van alfa is dan gewoon de hoogte (overstaande zijde).

•De cosinus van alfa is de horizontale afstand vanaf de oorsprong (aanliggende zijde).

Wat gebeurt er als we rond de eenheidscirkel bewegen?

Als we een punt rond de eenheidscirkel laten lopen, verandert de hoek alfa. Als gevolg hiervan veranderen ook de waarden van\sin\left(\alpha\right)\sin\left(\alpha\right)=en\cos\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\alpha\right)=-. Hier zijn enkele observaties:

•Bij\alpha=0\alpha=\alpha=1\alpha=\frac{1}{}\alpha=\frac12, is de breedte maximaal positief en de hoogte 0.\cos\left(\alpha\right)=1\cos\alpha)=1\cos\left(\alpha)\right.=1\cos\left(\left(\alpha)\right)\right.=1\cos\left(\alpha)\right.=1\cos\left(\alpha)\right)=1\cos\left(\alpha)=1\right)\cos\left(\alpha)=\right)\cos\left(\alpha)\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cos\left(\right)\cosen\sin\left(\alpha\right)=0\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(\alpha\right)\sin\left(\alpha\right)\sin\left(\right)\sin\left(\right)\sin\left(\right)\sin\left(\right)\sin\left(\right)\sin\left(\right)\sin\left(\right)\sin\sin{\alpha}\sin{\alpha}=\sin{\alpha}.

•Bij\alpha=\frac12\pi\alpha=\frac12\alpha=\frac12\alpha=\frac12\alpha=\frac12\alpha=\frac12\alpha=\frac12\alpha=\frac12\pi\alpha\frac12\pi\frac12\pi\frac12\pi\frac12\pi\frac12\pi\frac12\pi\frac12\pi\frac12\pi\frac12\frac12\frac12\frac12\frac{1}{\placeholder{}}1, is de hoogte juist maximaal positief en de breedte 0.\sin\left(\alpha\right)=1\sin\left(\alpha\right)=en\cos\left(\alpha\right)=0\cos\left(\alpha\right)=.

•Bij\alpha=\pi\alpha=\alpha=\alpha=\alpha=\alpha=\pi\alpha=1\pi\alpha=\frac{1}{}\pi, is de breedte maximaal negatief en de hoogte weer 0.\cos\left(\alpha\right)=-1en.

•Bij\alpha=1\frac12\pi\alpha=1\frac12\alpha=1\frac12\alpha=1\frac12\alpha=1\frac12\alpha=1\frac12\pi, is de hoogte maximaal negatief en de breedte 0.\sin\left(\alpha\right)=-1en.

Over radialen

Bij de eenheidscirkel gebruiken we meestal geen graden voor de hoeken, maar radialen.

•De omtrek van een cirkel is2\pi2222keer de straal. Voor een eenheidscirkel is dit gewoon2\pi2222.

•De hoek\alphain radialen is gelijk aan de afstand die een punt over de omtrek van de eenheidscirkel aflegt. Een halve cirkel komt bijvoorbeeld overeen met een hoek van\pi\piradialen en een hele cirkel met2\pi22222\pi2\pi2radialen.

Het periodieke verschijnsel

Een interessant aspect van de eenheidscirkel is het periodieke verschijnsel. Dit betekent dat de waarden van sinus en cosinus zich herhalen als alfa een volledige cirkelronde maakt. Bijvoorbeeld, de sinus van0,\,2\pi,\,4\pi,\,6\pi,\ldots0,\,2\pi,\,4\pi,6\pi,\ldots0,\,2\pi,\,4\pi,6\pi,\ldots0,\,2\pi,\,4\pi,6\pi,\ldots0,\,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,\,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,\,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,\dots0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi0,2\pi,4\pi,6\pi,0,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,2\pi,4\pi,6,\ldots0,2\pi,4\pi,6,\ldots0,2\pi,4\pi,6,\ldots0,2\pi,4\pi,6,\ldots0,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,2\pi,4,6\pi,\ldots0,2\pi,4,6\pi,\ldots0,2\pi,4,6\pi,\ldots0,2\pi,4,6\pi,\ldots0,2\pi,4\pi,6\pi,\ldots0,2,4\pi,6\pi,\ldots0,2,4\pi,6\pi,\ldots0,2,4\pi,6\pi,\ldots0,2,4\pi,6\pi,\ldotszijn allemaal hetzelfde (namelijk 0), net als de cosinus van deze hoeken (allemaal 1). Dit patroon herhaalt zich eindeloos, en dit kenmerk maakt het mogelijk om de sinusgrafiek en de cosinusgrafiek te vormen.