Differentiëren 2

Werken met verschillende functionele variabelen

Stel dat we nu een functie hebben, maar in plaats van een x, gebruiken we de letter u: g(u) = -4u⁵. Als we deze functie gaan differentiëren, krijgen we g'(u) = -20u⁴.

Kettingfunctie en kettingregel

Nu gaan we het idee van een kettingfunctie introduceren. Dit is wanneer we twee formules hebben die elkaar aanvullen. Bijvoorbeeld, we hebben een functie k = 5t³, en een vergelijking waarin t = 3x² + 2x. Dan kunnen we de waarde van t invullen in de formule voor k, en krijgen we een kettingfunctie: k(x) = 5(3x² + 2x)³. Deze functie is net een ketting, daarom heet het zo.

Differentiëren van een kettingfunctie

Nu gaan we de kettingfunctie differentiëren. Gebruikend bovengenoemde voorbeeld, de afgeleide van k,\frac{dk}{dt}\large{\frac{dk}{dt}}\frac{dk}{dt}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}\large{\frac{dk}{dt}}= 15t², en de afgeleide van t,\frac{dt}{dx}\large{\frac{dt}{dx}}\frac{dt}{dx}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}\large{\frac{dt}{dx}}= 6x + 2.

De afgeleide van k omtrent x,\frac{dk}{dx}=\frac{dk}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\large{\frac{dk}{dx}}\frac{dk}{dx}=\frac{dk}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}. Dat is juist de kettingregel. Dus,\frac{dk}{dx}\large{\frac{dk}{x}}\frac{dk}{dx}\large{\frac{dk}{dx}}\frac{dk}{dx}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}= 15t² · (6x + 2).

Als we nu de daadwerkelijke waarde van t invullen, krijgen we\frac{dk}{dx}\large{\frac{dk}{dx}}\frac{dk}{dx}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}\large{\frac{dk}{dx}}= 15(3x² + 2x)² · (6x + 2).

Differentiëren met exponentieel verband

Nu gaan we het hebben over hoe het exponentieel verband wordt gedifferentieerd. Als we een functie hebben, f(x) = cg^x, dan is de afgeleide: f'(x) = cg^x · ln(g), waar ln(g) de natuurlijke logaritme van g is, oftewel de e-log van g.

Differentiëren met logaritmisch verband

De afgeleide van een logaritmisch verband is ook uniek. Stel we hebben de functieg\left(x\right)=\log_{g}{x}g\left(x\right)\log_{g}{x}g\left(x\log_{g}{x}\right)g\left(\log_{g}{x}\right)g\log_{g}{x}\log_{g}{x}, de afgeleide zoug^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x\cdot ln(g)g^{\prime}\left(x\right)\frac{1}{x\cdot ln(g)g^{\prime}\left(x\frac{1}{x\cdot ln(g)\right)g^{\prime}\left(\frac{1}{x\cdot ln(g)\right)g^{\prime}\frac{1}{x\cdot ln(g)g\frac{1}{x\cdot ln(g)\frac{1}{x\cdot ln(g)\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\frac{1}{x\cdot ln(g)\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}\large{\frac{1}{x \cdot ln(g)}}. Als we een natuurlijke logaritme hebben als: h(x) = ln(x), dan is de afgeleide gewoon.